第十章曲线积分.docx
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第十章曲线积分
教学内容
批注
第十章曲线积分与曲面积分
§10.1对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量:
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为μ(x,y).求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段,∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn(∆si也表示弧长);
任取(ξi,ηi)∈∆si,得第i小段质量的近似值μ(ξi,ηi)∆si;
整个物质曲线的质量近似为
;
令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn}→0,则整个物质曲线的质量为
.
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,⋅⋅⋅,Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为∆si,又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi,ηi)∆si,(i=1,2,⋅⋅⋅,n),并作和
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作
即
.
其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.
教学内容
批注
设函数f(x,y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.
将L任意分成n个弧段:
∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn,并用∆si表示第i段的弧长;
在每一弧段∆si上任取一点(ξi,ηi),作和
;
令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn},如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分,记作
即
.
其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.
曲线积分的存在性:
当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分
是存在的.以后我们总假定f(x,y)在L上是连续的.
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分
的值,其中μ(x,y)为线密度.
对弧长的曲线积分的推广:
.
如果L(或Γ)是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定
.
闭曲线积分:
如果L是闭曲线,那么函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
.
教学内容
批注
对弧长的曲线积分的性质:
性质1设c1、c2为常数,则
;
性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则
;
性质3设在L上f(x,y)≤g(x,y),则
.
特别地,有
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x,y),则曲线形构件L的质量为
.
另一方面,若曲线L的参数方程为
x=ϕ(t),y=ψ(t)(α≤t≤β),
则质量元素为
曲线的质量为
.
即
.
教学内容
批注
定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为
x=ϕ(t),y=ψ(t)(α≤t≤β),
其中ϕ(t)、ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'2(t)+ψ'2(t)≠0,则曲线积分
存在,且
(α<β).
证明(略)
应注意的问题:
定积分的下限α一定要小于上限β.
讨论:
(1)若曲线L的方程为y=ψ(x)(a≤x≤b),则
=?
提示:
L的参数方程为x=x,y=ψ(x)(a≤x≤b),
.
(2)若曲线L的方程为x=ϕ(y)(c≤y≤d),则
=?
提示:
L的参数方程为x=ϕ(y),y=y(c≤y≤d),
.
(3)若曲Γ的方程为x=ϕ(t),y=ψ(t),z=ω(t)(α≤t≤β),
则
=?
提示:
.
例1计算
其中L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解曲线的方程为y=x2(0≤x≤1),因此
.
教学内容
批注
例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为μ=1).
解取坐标系如图所示,则
.
曲线L的参数方程为
x=Rcosθ,y=Rsinθ(-α≤θ<α).
于是
=R3(α-sinαcosα).
例3计算曲线积分
其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧.
解在曲线Γ上有x2+y2+z2=(acost)2+(asint)2+(kt)2=a2+k2t2,并且
于是
.
小结:
用曲线积分解决问题的步骤:
(1)建立曲线积分;
(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程),确定参数的变化范围;
(3)将曲线积分化为定积分;
(4)计算定积分.
§10.2对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
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- 第十 曲线 积分