数据采集与分析技术(第2版)第10章数据分析与处理.pptx.pptx
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,第10章数据分析与处理,第10章数据分析与处理,10.1卷积定理10.2离散傅立叶变换(DFT)10.3其他变换10.4数字处理10.5数字滤波技术10.6系统辨识10.7现代数据分析与处理技术,第10章数据分析与处理,10.1卷积定理卷积积分及卷积定理在数据分析与处理理论中应用很普遍,本小节将介绍有关卷积的基本概念和性质。
第10章数据分析与处理,1.卷积积分设有两个函数x1(t)和x2(t),则卷积积分的定义为,由卷积积分的定义可知,任意函数x(t)与脉冲函数(t)卷积的结果是函数x(t)本身。
进一步可以证明,任意函数x(t)与脉冲函数(t-t0)卷积的结果,相当于把函数本身延迟t0。
第10章数据分析与处理,图10.1所示为矩形函数x(t)与脉冲函数(t-1)的卷积结果。
图10.1卷积积分示例,第10章数据分析与处理,2.时域卷积定理时域卷积定理:
若对于两个函数x1(t)和x2(t),已知,则有,第10章数据分析与处理,证明:
时域卷积定理说明,两个函数在时域中卷积,卷积信号的频谱等于频域中各自的频谱直接相乘。
第10章数据分析与处理,3.频域卷积定理频域卷积定理:
若对于两个函数x1(t)和x2(t),已知,则有,第10章数据分析与处理,证明:
频域卷积定理说明,两个函数在时域上直接相乘,相乘信号的频谱等于频域上各自频谱的卷积。
第10章数据分析与处理,4.帕塞瓦尔(Parseval)定理帕塞瓦尔(Parseval)定理:
如果x(t)和X()为傅立叶变换对,则帕塞瓦尔定理描述为,帕塞瓦尔定理是一个重要的定理,它说明信号在时域中的能量和信号的频域中的能量是相等的。
这也是能量守恒定律在信号处理中的体现。
第10章数据分析与处理,帕塞瓦尔定理可以用卷积定理证明。
证明如下:
考虑时域卷积定理式(10.2)的傅立叶反变换为取t=0时,有取x2(t)=x*(-t),此时X()=X*(),有121,省去下标1就得到帕塞瓦尔公式:
第10章数据分析与处理,10.2离散傅立叶变换(DFT)1.DFT定义可以由傅立叶级数(FS)(参考第3章)的定义导出DFT的表达式。
对连续周期信号x(t)采样后得到离散信号x(nTs),则,第10章数据分析与处理,式中,信号基频f1=1/T1,f1为谱线间隔;采样频率fs=1/Ts,Ts为采样间隔,通常记作。
且有,这里,T1/Ts称为时域采样点数,fs/f1称为频域采样点数,可见此时时域和频域的离散点数相等,均为N,从而得到,第10章数据分析与处理,综上所述,离散傅立叶变换(DFT)的定义为,式中,0nN-1,0kN-1,xn、Xk分别为x(nTs)和X(kf1)的简写形式。
第10章数据分析与处理,从上述分析可知,不论函数原来是否有周期性,经时频域双边离散化以后,函数在时域和频域都将具有周期性。
并且,时域的周期与频域的离散谱线的间隔互为倒数;而频域的周期与时域的离散间隔(或采样间隔)互为倒数。
式(10.9)计算的是一个周期内的值。
因为对于无限长的周期序列来说,只要知道一个周期中的内容就足够了。
第10章数据分析与处理,对于非周期的有限长序列,DFT将其视为对一无限长周期序列的一个周期进行处理;而对于无限长的非周期序列来说,由于计算机的内存以及运算速度有限,通常是截取有限长度的序列值,然后进行DFT。
换句话说,不论原始过程是否具有周期性,一旦做DFT,则它们一律被当作具有周期性的无限长序列进行处理,该序列的周期即为DFT的计算长度T1=NTs。
同时,计算长度又确定了离散谱的频率间隔f=f1=1/T1,f又称为频率分辨率。
第10章数据分析与处理,2.DFT的图解从原理上讲,DFT包括时域采样、时域加窗和频域采样三个步骤。
下面以余弦函数为例,作出其DFT的分步图解,如图10.2所示。
图10.2余弦函数的DFT图解(a)(c)为时域采样过程,连续函数经采样后频谱产生周期性延拓;,第10章数据分析与处理,图10.2余弦函数的DFT图解,第10章数据分析与处理,第10章数据分析与处理,目前实现FFT主要有软件和硬件两种方法。
FFT是功率谱、互谱、频率响应函数、相干函数等经典频域分析和许,的周期,多相关分析方法的基础。
FFT算法的基本思想是利用性和对称性来减少计算量。
第10章数据分析与处理,第10章数据分析与处理,4.泄露如图10.2中(d)和(e)所示,数据分析过程中要对采集信号进行截断,图10.2(d)中就是用一个矩形窗函数对采集信号进行截断。
加窗实际上是将采集信号和窗函数信号进行相乘。
如果在时域加窗,则根据频谱卷积定理可知采集信号加窗之后的频谱会发生改变。
图10.2(e)中,矩形窗信号的频谱和采集信号的频谱进行了卷积,使采集信号的频谱发生了泄露,使能量不再集中在原来的频率点上,而是向两边的频率分量有所泄露。
第10章数据分析与处理,应该说,泄漏是加窗的必然结果,是不可避免的,除非加一无限宽度的矩形窗,它的频谱是一个脉冲信号,才能保证结果没有频谱泄露,但加一无限宽度的矩形窗在实际中是不可能的,也是无意义的。
第10章数据分析与处理,5.常用窗函数矩形窗的频谱为Sinc函数,其引起的频谱泄露比较严重。
评价一个窗函数的指标有三个:
主瓣宽度,主瓣宽度越小越好,主瓣越小说明能量越集中。
旁瓣幅值衰减程度,即旁瓣相对于主瓣的幅值大小,旁瓣幅值衰减越大越好。
能量泄漏因子(leakagefactor),它表明能量分散在主瓣以外的程度。
第10章数据分析与处理,为了减少加窗引起的泄露,选择窗函数是一个关键方法。
常用的窗函数除了矩形窗外,还有三角窗、高斯窗、汉宁窗、汉明窗等。
下面就列出各个窗函数的时域波形和频谱波形以供参考(见图10.3)。
第10章数据分析与处理,图10.3各种窗函数的时域波形与频域波形
(1)(a)矩形窗;(b)三角窗,第10章数据分析与处理,图10.各种窗函数的时域波形与频域波形
(1)(c)高斯窗;(d)汉宁窗,第10章数据分析与处理,图10.3各种窗函数的时域波形与频域波形
(2)(e)汉明窗;,第10章数据分析与处理,图10.3各种窗函数的时域波形与频域波形
(2)(f)布莱克曼窗;(g)凯撒窗,第10章数据分析与处理,
(1)矩形窗(Rectangular)。
矩形窗有最小的主瓣宽度,但旁瓣比较大。
(2)三角窗(Triangle)/Bartlett窗。
第10章数据分析与处理,(3)高斯窗(Gauss)。
(4)汉宁窗(Hanning)。
第10章数据分析与处理,(5)汉明窗(Hamming)。
汉明窗的宽度与汉宁窗相同,是矩形窗的2倍,99.96%的能量集中在主瓣里。
(6)布莱克曼窗(Blackman)。
布莱克曼窗的主瓣宽度是矩形窗的3倍,主瓣能量更集中。
第10章数据分析与处理,(7)凯撒窗(Kaiser)。
在凯撒窗中,非常重要,它决定窗的参数。
当=0时,凯撒窗演变为矩形窗;当增大时,主瓣宽度增大,旁瓣幅值减小。
第10章数据分析与处理,10.3其他变换3.1拉普拉斯变换定义一般傅立叶变换存在的条件是要求信号必须满足绝对可积条件,在引入脉冲函数后,对于功率集中于特定频率上的周期函数,可以避开绝对可积条件的要求,因此使得傅立叶变换的应用范围得以推广。
然而,尽管如此,却仍有许多重要的函数没有包括在内。
例如斜坡函数、正指数函数等仍不能做傅立叶变换。
为了处理这样的函数,引入了拉普拉斯变换。
第10章数据分析与处理,拉普拉斯变换(LaplaceTransform,LT)和反变换(InverseLaplaceTransform,ILT)的定义如下:
式中,s为拉普拉斯变量,它是一个复数,s=+j。
拉普拉斯反变换积分比较复杂,实际中很少用到,工程上有拉普拉斯变换表,通过查表就可以很快由X(s)计算出x(t)。
第10章数据分析与处理,2.性质微分定理:
设函数x(t)的拉普拉斯变换为X(s),即Lx(t)=X(s),则函数x(t)的微分的拉普拉斯变换为,该定理可以用分部积分法证明,证明如下:
因为,第10章数据分析与处理,因此,由此得到,应用实微分定理可以将微分方程转化成代数方程进行求解,从而简化运算过程。
可以看出拉普拉斯变换是一种强有力的数学工具。
第10章数据分析与处理,10.3.2Z变换在离散时间系统中,Z变换(简称ZT)作为一种数学工具,可以把离散系统的数学模型差分方程转化为简单的代数方程,使求解过程得以简化。
故Z变换在离散系统中的地位类似于连续系统中的拉普拉斯变换。
Z变换的定义如下:
第10章数据分析与处理,如果简记x(nTs)为xn,则Z变换为,滞后定理:
设t0时,x(t)=0,则Z变换的滞后定理表示为,第10章数据分析与处理,由Z变换的定义即可证明如下:
滞后定理说明,原函数在时域中延迟k个采样周期,相当于Z变换乘以z-k。
算子z-k代表滞后环节,它的物理意义是把采样信号延迟k个采样周期。
第10章数据分析与处理,10.3.3各种变换的关系1.Z变换与拉普拉斯变换的关系理想采样序列x(nTs)的拉普拉斯变换是Xs(s),理想采样序列x(nTs)的Z变换是X(z)。
X(s)和X(z)的关系如何呢?
当z=est或s=1Tlnz时,两者等价,即,第10章数据分析与处理,因为,第10章数据分析与处理,2.拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例,即s=j时,有因为,采样系列的各种域的频谱表示如图10.4所示。
第10章数据分析与处理,图10.4采样系列的各种域的频谱表示(a)采样系列;(b)采样系列的频谱(c)采样系列频谱的s域表示;(d)采样系列频谱的z域表示,第10章数据分析与处理,3.Z变换与傅立叶变换的关系傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例,而理想采样序列的傅立叶变换(Xs()是连续函数傅立叶变换(X()沿虚轴的周期延拓。
由于s平面虚轴映射到z平面上是单位圆z=ejT,因此,采样序列在单位圆上的Z变换就等于理想采样函数的傅立叶变换(频谱);而采样序列频谱的周期性延拓,表现在z域中即为单位圆上的重复循环,如图10.4所示。
第10章数据分析与处理,10.4数字处理数据采集过程是把连续信号进行采样,并把采样所得的值量化为二进制编码保存下来给数据分析与处理模块。
数据分析与处理的一项重要内容就是对数据采集所得的数字值进行处理,俗称数字处理。
在数字处理中,经常需要计算的有:
均值、概率密度函数、自相关函数、单边功率谱密度函数、联合概率密度函数、互相关函数、互谱密度函数、频率响应函数和相干函数等内容。
下面将对上述内容进行简要的讨论。
第10章数据分析与处理,1.均值过程的均值计算,通过离散采样后,可由下式确定:
式中,N是数据的采样点数,xk是数据值。
第10章数据分析与处理,2.概率密度函数设xk(k=1,2,N)是从均值为零的记录x(t)得到的N个数据,则x(t)的概率密度函数可由下式估计:
式中,x是以x为中心的窄区间,Nx是数据落在x0.5x中的数据个数。
因此,把x的整个变化范围分成适当的等宽度区间x,列出数据落在各分组区间的个数,再除以宽区间x和采样容量N的乘积,即可得到估计p(x)的数字化值。
注意,p(x)的估计不是唯一的,它取决于分组区间的选择。
第10章数据分析与处理3.自相关函数自相关函数的估计有两种方法,一种是直接计算法,另一种是用傅立叶变换计算功率谱密度函数,然后计算它的傅立叶逆变换。
下面介绍直接法。
设N个数据值xk(k=1,2,N)来自均值为零的平稳记录x(t),则时间位移mt处的自相关函数可由下式估计:
式中,m是滞后数,M是最大滞后数,对应的最大时间位移max是Mt。
第10章数据分析与处理,当N很大时,时间位移mt处的自相关函数也可由下式估计:
由此式可以得到自相关函数的有偏估计。
但因m相对于N来说是很小的数,所以有偏估计与无偏估计的差别很小。
第10章数据分析与处理,4.单边功率谱密度函数设子样数据来自零均值的平稳记录x(t)。
对0ffc范围内的任意频率f,单边功率谱密度函数Gx(f)可用下式估计:
式中,X(n)(n=1,2,N)是x(t)的FFT变换。
第10章数据分析与处理,5.联合概率密度函数与式(10.27)类似,可以从已数字化数据估计两个平稳记录x(t)和y(t)的联合概率密度函数:
式中,x和y是中心分别为x和y的两个窄区间,Nxy是数据值x和y同时落在这两个窄区间的数目。
因此,把x和y的整个变化范围分成适当的等宽度分组区间,列出数据落在每个矩形单元的个数,再除以采样容量N和单元面积xy的乘积,就可以得到估计p(x,y)的数字化值。
第10章数据分析与处理,6.互相关函数如同自相关函数的估计一样,互相关函数也有两种估计方法,即直接法和间接的FFT方法。
互相关函数在滞后数m=0,1,2,M处的直接无偏估计定义为,第10章数据分析与处理,另外,还可以计算归一化的互相关函数函数:
假定x(t)和y(t)的初始采样容量为N=2,用FFT方法计算互相关函数时可采用如下步骤:
先通过FFT计算互谱密度函数,再计算互谱的逆傅立叶变换。
第10章数据分析与处理,7.互谱密度函数互谱密度函数是复函数,它可表示为,式中,Cxy(f)称为共谱密度函数,Qxy(f)称为方谱密度函数。
Gxy(f)还可表示为,第10章数据分析与处理,Gxy(f)的幅值和相位角分别为,互谱密度函数同样可以通过互相关函数和FFT变换的功率谱这两种方法而获得。
下面介绍FFT变换估计,即求出x(t)和y(t)的FFT变换X(n)和Y(n),然后利用公式估计互谱密度函数。
第10章数据分析与处理,式中,C和Q分别是傅立叶变换系数的实部和虚部;再求Gxy(f)的逆傅立叶变换,就可得到互相关函数。
第10章数据分析与处理,8.频率响应函数频率响应函数可取极坐标形式,即,式中,|H(f)|表示频率响应函数的幅频特性(或增益因子),(f)表示相频特性。
如果一个系统在平稳输入信号x(t)作用下,产生输出y(t),则系统的增益因子用功率谱表示时可用下式估计:
第10章数据分析与处理,因此,在离散频率f=fm=mfc/M(m=0,1,2,M)处的增益因子可作如下估计:
对于频率响应函数(包括增益因子和相位因子)的估计,则建议采用下式:
第10章数据分析与处理,或者,写成极坐标形式:
此时,在离散频率f=fm=mfc/M(m=0,1,2,M)处的增益因子和相位因子的数字化估计为,第10章数据分析与处理,注意,上述的频率值不应与通常的FFT离散频率值的配置相混淆。
由于fc=1/(2t),因此,只有N=2M时,这些FFT离散频率才与前面相同m值的离散频率相匹配。
用FFT计算谱估计Gx(fn)和Gxy(fn)时,由式(10.41)可得,第10章数据分析与处理,9.相干函数用数字方法计算时,离散频率值fm=mfc/M,(m=0,1,2,M)处的相干函数可由下式估计:
采用FFT方法计算离散频率)处的相干函数可由下式估计:
第10章数据分析与处理,10.5数字滤波技术数字滤波技术是相对于模拟滤波技术而言的。
所谓数字滤波就是用软件的方法实现模拟滤波的功能。
一般是对信号进行算法处理,提取信号的有用成分、频率等信息,或剔除和减少各种干扰和噪声,以保证信号的可靠性。
第10章数据分析与处理,5.1数字滤波的特点成本低使用数字滤波器不需要增加任何硬件设备,只需要在信号的输入/输出程序里加入数字滤波程序即可。
可靠性好数字滤波器不存在模拟滤波器的阻抗匹配问题,也没有硬件所带来的一系列可靠性的问题,所以数字滤波器要比模拟滤波器可靠性好。
第10章数据分析与处理,适用性广模拟滤波器由于受电容电量的影响,频率不能太低。
数字滤波器不存在这样的问题,数字滤波器可以对频率很低的信号进行滤波。
只要模拟滤波器适用的场合,数字滤波器都适用。
柔性好由于数字滤波器是用程序实现的,修改滤波器结构和参数都很容易,不像模拟滤波器那么复杂,因此数字滤波器使用方便灵活。
第10章数据分析与处理,5.性能高随着各类处理器性能的提高,数字滤波器可以在提高计算量的条件下,通过增加滤波器阶数、提高运算精度等手段,设计较高的性能指标,达到传统模拟滤波器不能达到的性能指标。
正因为数字滤波器具有以上优点,所以数字滤波器在数据采集系统中得到了越来越广泛的应用。
第10章数据分析与处理,10.5.2线性滤波器线性滤波器用于时变输入信号的线性运算(linearoperator)。
线性滤波器在电子学和数字信号处理中应用非常普遍。
线性滤波器经常用于剔除输入信号中不需要的频率或者从许多频率中选择一个频率。
滤波器技术内容非常广泛,这里只给出一个总体的介绍。
第10章数据分析与处理,线性滤波器可以分为两类:
无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)滤波器。
IIR和FIR分别指将滤波器看做一个线性系统时,系统对有限能量脉冲的不同响应特征。
IIR的响应随时间衰减但不会衰减为0,FIR滤波器则反之。
数字线性滤波器传递函数模型的Z变换形式为,第10章数据分析与处理,对于IIR滤波器,式(10.46)中ai不为0,也就是说IIR滤波器带有反馈结构且含有极点;对于FIR滤波器,式(10.46)中ai为0,也就是说FIR滤波器没有反馈结构,且不含有极点。
式(10.46)写成如下数字域形式,此形式可用于程序计算:
第10章数据分析与处理,值得注意的是,FIR滤波器通过一定的设计可以实现线性相位,即不同频率成分的延时相同。
根据滤波功能,线性滤波器可分为:
允许低频率通过的低通滤波器;允许高频率通过的高通滤波器;允许一定范围频率通过的带通滤波器;阻止一定范围频率通过并且允许其他频率通过的带阻滤波器;允许所有频率通过、仅仅改变相位关系的全通滤波器;阻止一个狭窄频率范围通过的特殊带阻滤波器陷波滤波器。
第10章数据分析与处理,有些滤波器不是为了阻止任何频率的通过,而是为了在不同频率稍微调整幅度响应,预加重滤波器、均衡器或者音调控制等等都是这些滤波器的例子。
实际中常用的算术平均滤波器和加权平均滤波器就属于FIR滤波器,分别如下:
第10章数据分析与处理,算术平均滤波器:
加权平均滤波器:
式中,权重因子ci应该满足约束,第10章数据分析与处理,10.5.3非线性滤波器非线性滤波器的范围和方法很宽泛,没有像线性滤波器那样的统一模型,但非线性滤波器算法灵活,可针对具体问题设计。
实际中常用的非线性滤波器有去极值平均滤波器、中值滤波器、程序判断滤波器等,下面分别予以介绍。
第10章数据分析与处理,1.去极值平均滤波器由于线性滤波对采集到的突发数据也当成正常数据一样考虑,使得线性滤波器的适用范围减少。
为了解决这个问题,可以采用去极值平均滤波器。
该方法的思想就是在作算术平均之前从数据中去除极值(极值是突发数据的可能性很大),再把剩下的数据进行线性滤波。
此时,要修改相应的n值,比如,如果去除了两个极值,则n的值要相应地减小2。
如果去除了两个极值后滤波效果还不好,可以再去除剩下数据中的极值。
第10章数据分析与处理,2.中值滤波器中值滤波方法是对目标信号进行连续采样多次,然后将这些采样值进行排序,选取中间位置的采样值为有效值。
中值滤波器对脉冲干扰、突发数据的滤出效果很好。
该方法的缺点就是数据排序需要花费不少时间。
常用的排序方法有冒泡法和沉底法。
第10章数据分析与处理,3.程序判断滤波器很多信号都对应实际的物理量,它们都有一定的变化规律。
比如在转台测控系统里转台的角度采样值不会超过360;转台加速度不会突变,且加速度最大值受到限值,不会超过电机驱动系统能提供的最大加速度;转台的速度不会突变,且速度最大值不能超过转台运行的最大速度。
根据幅值、幅值变化速度、幅值变化加速度的限制条件,可以将程序判断滤波分为三种。
下面分别介绍。
,,第10章数据分析与处理,1)限幅滤波所谓限幅滤波,就是判断当前的采样值xi是否超过最大幅值限制xmax,如果超过,即|xi|xmax,则丢掉本次的采样值,而以上次的采样值作为此次的采样值,即,比如,在转台测控系统里如果转台角度的采样值大于360,则丢弃本次采样值,而用上次采样的角度值作为此次的角度采样值。
第10章数据分析与处理,2)限速滤波首先定义采样信号的瞬时速度vi如下:
所谓限速滤波,就是判断当前的瞬时速度vi是否超过最大速度限制vmax,如果|vi|vmax,则丢掉此次的瞬时速度,而以上次的瞬时速度代替,即vi=vi-1。
相应地,此次的采样值应该按下式计算:
第10章数据分析与处理,3)限加速度滤波首先定义采样信号的瞬时加速度ai为所谓限加速度滤波,就是判断当前的瞬时加速度ai是否超过最大加速度限制amax,如果|ai|amax,则丢掉此次的瞬时加速度,而以上次的瞬时加速度代替,即ai=ai-1。
相应地,此次的瞬时速度和采样值应该按下式计算:
第10章数据分析与处理,除了这三种程序判断滤波方法以外,还有限加加速度滤波,其思想和原理和上述三种方法都一样,这里就不再赘述。
各种数字滤波器都有它的优缺点,实际应用中,根据干扰的性质和系统的性能要求具体选择使用,也可以把几种滤波器综合起来使用。
第10章数据分析与处理,10.5.4使用Matlab设计数字滤波器Matlab提供了专门设计滤波器的工具箱(FilterDesign&AnalysisTool,FDATool),可以实现滤波器设计、性能仿真评估以及结果输出等功能,极大地方便了工程应用。
下面通过几个设计实例演示低通、带通和高通线性滤波器的设计。
1)低通滤波器假设采样频率为1000Hz,设计通带为100Hz、阻带为200Hz的FIR线性相位低通滤波器,阻带衰减80dB。
设计滤波器采用最小阶数设计法,即在满足设计要求的条件下实现最小的滤波器阶数。
FDATool的设计结果如图10.5所示,从中可以看出滤波器的幅频和相频特征以及滤波器设计阶数和类型。
第10章数据分析与处理,图10.5低通滤波器设计结果,第10章数据分析与处理,设计好的滤波器可以通过各种方式输出到工作间或通过Targets菜单下的生成C头文件菜单得到C语言格式的滤波器数,如下所示,其中LB为滤波器阶数,B为滤波器数组。
第10章数据分析与处理,上述滤波器为双精度浮点型的滤波器。
通过选择滤波器数据类型,还可以生成定点型的滤波器,如下所示。
将滤波器转为定点型可以减小运算量,但要损失一些滤波效果。
第10章数据分析与处理,2)带通滤波器假设采样频率为1000Hz,设计FIR线性相位滤波器,通带为100200Hz,50Hz以下和250Hz以上阻带衰减80dB。
设计滤波器采用最小阶数设计法。
设计结果如图10.6所示。
从图10.6中可以看出FIR带通滤波器在通带内保持了线性相位特征。
第10章数据分析与处理,图10.6带通滤波器设计结果,第10章数据分析与处理
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