高考数学数列放缩法技巧全总结计划材料.docx
- 文档编号:17744908
- 上传时间:2023-08-03
- 格式:DOCX
- 页数:121
- 大小:611.11KB
高考数学数列放缩法技巧全总结计划材料.docx
《高考数学数列放缩法技巧全总结计划材料.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学数列放缩法技巧全总结计划材料.docx(121页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高考数学数列放缩法技巧全总结计划材料
实用文档高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:
通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
n
2
n
5
1
例1.
(1)求k14k2
1的值;
(2)求证:
k1k
2
3.
2
2
1
1
解析:
(1)因为4n2
1
(2n1)(2n1)
2n1
2n1,所以
n
2
1
2n
4k2
1
1
1
2n
1
k1
2n
1
1
4
2
1
1
n
1
11
1
1
25
n2
2
1
4n2
1
2n12n1
1
2
(2)因为
n
所以k1
k2
1
4
3
5
2n
1
2n
1
3
3
1
4
4
2
1
1
1
2
1
1
奇巧积累:
(1)n2
4n2
4n2
1
2n
1
2n
1
(2)Cn1
1Cn2
(n
1)n(n
1)
n(n
1)
n(n
1)
r
1
n!
1
1
1
1
1
(3)
Tr
1
Cn
nr
r!
(n
r)!
nr
r!
r(r
1)
r
1
r
(r
2)
(1
1
)n
11
1
1
2
1
1)
5
(4)
n
2
1
3
n(n
2
1
1
1
1
n
2
n
(5)2n(2n
1)
2n
1
2n
(6)
n
2
2(
n
1
n)
1
2(n
n
1)
2
1
1
1
1
(7)
n
(8)
2n
1
2n
3
2n
(2n
1)
2n1
(2n
3)
2n
1
1
1
1
1
1
1
1
(9)k(n
1k)
n1
k
k
n
1
n(n
1
k)
k
1
n
n
1
k
(10)(11)
(12)
n
1
1
1
2(
2n
1
2n
1)
2
2
2
n
2n1
2n1
1
1
(n1)!
n!
(n1)!
(11)
n
n
2
2
2n
2n
2n
2n1
1
1
(n2)
(2n1)2
(2n
1)(2n
1)
(2n
1)(2n
2)
(2n
1)(2n1
1)
2n1
12n
1
1
1
1
1
1
1
n3
nn2
n(n
1)(n
1)
n(n
1)
n(n
1)
n
1
n1
1
1
n1
n
1
1
1
n1
n
1
2
n
n
1
n1
(13)
(14)
2n1
22n
(31)2n
33(2n
1)2n2n1
2n
1
2n
3
2n1
3
k
2
1
1
1
n
n1(n2)
k!
(k
1)!
(k2)!
(k
1)!
(k2)!
n(n
(15)
1)
文案大全
实用文档
i2
1
j2
1
i2
j2
i
j
1
(15)
i
j
(i
j)(i2
1
j2
1)
i2
1
j2
1
1
1
1
1
7
1
(n
2)
例2.
(1)求证:
32
52
1)2
(2n
6
2(2n
1)
1
1
1
1
1
1
(2)求证:
416
36
4n2
2
4n
113135
135
(2n1)
2n
1
1
(3)求证:
22
4
2
46
246
2n
2(
n
1
1)1
1
1
1
2(
2n
1
1)
(4)求证:
2
3
n
1
1
1
1
1
n
1
1
1
1
1
1
1
解析:
(1)因为(2n1)2
(2n
1)(2n
1)
2
2n1
2n1
所以i
1(2i
1)2
1(
3
)1
2
(
)
2
2n1
3
2n1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(2)4
16
36
4n
2
4
(1
22
n2)
4
(11
n
)
13
5
(2n1)
1
(3)先运用分式放缩法证明出
2
4
6
2n
2n
1,再结合
后就可以得到答案
1
n2n
进行裂项,最
n2
1
2(n1n)
2
1
1
1
(4)首先n
n,所以容易经过裂项得到
2(n11)1
n1
2
3
n
1
2(2n
12n1)
2
2
2
n
1
2n
1
1
1
2n
再证
n
n
而由均值不等式知道这是显然成立的,
2
2
1
1
1
1
2(
2n
1
1)
所以2
3
n
6n
1
1
1
1
5
例3.求证:
(n1)(2n
1)
4
9
n2
3
1
1
4
2
1
1
n2
2
1
4n21
2n12n1
n
1
11
11
25
解析:
一方面:
因为
n
4
1
2
2n12n1
1
所以
k1k2
35
33
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
另一方面:
49
n2
2334
n(n1)
n1n1
n
6n
6n
1
1
1
1
当n
3时,n
1
(n
1)(2n1)
当n
1时,(n
1)(2n
4
9
n2
1)
6n
1
1
1
1
当n
2时,(n1)(2n1)
49
n2
6n
1
1
1
1
5
所以综上有(n1)(2n
2
1)
4
9
n
3
例4.(2021年全国一卷)设函数f(x)
xxlnx数列an满足0
a1
1an1f(an)
.
.
.
文案大全
实用文档
设b
(a1,1),整数
k≥a1
b
b.
a1lnb.证明:
ak1
解析:
由数学归纳法可以证明
an
是递增数列,
故
假设存在正整数m
k,使am
b,
那么ak1
ak
b,
k
am
b(mk)
0a1
amb1
amlnam
a1lnam
a1lnb0
ak1akaklnak
a1amlnam
假设
那么由
知
m1
k
amlnam
k(a1lnb)
因为m1
于是ak1a1
k|a1lnb|a1
(ba1)b
例5.
n,mN,x
1,S
1m
2m3m
nm
nm1
(m1)S
(n1)m1
1
.
m
求证:
n
解析:
首先可以证明:
(1
x)n
1
nx
nm1
nm1(n1)m1
(n1)m1
(n2)m1
1m1
n
[km1
(k1)m1]
0
k
1
所以要证
nm1
(m1)S
(n1)m1
1
只要证:
n
n
n
n
[km1
(k1)m1]
(m1)
km
(n1)m1
1(n1)m1
nm1
nm1
(n1)m1
2m11m1
[(k1)m1km1]
k1
k
1
k
1
n
n
n
[km1
(k1)m1]
(m1)
km
[(k1)m1km1]
故只要证k
1
k1
k1
即等价于km1
(k1)m1
(m
1)km
(k
1)m1km,
即等价于1
m1
1
m1
m1
1
m1
k
(1
k)
1
k
(1
k
)
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.an
4n
2n,Tn
2n
an,求证:
T1
T2
T3
Tn
3
a1
a2
2.
解析:
Tn
1
2
3
n
1
2
n
4(14n)2(12n)
4
n
n
4
4
4
4
(2
2
2
)
14
12
3
(4
1)2(12
)
Tn
2n
2n
2n
32n
3
2n
4
n1
n1
n1
n1
n2
n
1)
2(1
2n)4
4
2
2n1
4
2
2n14
3
2
2
22
(2
)
321
所以
(4n
3
3
3
3
3
3
2n
3
1
1
2(22n
1)(2n
1)22n
12n1
1
T1
T2
T3
3
1
1
1
1
1
1
3
Tn
337
2n
12n1
1
2
从而
2
n(n2k
1,k
Z)
1
1
1
7.
x1
xn
2k,k
Z)
:
x2x3
4x4x5
2(n11)(nN*)
例
n1(n
求证
4
4x2nx2n1
1
文案大全
实用文档
证明:
因为
1
1
1
1
1
2
4x2nx2n1
4(2n1)(2n1)
44n2
1
44n2
2n2n
1
2
2
n)
n1,所以
2(n1
2n
n
4x2nx2n1
2n
n
n1
1
1
1
2(
n
11)(n
N*)
所以4x2x34x4x54x2nx2n1
二、函数放缩
ln2ln3ln4
ln3n
3n
5n6(nN*)
.
例8.求证:
23
4
3n
6
解析:
先构造函数有lnx
lnx
1
ln2ln3ln4
ln3n
n
11
1
x1
x
1
x,从而2
3
4
3n
3
1
(
2
3
3n)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cause
23
3n
23
456
7
89
2n
2n1
3n
5
33
9
9
3n1
3n1
5n
6
69
1827
23n1
3n
6
ln2
ln3
ln4
ln3n
3
n
1
5n
n
5n
6
所以2
3
4
3n
6
3
6
2,ln2
ln3
lnn
2n2
n1(n
2)
例9.求证:
(1)
2
3
n
2(n1)
解析:
构造函数f(x)
lnx
lnn
lnn2
lnn2
1
1
1
1
x得到n
n2
再进行裂项n2
n2
n(n1)求和后可以得到答
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 数列 放缩法 技巧 总结 计划 材料