分段函数专题含答案.docx
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分段函数专题含答案
分段函数专题
1.选择题(共7小题)
1.下列关于分段函数的描述正确的是()
1分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数,因此分儿段就是儿个函数;②
/(%)=|%|是一个分段函数;®A%)=|%-2|不是分段函数;④分段函数的定义域都是R;⑤分段函数的值域都为R;@/(%)=则门1)=—1.
A.①②⑥B.①④C.②D.®@<5)
2•设曲=(log^-'a^2'则心2))的值为(>
A・0B・1C・2D・3
f|log%bO<%<10
3.已知函数fd)=i丄心v、“,若a,b,c互不相等,且/"(a)=f(b)=/(c),
—%十b,%,1U
则Qbc的取值范圉是()
A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)
r%+2,%<—1
4.已知/(%)=x2,-l<%<2,若f(x)=3,贝吆的值是()
2x,x>2
5.函数◎={宀经圻
A.1B.1或|C.1,救土歯D.V3
兰°,若/'(—4)=f(0),/(-2)=-2,则关于兀的
方程/(x)=X的解的个数为()
A・1B・2C・3D・4
6.已知函数/(%)=[(a;2)X_1^-1,若/在(・8,+8)上单调递增,则(lOga无,X>丄
实数a的取值范围为()
A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+°°)
7.已知函数/(%)=使函数值为5的兀的值是()
A・-2B・2或・2或・2D.2或・2或
22
2.填空题(共2小题)
&已知函数/(%)=[a%2+2x+^-2<%<0有3个零点,则实数a的取值范围ICIXi9XU
3.解答题(共6小题)
10.已知函=-%2+|%|.
(1)用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象;
(2)求函数的单调区间;
(3)求函数的最大值.
11.如图,AOAB是边长为2的正三角形,记AOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f⑴.试求函数/'(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象.
x+2,x<-1
12.已知函&fM=\x2,-l 2x,x>2 (1)在坐标系中作出函数的图象; (2)若/(a)=求a的取值集合. 13.已知函数/'0)=2兀一1,0(尢)={[;': 兗求他⑴]和gg)]的解析式. (%2+/? %+G-4<%<0 I-x+3,0<%<4 (1)求函数fd)的解析式; (2)画岀函数fd)的图象,并写出函数/'⑴的定义域、值域. 15・已知函数/"(尢)=-X2+2ax+3,%6[-2,4] (1)求函数fd)的最大值关于a的解析式y=9(a) (2)画出y=g(a)的草图,并求函数y=g(a)的最小值. 分段函数专题答案 1.选择题(共7小题) 1.下列关于分段函数的描述正确的是() 1分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数,因此分儿段就是儿个函数;② /(%)=m是一个分段函数: ®r(%)=1%・2|不是分段函数;④分段函数的定义域都是R;⑤分段函数的值域都为R;@/(%)=P! 'J/ (1)=-1. A.①②⑥B.①④C.②D.@@@ 【答案】①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数,但这儿段组合在一起 是一个函数,故错误; 2f⑴=|刘=是一个分段函数,正确: ®/(%)=1兀一21=$];是一个分段函数,错误; 4分段函数的定义域不都是R,错误; 5分段函数的值域不都为R,错误; ®fM={二;: 。 。 ,则代1)=—1,错误. 故正确的命题为: ②, 故选: C 2•设曲={bg竄二';)Z2,则心叨的值为() A・0B・1C・2D・3 【答案】/(/ (2))=/[log3(22-1)]=/(l)==2,故选C. f|log%LO<%<10 3・已知函数TO)=1丄心V、“,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=/(c), —-X十b,无>1U 2 则abc的取值范围是() A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24) 【答案】作出函数/XE的图象如图, 不妨设a Qb"—A+6V1 则Qbc=ce(10,12). 【答案】该分段函数的三段各自的值域为(-8」],[0,4),[4,+00),而3e[0,4),故所求的字母X只能位于第二段. /./(%)=x2=3,x=±\/5\而-1<%<2t 故选D. 5.函数心2+步 -°,若f(—4)=兀0),/(-2)=-2,则关于兀的 方程/(x)=x的解的个数为() A・1B・2C・3D・4 【答案】由题知(—4尸+b(—4)+c=G(-2尸+b(—2)+c=-2, 解得b=4,c=2莎⑴={*+养丁;兰°, 当无<0时,由/'(x)=尢得兀$+4%+2=%, 解得兀=-1,或x=-2,即x<0时,方程/■(%)=无有两个解. 乂当尢>0时,有%=2适合,故方g/(x)=%有三个解. 故选C. 6.已知函数=1,若fd)在(・8,+8)上单调递增,则 实数Q的取值范围为() A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+°°) 【答案】对数函数在尢>1时是增函数,所以a>1,X/(%)=(a-2)x-l,x<1是增函数, : .a>2,并且兀=1时(a-2)x-l<0,E|Ja-3<0,所以2 故选C 7.已知函数/(%)=使函数值为5的兀的值是() A・・2B・2或・2或・2D.2或・2或 22 【答案】由题意,、"优<0时,/(%)=%2+1=5,得x=±2,乂%<0,所以兀=-2; 当尢>0时,/(%)=-2%=5,得x=-|,舍去. 故选A 2.填空题(共2小题) &已知函数/(x)=[a%2+2x+^-2<%<0有3个零点,则实数a的取值范围ICLJCdfJC>U 是. 【答案】•・•函数f(%)=\ax2+2x+1,-2<%<0有3个零点, (ax-3,%>0 Aa>0且y=^+2兀+1在(-2,0)上有2个零点, >0 a>0 a(-2)2+2(-2)+1 2<-<0 a A=4-4a>0 解得*QV1, 【答案】因为: 代刃={: [: ;胃 /•/(-3)=-3+4=1 /[/(-3)]=/ (1)=1-4=-3. 故答案为: -3. 3.解答题(共6小题) 10.已知函数/■(%)=-X2+|%|. (1)用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象; (2)求函数的单调区间; (3)求函数的最大值. 【答案H(i)-fM=-x2+M= •••函数的图象如下图所示: ;\ i-5l (2)由 (1)中函数图象可得: 函数/•(%)的单调递增区间为: (—8,—扌]和[0待], 函数/'(兀)的单调递减区间为: [-0]和[—+8). (3) (2)由 (1)中函数图象可得: 函数/'(切的最大值为? 11.如图,ZkOAB是边长为2的正三角形,记ZkOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为/(t).试求函数/'(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象. 如图,设直线x=r与△CMB分别交于C、D两点,则\oc\=t,乂篇=篇=岳・・・|CD|=齿「r./(t)=||0C|-|CD|=i-t-V3t=^t2 (2)当1VtS2时, 如图,设直线x=t与△CL4B分别交于171、N两点,则\AN\=2-t,又^=^|=V3,AMN=V3(2-t) r./(t)=|-2-V3-i|i4JV|-\MN\=V3-y(2-t)2=-yt2+2屜一長 (3)当t>2时,/(t)=^3 第9页(共12页) (1)在坐标系中作岀函数的图象; (2)若/(a)=求a的取值集合. %4-2,%<—1 【答案】- (1)函^/(%)=%2,-1<%<2的图象如下图所示: 2%,%>2 (2)当aS—1时,f(a)=a+2=-,可得: a=--; 722 '*1—12时,/(a)=2a=|,可得: a=j(舍去);综上所述,a的取值构成集合为 13.已知函数/'0)=2兀一1,9(尢)={[]': 兗求他⑴]和g[f(x)]的解析式. 【答案】当%>0时,gM=%2,f[gM]=2x2-1, 当%<0时,gM=-1,f[gM]=-3, •(2x2-l,x>0 ・・盹)]珂-3,x<0 第10贞(共12页) •••当2%-1>0,即%>i时,^[/(%)]=(2%-1)2, 当2%-1<0,即XV扌时,g[fM]=-1, \2x-iyfx>^ T,xV扌 14・设函数/'(无)= X2tXo;^4 ),/(-2)=-l. (1)求函数的解析式; (2)画出函数/'(Q的图象,并写出函数/XQ的定义域、值域. 解得: b=4,c=3, •f(\_U2+4%+3,-4<%<0 ••小丿=(-%+3,0<%<4 (2)函数的定义域为[-4,4], 当尢V0时,y=x2+4x+3=(x+2)2-1 由尢<0可得,y二・1 当尢>0时,y=-%+3<3 ・•・・1MyM3 ・・・函数的值域为[-1,3].其图象如图所示 15.已知函数/'(尢)=-X2+2ax+3,眈[一2,4] (1)求函数/•(%)的最大值关于a的解析式y=g(a) (2)画出y=g(a)的草图,并求函数y=g(a)的最小值. 【答案】 (1)函数/XQ的对称轴为x= 1当aV—2时,・・•函»/(%)在[—2,4]上单调递减, ••y=9(a)=/(-2)=-4a-1, 2当-2WaW4时,y=g(a)=/(a)=a2+3, 3当a>4时,•・•函数/'CO在[-2,4]上单调递增, ••y=g(a)=f(4)=8a—13, ■-4a-l,a<-2 综上有y=g(a)=a2+3,-24 (2)作出y=g(a)的草图如右, 观察知当a=1时y=g(a)有最小值4・
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- 分段 函数 专题 答案