五年级暑期奥数.docx
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五年级暑期奥数.docx
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五年级暑期奥数
暑期奥数秘籍
五(下)
开发大脑
活跃思维
姓名:
小学五年级奥数常用公式
1、和差问题:
(和+差)÷2=大数(和-差)÷2=小数
2、和倍问题:
和÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数(或者和-小数=大数)
18、差倍问题:
差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数(或小数+差=大数)
3、植树问题
植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,
株数=段数+1=全长÷株距-1全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,(或封闭路线)那就这样:
株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
4、盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
5、相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
6、追及问题
追及距离=速度差×追及时间追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
7、流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
8、等差数列
和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
9、火车过桥问题
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;
(桥长+列车长)÷过桥时间=速度;
速度×过桥时间=桥、车长度之和。
第一讲定义新运算
(一)
我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外,还会有什么别的运算吗?
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1、设a※b表示a的3倍减去b的2倍,即a※b=3a-2b。
求7※8的值。
例2、对于任意数a,b,定义运算“*”:
a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
例3、如果m,n表示两个数,那么规定:
m¤n=4n-(m+n)÷2。
求3¤(4¤6)¤12的值。
例4、对于两个数a与b,规定a
b=a×b+a+b。
试计算6
3的值。
例5、设A、B都表示数,规定A×B=3×A-B,例如:
5×4=3×5-4=11,如果已知A×4=14,求A。
例6、我们规定,符号“○”表示选择两数中较大数的运算,例如:
3○2=2○3=3,符号“△”表示选择两数中较小的数运算,例如:
3△2=2△3=2。
请计算:
[(625△630)+(370○375)]÷(130△125)。
例7、羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼。
羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼。
求下式的结果是:
羊△(狼☆羊)☆羊(狼☆狼)
学以自用
1.对于任意的两个数a和b,规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值
2.已知a
b表示a除以3的余数再乘以b,求13
4的值。
3.已知a
b表示(a-b)÷(a+b),试计算:
(5
3)
(10
6)。
4.若a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和,求8◎2值。
5.设
表示两个不同的数,规定
.求
6.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍,即 m◇n=3m-2n。
7.对于任意的两个数P,Q,规定P☆Q=(P×Q)÷4。
例如:
2☆8=(2×8)÷4。
已知x☆(8☆5)=10,求x的值。
7.定义:
a△b=ab-3b,a
b=4a-b/a。
计算:
(4△3)△(2
b)。
8.已知:
2
3=2×3×4,4
5=4×5×6×7×8,……求(4
4)÷(3
3)的值。
第二讲数的整除性
(一)
整除的数的性质
(1)如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除。
(2)如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(5)几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除。
整除的数的特征
1、被2整除特征:
个位上是0,2,4,6,8
2、被5整除特征:
个位上是5,0
3、能被3或9整除的数的特征是:
各个数位的数字之和是3或9的倍数
4、被4、25整除的数的特征:
一个数的末2位能被4、25整除
5、被8、125整除的数的特征:
一个数的末3位能被8、125整除
6、被7整除的数的特征:
若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差
是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程。
7、能被11整除的数的特征:
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如:
判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
8、能被13整除的数的特征:
把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程。
如:
判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以,1284322能被13整除。
10、能被17整除的数的特征 :
把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的5倍,
如果差是17的倍数,则原数能被17整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程。
11、能被19整除的数的特征:
把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的2倍,
如果和是19的倍数,则原数能被19整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程
例1、在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除。
例2、由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除?
例3、有四个数:
76550,76551,76552,76554。
能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被12整除?
例4、在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些?
例5、能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除?
学以自用
1.已知4205和2813都是29的倍数,1392和7018是不是29的倍数?
2.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少?
3.173□是个四位数。
数学老师说:
“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可以被9,11,6整除。
”问:
数学老师先后填入的3个数字之和是多少?
4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字。
要求ab能被2整除,abc能被3整除,abcd能被4整除,abcde是5的倍数,abcdef是6的倍数。
这样的六位数有几个?
各是多少?
5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分,总分A95B,这个班有多少名学生?
6.能不能将从1到9的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除?
第三讲数的整除性
(二)
特殊的数——1001。
因为1001=7×11×13,所以凡是1001的整数倍的数都能被7,11和13整除。
例1、判断306371能否被7整除?
能否被13整除?
例2、已知10□8971能被13整除,求□中的数。
例3、说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。
例4、如果41位数55……5□99……9能被7整除,那么中间方格内的数字是几?
︸︸
20个20个
例5判断下列各数能否被27或37整除:
(1)2673135;
(2)8990615496。
例6
(1)判断18937能否被29整除。
(2)判断296416与37289能否被59整除。
学以自用
1.下列各数哪些能被7整除?
哪些能被13整除?
88205,167128,250894,396500, 675696,796842,805532,75778885。
3.六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几?
4.已知七位数132A679是7的倍数,求A?
4.六位数ababab能否被7和13整除?
5.33……3□88……8能被13整除,求中间□中的数?
20个20个
5.九位数8765□4321能被21整除,求中间□中的数。
6.在下列各数中,哪些能被27整除?
哪些能被37整除?
1861026,1884924,2175683,2560437,11159126,131313555,266117778。
第四讲奇偶性的应用
例1、在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么?
例2、对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为右下表?
为什么?
例3、下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?
例4、下图是由14个大小相同的方格组成的图形。
能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形?
例5、在右图的每个○中填入一个自然数(可以相同),使得任意两个相邻的○中的数字之差(大数减小数)恰好等于它们之间所标的数字。
能否办到?
为什么?
例6、下页上图是半张中国象棋盘,棋盘上已放有一只马。
众所周知,马是走“日”字的。
请问:
这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点,然后回到出发点?
学以自用
1.教室里有5排椅子,每排5张,每张椅子上坐一个学生。
一周后,每个学生都必须和他相邻(前、后、左、右)的某一同学交换座位。
问:
能不能换成?
为什么?
2.房间里有5盏灯,全部关着。
每次拉两盏灯的开关,这样做若干次后,有没有可能使5盏灯全部是亮的?
3.左下图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个相同的长方形?
4.一个正方形果园里种有48棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成七行七列(见右上图)。
守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋。
可以做到吗?
5.红光小学五年级一次乒乓球赛,共有男女学生17人报名参加。
为节省时间不打循环赛,而采取以下方式:
每人只打5场比赛,每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。
然后根据每人得分决定出前5名。
这种比赛方式是否可行?
6.如下图所示,将1~12顺次排成一圈。
如果报出一个数a(在1~12之间),那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。
例如a=3,就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置;a=11,就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。
问:
a是多少时,可以走到7的位置?
第五讲质数与合数
自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类:
第一类:
只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是1。
第二类:
只能被两个不同的自然数整除的自然数。
因为任何自然数都能被1和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于1,且只能被1和它本身整除。
这类自然数叫质数(或素数)。
例如,2,3,5,7,…
第三类:
能被两个以上的自然数整除的自然数。
这类自然数的特征是大于1,除了能被1和它本身整除外,还能被其它一些自然数整除。
这类自然数叫合数。
例如,4,6,8,9,15,…
上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1,1既不是质数也不是合数。
例1、1~100这100个自然数中有哪些是质数?
例2、判断269,437两个数是合数还是质数?
例3、判断数1111112111111是质数还是合数?
例4、判定298+1和298+3是质数还是合数?
例5、已知A是质数,(A+10)和(A+14)也是质数,求质数A。
学以致用
1.现有1,3,5,7四个数字。
(1)用它们可以组成哪些两位数的质数(数字可以重复使用)?
(2)用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数?
2.a,b,c都是质数,a>b>c,且a×b+c=88,求a,b,c。
3.A是一个质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数。
试求出所有满足要求的质数A。
4.试说明:
两个以上的连续自然数之和必是合数。
7.判断266+388是不是质数。
8.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边,得到一个三位数,这个三位数是a的87倍,求a和b。
第6讲孙子问题与逐步约束法
在古书《孙子算经》中有一道题:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”意思是:
有一堆物品,三个三个数剩两个,五个五个数剩三个,七个七个数剩两个。
求这堆物品的个数。
这类问题为孙子问题。
例1、一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。
求满足条件的最小自然数。
例2、求满足除以5余1,除以7余3,除以8余5的最小的自然数。
例3、在10000以内,除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有几个?
例4、求满足除以6余3,除以8余5,除以9余6的最小自然数。
学以致用
1.一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小自然数。
2.有一堆苹果,3个3个数余1个,5个5个数余2个,6个6个数余4个。
这堆苹果至少有多少个?
3.在小于1000的自然数中,除以4余3,除以5余2,除以7余4的最大的自然数是几?
4.在5000以内,除以3余1,除以5余2,除以7余3的自然数有多少个?
5.有一个两位数,除以2与除以3都余1,除以4与除以5都余3,求这个数。
第七讲巧算24
游戏规则:
给定四个自然数,通过+,-,×,÷四则运算,可以交换数的位置,可以随意地添括号,但规定每个数恰好使用一次,连起来组成一个混合运算的算式,使最后得数是24。
“数学24”游戏通常是用扑克牌进行的,此时,给定的四个自然数就被限定在1~13范围内了。
“数学24”游戏可以1个人玩,也可以多个人玩,比如四个人玩,把扑克牌中的大、小王拿掉,剩下的52张牌洗好后,每人分13张,然后每人出一张牌,每张牌的点数代表一个自然数,其中J,Q,K分别代表11,12和13,四张牌表示四个自然数。
谁最先按游戏规则算出24,就把这四张牌赢走。
然后继续进行。
最后谁的牌最多谁获胜。
要想算得又快又准,最重要的有两条:
一是熟悉加法口诀和乘法口诀,二是利用括号。
括号既能改变运算顺序,也可以改变运算符号。
请用下面例题中给出的四个数,按规则算出24。
例1、3,3,5,6。
例2、2,2,4,8。
例3、1,4,4,5。
例4、6,8,8,9。
例6、5,7,12,12。
例6、2,2,6,9。
例7、2,6,9,9。
例8、2,4,10,10。
例9、1,5,5,5。
例10、3,3,8,8
学以致用
用给出的四个数,按规则算出24。
1.
(1)1,3,3,7;
(2)2,2,5,7;(3)1,4,4,7;(4)1,2,8,8;
(5)1,5,6,6;(6)5,8,8,8。
2.
(1)2,7,7,10;
(2)3,5,5,9;(3)5,5,7,11;(4)2,6,6,12;
(5)4,4,5,5;(6)2,5,5,10;(7)4,9,9,12;(8)3,7,9,13。
3.
(1)1,3,4,6;
(2)2,8,9,13;(3)1,6,6,8;(4)2,3,5,12;
(5)3,4,6,13;(6)1,8,12,12;(7)3,4,8,13;(8)2,7,12,13。
第八讲位值原则
同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数也不同。
也就是说,每一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”。
例如“5”,写在个位上,就表示5个一;写在十位上,就表示5个十;写在百位上,就表示5个百;等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法,其特点是“满十进一”。
就是说,每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位,即10个一,叫做“十”,10个十叫做“百”,10个百叫做“千”,等等。
写数时,从右端起,第一位是个位,第二位是十位,第三位是百位,第四位是千位,等等(见下图)。
用阿拉伯数字和位值原则,可以表示出一切整数。
例如,926表示9个百,2个十,6个一,即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要,有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数,如:
其中a可以是1~9中的数码,但不能是0,b和c是0~9中的数码。
下面,我们利用位值原则解决一些整数问题。
例2、有一个两位数,把数码1加在它的前面可以得到一个三位数,加在它的后面也可以得到一个三位数,这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例3、a,b,c是1~9中的三个不同的数码,用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍?
例4、用2,8,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少?
例5、一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大6,求这个两位数。
例6、将一个三位数的数字重新排列,在所得到的三位数中,用最大的减去最小的,正好等于原来的三位数,求原来的三位数。
学以致用
1.有一个两位数,把数码1加在它的前面可以得到一个三位数,加在它的后面也可以得到一个三位数,这两个三位数之和是970。
求原来的两位数。
2.有一个三位数,将数码1加在它的前面可以得到一个四位数,将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数,这两个四位数之差是2351,求原来的三位数。
4.从1~9中取出三个数码,用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。
这六个三位数中最小的能是几?
最大的能是几?
5.一个两位数,各位数字的和的6倍比原数小9,求这个两位数。
6.一个三位数,抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1,求这个三位数。
第9讲最大最小
1.如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。
特别地,当这两个数相等时,他们的乘积最大。
2.两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。
例1、两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?
例2、比较下面两个乘积的大小:
a=57128463×87596512,b=57128460×87596515。
例3、用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是多少?
例4、说明,周长一定的长方形中,正方形的面积最大。
例5、两个自然数的积是48,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?
例6、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?
例7、把17分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的乘积最大?
例8、把49分拆成几个自然数的和,这几个自然数的连乘积最大是多少?
学以致用
1.试求和是91,乘积最大的两个自然数。
最大的积是多少?
之和的最小值是多少?
3.比较下面两个乘积的大小:
123456789×987654321,123456788×987654322。
4.现计划用围墙围起一块面积为5544米2的长方形地面,为节省材料,要求围墙最短,那么这块长方形地的围墙有多少米长?
5.把19分成几个自然数的和,怎样分才能使它们的积最大?
6.1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少?
7.在数123456789101112…9899100中划去100个数字,剩下的数字组成一个新数,这个新数最大是多少?
最小是多少?
第十讲图形的分割与拼接
怎样把一个图形按照要求分割成若干部分?
怎样把一个图形分割成若干部分后,再按要求拼接成另一个图形?
这就是本讲要解决的问题。
例1、请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
例2、将右图分割成五个大小相等的图形。
例3、右图是一个4×4的方格纸,请在保持每个小方格完整的情况下,将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
例4、将下图分割成两块,然后拼成一个正方形。
例5、有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯,现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。
请将它剪成形状相同、面积相等的两块,使其正好铺满房间。
例6、用四块相同的不等腰的直角三角板,拼成一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形。
学以致用
1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。
3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。
4.将上图分成两块,然后拼成一个正方形。
5.将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块,然后拼成一个24×25的长方形。
6.将一个正方形分成相等的4块,然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
第十一讲多边形的面积
正方形面积=边长×边长=a2,长方形面积=长×宽=ab,平行四边形面积=底×高=ah,
例1、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米,DG=4厘米,求阴影部分的面积。
例2、如左下图所示,四边形ABCD与DEFG都是平行四边形,证明它们的面积相等
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