第二章22 221向量加法运算及其几何意义讲义.docx
- 文档编号:18089562
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:6
- 大小:17.15KB
第二章22 221向量加法运算及其几何意义讲义.docx
《第二章22 221向量加法运算及其几何意义讲义.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二章22 221向量加法运算及其几何意义讲义.docx(6页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第二章22221向量加法运算及其几何意义讲义
第二章2.22.2.1向量加法运算及其几何意义讲义
平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
预习课本P80~83,思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义?
(2)在求两向量和的运算时,通常使用哪两个法则?
(3)向量加法的运算律有哪两条?
(4)|a+b|,|a|+|b|,|a|-|b|三者之间的大小有何关系?
[新知初探]
1.向量加法的定义及运算法则
定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法
法则三角形法则前提已知非零向量a,b
作法在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量
结论向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=
图形
法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a,b
作法在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作?
OACB
结论对角线就是a与b的和
图形
规定零向量与任一向量a的和都有a+0=0+a=a.
2.向量加法的运算律
运算律交换律a+b=b+a
结合律(a+b)+c=a+(b+c)
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量.( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)×
2.对任意四边形ABCD,下列式子中不等于的是( )
A.+ B.++
C.++D.++
答案:
C
3.边长为1的正方形ABCD中,|+|=( )
A.2B.2
C.1D.22
答案:
B
4.+++=______.
答案:
0
向量加法及其几何意义
[典例] 如图1,图2,图3所示,求作向量和.
[解] 如图中①,②所示,
首先作=a,然后作AB=b,则=a+b.
如图③所示,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=+=(a+b)+c,即=a+b+应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单.
[活学活用]
如图,已知a,b,c,求作向量a+b+c.
解:
作法:
在平面内任取一点O,如图所示,作=a,=b,=c,则=a+b+c.
向量加法运算
[例2] 化简或计算:
(1)++;
(2)++++.
[解]
(1)++=(+)+=+=.
(2)++++
=(+)+(+)+
=++=+=0.
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
[活学活用]
如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.
则①+=________;
②++=________;
③++=________.
解析:
①+=+=.
②++=+=+=.
③++=++=.
答案:
① ② ③
层级一 学业水平达标
1.下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a B.++=0
C.+=0D.+=++
解析:
选B 由向量加法可知++=+=2.
2.(+)+(+)+等于( )
A.B.
C.D.
解析:
选C 原式=++++
=(+)+(++)
=+0=.下列各式不一定成立的是( )
A.a+b=b+aB.0+a=a
C.+=D.|a+b|=|a|+|b|
解析:
选D A成立,为向量加法交换律;B成立,这是规定;C成立,即三角形法则;D不一定成立,只有a,b同向或有一者为零向量时,才有|a+b|=|a|+|b|.
4.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度等于( )
A.25 B..12D.6
解析:
选B 因为+=,所以++的长度为的模的2倍,故答案是.已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论:
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是( )
A.①③B.②③
C.②④D.①②
解析:
选A ∵在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,∴a为零向量,∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③正确,②④错误.
6.+++=________.
解析:
原式=+++=++=.
答案:
7.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=c,=b,则|a+b+c|=________.
解析:
|a+b+c|=|++|=|+|=2||=22.
答案:
22
8.如图,在平行四边形ABCD中,
(1)+=________;
(2)++=________;
(3)++=________;
(4)++=________.
解析:
(1)由平行四边形法则可知为.
(2)++=+=.
(3)++=+=.
(4)++=++=+=0.
答案:
(1)
(2) (3) (4)0
9.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
①++;
②+++.
解:
①++=++=++=+=.
②+++=+++=++=+=0.
10.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),试化简a2+a5+b2+b5+b7.
解:
因为+=0,
所以a2+a5+b2+b5+b7
=++++
=(+)+(+)+
==b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是( )
A.+=
B.++=0
C.,+=
D.+=
解析:
选D 由向量加法的平行四边形法则可知,+=≠.
2.下列命题错误的是( )
A.两个向量的和仍是一个向量
B.当向量a与向量b不共线时,a+b的方向与a,b都不同向,且|a+b|<|a|+|b|
C.当向量a与向量b同向时,a+b,a,b都同向,且|a+b|=|a|+|b|
D.如果向量a=b,那么a,b有相同的起点和终点
解析:
选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确;D错误,如平行四边形ABCD中,有=,起点和终点都不相同.
3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
解析:
选D +=,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外部.
4.下列命题正确的是( )
A.如果非零向量a,b的方向相反或相同,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.若++=0,则A,B,C为三角形的三个顶点
C.设a≠0,若a∥(a+b),则a∥b
D.若|a|-|b|=|a+b|,则b=0
解析:
选C 当a+b=0时,A选项不正确;若++=0,则A,B,C三点共线或A,B,C为三角形的三个顶点,故B选项不正确;若a与b不共线,则a+b与a不共线,故C选项正确;若|a|-|b|=|a+b|,则b=0或b≠0(a与b反向共线,且|a|>|b|),故D选项不正确.
5.如果||=8,||=5,那么||的取值范围为________.
解析:
根据公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|直接来计算.
答案:
[3,13]
6.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走8km”,则|a+b|=________,a+b的方向是________.
解析:
如图所示,设=a,=b,则=a+b,且△ABC为等腰直角三角形,则||=82,∠BAC=45°.
答案:
82km 北偏东45°
7.如图所示,P,Q是三角形ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:
+=+.
证明:
=+,
=+,
∴+=+++.
∵与大小相等,方向相反,
∴+=0,
故+=++0=+AQ.
8.如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
解:
(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,
则a+e=+=,
因为e为单位向量,
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,
所以||即|a+e|最大,最大值是
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二章22 221向量加法运算及其几何意义讲义 第二 22 221 向量 加法 运算 及其 几何 意义 讲义