第七章线性系统状态空间分析自动控制原理.docx
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第七章线性系统状态空间分析自动控制原理
第七章线性系统状态空间分析
例1 已知实际力学模型的状态方程为
求其系统的状态空间表达式。
程序代码:
num=[121];
den=[1321];
G=tf(num,den);
Gss=ss(G)
由结果显示可知,系统的状态空间表达式
:
例2已知控制系统的状态空间表达式为
试绘制系统的单位阶跃输出轨线和脉冲输出轨线。
绘制系统的单位阶跃输出轨线,程序代码如下:
A=[-5-1;3-1];
B=[25]';
C=[12];
D=0;
G=ss(A,B,C,D);
[y,t,x]=step(G);
plot(t,x,'r',t,y,'b');
grid;
text(2,-0.1,'x_2(t)');
text(2,4.2,'x_1(t)');
text(2,7.6,'y(t)');
绘制系统的脉冲信号输出轨线,程序代码如下:
A=[-5-1;3-1];
B=[25]';
C=[12];
D=0;
G=ss(A,B,C,D);
[y,t,x]=impulse(G);
plot(t,x,'r',t,y,'b');
axis([-0.13-213]);
grid;
text(0.52,0.1,'x_2(t)');
text(0.52,3.2,'x_1(t)');
text(0.52,6,'y(t)');
例3 已知缠绕装置张力控制系统的传递函数的状态空间表达式为
绘制状态响应
其中输入信号为
初始条件为
。
绘制状态响应曲线,程序代码如下:
A=[-2-2.5-0.5;100;010];
B=[1;0;0];
C=[01.51];
D=0;
G=ss(A,B,C,D);
t=[0:
0.1:
20]';
x0=[102];%非零初始条件
u(1:
21)=2*ones(21,1);%输入0 u(21: 201)=0.5*ones(181,1);%输入t>2 [y,t,x]=lsim(G,u,t,x0);%初始条件引起的响应 plot(t,x(: 1),'-r',t,x(: 2),'-b',t,x(: 3),'-m');%用不同的线条和颜色 绘制状态响应轨线 gridon; text(6,0.25,'x_1(t)');%标识曲线,用“_”表示下标 text(6,-0.5,'x_2(t)'); text(8,1.7,'x_3(t)'); title('状态响应轨线'); xlabel('t(s)'); ylabel('x(t)'); 例4 已知某自动装置的控制系统的状态方程为: 试确定其系统的稳定性。 程序代码如下: a=[12-12;2630;47-8-5;7216]; b=[-1001]'; c=[-2561]; d=7; [z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d) ii=find(real(z)>0)%检验零点的实部;求取零点实部大于零的个数 n1=length(ii); jj=find(real(p)>0)%检验极点的实部;求取极点实部大于零的个数 n2=length(jj); %判断系统是否稳定 if(n2>0) disp('此系统不稳定极点是: ') disp(p(jj)) else disp('系统是稳定的! ') end %判断系统是否为最小相位系统 if(n1>0) disp('此系统不是最小相位系统! ') else disp('此系统是最小相位系统! ') end %绘制零极点图pzmap(p,z) 例4试用李雅普诺夫第二方法确定系统 的稳定性。 程序代码如下: symsx1x2v; A=[-1-1;1-4];%设置系统矩阵A v=x1^2+x2^2;%选取李雅普诺夫函数 v1=A(1,1)*x1+A(1,2)*x2;%计算状态方程导数项 v2=A(2,1)*x1+A(2,2)*x2;%计算状态方程导数项 vder=simplify(jacobian([v],[x1])*v1+jacobian([v],[x2])*v2)%计算李雅 普诺夫函数的导数 即,表明系统是渐近稳定的。 例5判定下述实际控制系统的状态可控性。 (1) (2) (3) 判断可控性,子程序代码如下: functionstr=pdctrb(A,B) S=ctrb(A,B); r=rank(S); l=length(A); ifr==1 str='系统是状态完全可控的! '; else str='系统是状态不完全可控的! '; end 主程序代码如下: A1=[110;010;011]; B1=[010]'; str=pdctrb(A1,B1) A2=[132;020;012]; B2=[21;11;-1-1]; str=pdctrb(A2,B2) G=[-210;0-20;00-3]; H=[103;200]'; str=pdctrb(G,H) 例6已知系统的状态空间表达式为 ,当采样时间T=5s,10.5s时,确定离散化后系统的可控性。 程序代码如下: a=[11;2-1]; b=[1;2]; c=[11]; d=0; str=pdctrb(a,b) G=ss(a,b,c,d); T=5; Gd1=c2d(G,T); g=Gd1.a;h=Gd1.b; str=pdctrb(g,h) T=10.5; Gd2=c2d(G,T); g=Gd2.a;h=Gd2.b; str=pdctrb(g,h) 由运行结果可知,此连续系统是状态完全可控的;当采样时间T=5s时,此离 散系统是状态完全可控的;当采样时间T=10.5s时,此离散系统不是状态完 全可控的。 因此,离散系统不同的采样时间影响着系统状态可控性。 例7已知系统的系数矩阵如下: 试判断该系统的可观性。 判断该系统的可观性,子函数代码如下: functionstr=pdobsv(A,C) s=obsv(A,C); r=rank(s); l=size(A,1); ifr==1 str='此系统是状态完全可观的! '; else str='此系统不是状态完全可观的! '; end 主程序代码: a=[010;001;-6-11-6]; c=[451]; pdobsv(a,c) 系统是状态不完全可观的,输出可以观测二维状态 例8已知控制系统的状态状态空间表达式为 试判断其状态可观性、可控性和传递函数之间的关系。 程序代码如下: a=[-3-4;-10]; b=[41]'; c=[-1-1]; d=1; G=ss(a,b,c,d); Gz=zpk(G) str=pdctrb(a,b) str=pdobsv(a,c) [y,t,x]=step(G,36); plot(t,x,'r',t,y,'b'); gridon; axis([036-34]); title('系统状态和单位阶跃输出曲线'); xlabel('t(s)'); ylabel('y(t)/x(t)'); 由运行结果可知,该系统的传递函数为 ,发生了s=1的零 极点对消。 因此,系统是不完全可控和不完全可观的。 由系统的单位阶跃输出 曲线可知,输出保持不变式,状态x1(t)和x2(t)却有很大变化,但正 、反正好相互抵消。 因此,不能从输出观测到系统状态的变化。 例9已知实际控制系统的系数矩阵 试判断它的可控性,并进行可控性分解。 程序代码如下: A=[-22-1;0-20;1-40]; B=[001]'; C=[1-11]; pdctrb(A,B) [Ab,Bb,Cb,T,K]=ctrbf(A,B,C) 例11 已知控制系统的传递函数为 ,试求其 约当规范型。 程序代码如下: num=[21]; den=[17148]; [r,p,k]=residue(num,den); A=diag(p) B=ones(length(r),1) C=rat(r) D=0 由运行结果可得到状态空间表达式的约当规范型: 例12 已知系统系数矩阵: ,试判断它的可控性。 如果完全可控将它化为可控规范型;如果不完全可 控找出它的可控子系统。 程序代码如下: a=[200;041;004]; b=[1;0;1]; c=[110]; str=pdctrb(a,b) 由运行结果可知,系统是状态完全可控的,故可将它规范型。 T1=ctrb(a,b) symss dets=det(s*diag(diag(ones(size(a))))-a); dets=expand(dets) 计算第一可控规范型,程序代码如下: Ac1=inv(T1)*a*T1 Bc1=inv(T1)*b Cc1=c*T1 计算第二可控规范型,程序代码如下: m=[100;-1010;32-101]; n=fliplr(T1); T2=n*m; Ac2=inv(T2)*a*T2 Bc2=inv(T2)*b Cc2=c*T2 由运行结果可知,控制器规范Ⅰ型为: 由运行结果可知,控制器规范Ⅱ型为: 习题1 已知某伺服控制系统的传递函数为 ,求 其系统的状态空间表达式。 程序代码如下: z=[-2-5]; p=[0-1-8]; k=1; Gz=zpk(z,p,k); Gs=ss(Gz) 由结果显示可知,系统的状态空间表达式为: 习题2 已知采样控制系统的状态空间表达式为 试绘制系统的单位阶跃输出轨线。 绘制系统的单位阶跃输出轨线,程序代码如下: a=[132;020;013]; b=[21;11;-11]; c=[100]; d=0; G=ss(a,b,c,d); figure (1) step(G) [y,t,x]=step(G); figure (2) plot(t,x(: : 1),'r',t,y(: : 1),'b'); grid; figure(3) plot(t,x(: : 2),'r',t,y(: : 2),'b'); gridon; 习题3 已知采样控制系统的状态方程为 试求其离散系统的传递函数矩阵。 程序代码如下: G=[-1-3-2;020;012]; H=[2;1;-1]; C=[100]; symszn; Gd=inv(z*eye(size(G))-G)*z 传递函数矩阵为: 习题4 已知控制系统的系统矩阵,确定其系统的稳定性。 (1); (2) 判定系统稳定性的子函数代码如下: functionstr=pdwdx(A) sys_root=eig(A); i=find(real(sys_root)>0); if~isempty(i) str='此系统是不稳定! ';break; else str='此系统是稳定的! '; end 主程序代码如下: A1=[-2-2.5-0.5;100;010]; str=pdwdx(A1) A2=[01;-35]; str=pdwdx(A2) 习题5 已知系统状态方程 ,确定其李雅普诺夫函数。 程序代码如下: symsx1x2v; A=[-11;23]; a11=A(1,1); a12=A(1,2); a21=A(2,1); a22=A(2,2); H=[2*a11a21a210;0a12a122*a22;... a12a22+a110a21;a120a11a22+a21];%计算矩阵H B=[-1-100]'; p=inv(H)*B;%计算矩阵B P=[p(1,1)p(2,1);p(3,1)p(4,1)]; v=P(1,1)*x1^2+P(2,2)*x2^2+(P(1,2)+P(2,1))*x1*x2;%设置李雅普诺夫函数 v1=A(1,1)*x1+A(1,2)*x2;%计算状态导数项 v2=A(2,1)*x1+A(2,2)*x2;%计算状态导数项 vder=simplify(jacobian([v],[x1])*v1+jacobian([v],[x2])*v2) 由运行结果可知, ,不是正定函数,由李雅普诺夫 第二方法可知,此系统不是稳定的。 习题6 已知实际控制系统的系数矩阵为 试判断它的可观性,并进行其可观测性分解,找出它的可观测子系统。 程序代码如下: A=[12-1;010;1-43]; B=[001]'; C=[1-11]; pdobsv(A,C) [Ab,Bb,Cb,T,K]=obsvf(A,B,C) 习题7已知系统的状态空间表达式为 当采样时间T=5s,20s时,确定离散化后系统的可观性。 程序代码如下: a=[11;2-1]; b=[1;2]; c=[11]; d=0; str=pdobsv(a,c) G=ss(a,b,c,d); T=5; Gd1=c2d(G,T); g=Gd1.a;c=Gd1.c; str=pdobsv(g,c) T=20; Gd2=c2d(G,T); g=Gd2.a;c=Gd2.c; str=pdobsv(g,c) 由运行结果可知,离散系统不同的采样时间影响着系统状态可观性 习题8 已知控制系统的传递函数为 ,试求其的约当规范型。 程序代码如下: num=1; den=conv([1331],[169]); G=tf(num,den); G=ss(G); a=G.a A=jordan(a) 习题9 已知控制系统的传递函数为 ,将此系统 转换为观测器规范型。 程序代码如下: num=[135]; den=[1794]; a=flipud(rot90(compan(den)))%求分母多项式的伴随阵,旋转九十度后将其 上、下反转 b=num' c=zeros(1,length(a)); c(1,1)=1 d=0 由运行结果可知,观测器规范型如下:
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