高考数学试题分类汇编含答案立体几何docx.docx
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立体几何
一、选择题
1、(2016年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.1
B.
1
C.
1
D.
1
6
3
2
【答案】A
2、(2016年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三
视图如右图所示,则该几何体的体积为
(A)1+2π
(B)1+
2π
(C)1+
2π
(D)1+
2π
3
3
3
3
3
6
6
【答案】C
3、(2016年全国I高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相
垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是
3
(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π
【答案】A
4、(2016年全国I高考)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α//平面CB1D1,αI平面
ABCD=m,αI平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为
(A)
3
(B)
2
(C)
3
(D)1
2
2
3
3
【答案】A
5、(2016年全国II高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表
面积为
(A)20π
(B)24π
(C)28π
(D)32π
【答案】C
6、(2016年全国
III
高考)如图,网格纸上小正方形的边长为
1,粗实现画出的是某多面体
的三视图,则该多面体的表面积为
(A)18365
(B)54185
(C)90
(D)81
【答案】B
7、(2016
年全国III
高考)在封闭的直三棱柱
ABCA1B1C1内有一个体积为
V的球,若
AB
BC,AB
6,BC8,AA1
3,则V的最大值是
(A)4π
(B)9
(C)6π
(D)32
2
3
【答案】B
二、填空题
1、(2016年上海高考)
如图,在正四棱柱
ABCD
A1B1C1D1中,底面
ABCD
的边长为
3,BD1
与底面所成角的大小为arctan2,则该正四棱柱的高等于____________
3
【答案】22
2、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是__________.
【答案】
3
3
3、(2016年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,
该四棱锥的三视图如图所示
(单
位:
m),则该四棱锥的体积为
3
_______m.
【答案】2
4、(2016年全国II高考)
是两个平面,
m,n是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m
n,m
n//
,那么
.[
(2)如果m
n//
,那么mn.
(3)如果
//,m
,那么m//
.
(4)如果m//n,//
,那么m与
所成的角和n与
所成的角相等.
其中正确的命题有..(填写所有正确命题的编号)
【答案】②③④
5、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.
【答案】7232
6、(2016年浙江高考)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线
段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.
【答案】1
2
三、解答题
、(
2016
年北京高考)如图,在四棱锥
P
ABCD
中,平面PAD
平面
ABCD
,PA
PD,
1
PA
PD,AB
AD,
AB
1,AD
2,ACCD5.
(1)求证:
PD平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM//平面PCD?
若存在,求AM的值;若不存在,
AP
说明理由.
【解】⑴∵面
PAD
面PAD
面ABCD
面ABCD
AD
∵ABAD,AB面ABCD
∴AB面PAD
∵PD面PAD
∴ABPD
又PDPA
∴PD面PAB
⑵取AD中点为O,连结CO,PO
∵CDAC5
D
∴COAD
∵PAPDC
∴POADx
以O为原点,如图建系
易知P(0,01),,B(11,,0),D(0,1,0),C(2,0,0),
则PB
(11,,1)
,PD(0,1,1),PC
(2,0,1)
,CD
设n为面PDC的法向量,令n
(x0,y0,1)
nPD
0
1,1,1,则PB与面PCD夹角
有
nPC
n
0
2
1
1
nPB
1
3
sin
2
cosn,PB
1
3
nPB
1
1
4
3
z
P
A
Oy
B
(2,1,0)
⑶假设存在M点使得BM∥面PCD
设AM
,M
0,y',z'
AP
,P0,0,1,AP0,
由
(2)知A0,1,0
1,1,B1,1,0,AM0,y'1,z'
有AM
AP
M
0,1,
∴BM1,,
∵BM∥面PCD,n为PCD的法向量
∴BMn0
即
1
0
2
∴
1
=
4
∴综上,存在M点,即当AM
1时,M点即为所求.
AP
4
2、(2016年山东高考)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的
直径,FB是圆台的一条母线.
(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:
GH∥平面
ABC;
(II
)已知
EF=FB=1AC=23,AB=BC.求二面角
2
F
BC
A的余弦值
.
【解】(Ⅰ)连结FC,取FC的中点M,连结GM,HM,
因为GM//EF,EF在上底面内,GM不在上底面内,
所以GM//上底面,所以GM//
平面ABC;
又因为MH//BC
,BC
平面ABC,
E
F
MH
平面ABC,
G
H
所以MH//平面ABC;
C
B
A
所以平面GHM//
平面ABC,
由GH
平面GHM,所以GH//平面ABC.
z
(Ⅱ)连结OB,
ABBCOAOB
,
E
O
F
以为O原点,分别以OA,OB,OO为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系.
C
O
B
EF
FB
1
23,AB
BC,
A
y
x
AC
2
OO
BF2
(BO
FO)2
3,
于是有A(23,0,0),C(-23,0,0),B(0,23,0),F(0,3,3),
可得平面FBC中的向量BF(0,-
3,3),CB
(23,23,0),
于是得平面FBC的一个法向量为
n1
(
3,
3,1),
又平面ABC的一个法向量为n2
(0,0,1)
,
设二面角F-BC-A为,
n1
n2
1
7
则cos
.
n1
n2
77
二面角F-BC-A的余弦值为
7.
7
3、(2016年上海高考)将边长为
1的正方形AAOO11
(及其内部)绕的
OO1旋转一周形成圆
柱,如图,
AC
长为
2
A1B1
,其中
B1
C
AAOO
,
长为
与
在平面
的同侧。
3
11
3
A1
B1
A
C
(1)求三棱锥CO1A1B1的体积;
(2)求异面直线BC与AA所成的角的大小。
11
【解析】
试题分析:
(1)由题意可知,圆柱的高h1,底面半径r1.
确定
11
1
.计算S
1
后即得.
3
1
1
(2)设过点
1的母线与下底面交于点
,根据1//
1,知
C1或其补角为直线1C
与
1所成的角.确定
C
3
,C
1.得出C
1
.
4
试题解析:
(1)由题意可知,圆柱的高
h
1,底面半径r
1.
由
1
1的长为
,可知
1
1
1
.
3
3
S1
1
sin
3
1
1
2
1
11
1
11
1
,
4
VC
1
S
h
3
111
3
111
.
12
(2)设过点
1的母线与下底面交于点
,则
1//
1,
所以
C
1
或其补角为直线
1C与
1所成的角.
由
C长为2,可知
C
2
,
3
3
又
11
1
,所以
C
,
3
3
从而
C
为等边三角形,得
C
1.
因为
1
平面
C,所以
1
C
.
在
C1
中,因为
1
C
,C
1,
1
1,所以C1
,
2
4
从而直线
1C与
1所成的角的大小为
.
4
4、(2016年四川高考)如图,在四棱锥
PABCD中,AD//BC,ADC
PAB90,
BC
CD
1
PA与CD所成的角为90.
AD,E为棱AD的中点,异面直线
(I
)在平面
2
内找一点
,使得直线
CM//
平面
,
PAB
M
PBE
并说明理由;
的大小为
,求直线
与
(II)若二面角
PCD
A
45
PA
平面PCE所成角的正弦值.
【解】(I)延长AB,交直线CD于点M,
∵E为AD中点,
∴AE
ED=
1
AD,
2
∵BC
CD=
1
AD,
2
∴EDBC,
∵AD//BC即ED//BC,
∴四边形BCDE为平行四边形,BE//CD,
∵ABCDM,
∴MCD,
∴CM//BE,
∵BE面PBE,
∴CM//面PBE,
∵MAB,AB面PAB,
∴M面PAB
故在面PAB上可找到一点M使得CM/
/面PBE.
(II)过A作AF
EC交EC于点F,连结PF,过A作AG
PF交PF于点G,
∵∠PAB90,PA与CD所成角为90,
∴PAAB,PACD,
∵ABCD=M,
∴PAABCD,
∵EC面ABCD,
∴PAEC,
∵ECAF且AFAPA,
∴CE面PAF,
∵AG面PAF,
∴AGCE,
∵AGPF且AGAFA,
∴AG面PFC,
∴∠APF为所求PA与面PCE所成的角,
∵PA面ABCD,∠ADC=90即ADDC.
∴∠PDA为二面角PCDA所成的平面角,
由题意可得∠PDA=45,而∠PAD=90,
∴PAAD,
∵BCCD,四边形BCDE是平行四边形,∠ADM=90,∴四边形BCDE是正方形,
∴∠BEC
45
,
∴∠AEF=∠BEC45,
∵∠AFE
90
,
∴AF=
2AE,
2
AF
2
AD
2
∴
4
,
tan∠APF=
=
AP
AP4
∴sin∠APF=
1
.
3
5、(2016年天津高考)如图,正方形
ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平
面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(I)求证:
EG∥平面ADF;
(II)求二面角O-EF-C的正弦值;
(III)设H为线段AF上的点,且AH=2HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
3
【解析】(Ⅰ)证明:
找到AD中点I,连结FI,
∥
∵矩形OBEF,∴EFOB
∵G、I是中点,∴GI是△ABD的中位线
∴GI∥BD且GI
1BD
2
∵O是正方形ABCD中心
1
∴OBBD
2
∴EF∥GI且EF=GI
∴四边形EFIG是平行四边形
∴EG∥FI
∵FI面ADF
∴EG∥面ADF
(Ⅱ)OEFC正弦值
解:
如图所示建立空间直角坐标系Oxyz
z
E
F
H
A
B
G
I
O
x
C
Dy
B0,2,0,C
2,0,0,E0,2,2,F0,0,2
设面CEF的法向量n1
x,y,z
n1EF
x
,,
,
,
2y0
yz0
20
n1CF
x
,,
,,
2x2z0
yz
202
x2
得:
y0
z1
∴n12,0,1
∵OC面OEF,
∴面OEF的法向量n2
1,0,0
cos
n1,n2
n1
n2
2
6
n1
n2
31
3
6
2
sin
n1,n2
1
3
3
3
(Ⅲ)∵AH
2HF
3
∴
2
2
2
,,
2
2,,4
AHAF
02
5
0
5
5
5
设Hx,y,z
∴
AH
x
2
,
,
2
2,,4
y
z
5
0
5
3
2
x
5
得:
y0
4
z
5
BH
32,2,4
5
5
BH
n1
6
4
cos
BH,n2
5
5
7
BH
n1
2
2
21
3
5
6、(2016年全国I高考)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方
形,AF=2FD,AFD90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.
(I)证明:
平面ABEF平面EFDC;
(II)求二面角E-BC-A的余弦值.
【解析】
⑴∵ABEF为正方形
∴AFEF
∵AFD90
∴AFDF
∵DFEF=F
∴AF面EFDCAF面ABEF
∴平面ABEF平面EFDC
⑵由⑴知DFECEF60
∵AB∥EF
AB平面EFDC
EF平面EFDC
∴AB∥平面ABCD
AB平面ABCD
∵面ABCD面EFDCCD
∴AB∥CD,∴CD∥EF
∴四边形EFDC为等腰梯形
以E为原点,如图建立坐标系,设
FD
a
E0,0,0
B0,2a,0
C
a,0,3a
A2a,2a,0
2
2
EB0,2a,0,BC
a,2a,3a,AB
2a,0,0
2
2
设面BEC法向量为mx,y,z.
2a
y1
0
mEB
0,即a
x1
3
mBC
0
2ay1az10
2
2
x1
3,y10,z1
1
m
3,0,1
设面ABC法向量为n
x2,y2,z2
n
BC=0
a
x2
2ay2
3
az2
0
.即2
2
n
AB0
2ax2
0
x2
0,y2
3,z2
4
n
0,3,4
设二面角E
BC
A的大小为.
cos
mn
4
219
mn
3
1
316
19
∴二面角E
BC
A的余弦值为
2
19
19
7
2016
年全国
II
高考)如图,菱形
ABCD
的对角线
AC
与BD交于点
O
,
A
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