三角形梯形中位线定理教师版.docx
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三角形梯形中位线定理教师版
三角形、梯形中位线定理应用练习课
一、复习题组
1.知识要点
A1,三角形中位线性质定理的条件是,
(1)如图
结论是;DE三角形中位线判定定理的条件是,CB结论是。
1)(图AD如图2,梯形中位线性质定理的条件是,
(2)
结论是;EF梯形中位线判定定理的条件是,CB2结论是。
(图)2.基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系,也反映了线段间的倍半关系。
此外,证明线
段相等或倍半关系还有其他方法,你能指出一些其他的常用方法吗?
全等三角形对应边相等;
(1)
(2)等角对等边,等腰三角形“三线合一”性质;线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(3)
角平分线上的点到角的两边距离相等;(4)
(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;30°角所对的直角边等于斜边的一半;(6)直角三角形中,(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质;(8)等腰梯形的两腰相等,两条对角线相等。
二、基本题组
1.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是;.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是;2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是;34.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是;5.顺次连结正方形各边中点所得的四边形是;.顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。
67.顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。
8.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
1/8
.顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形;9.顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形;1011.顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
系统小结,深刻理解
的周长比为,面积比为。
各边的中点,则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC12.已知,AC的四等分点,BC=28的四等分点,D'、E'、F'是13.如图3,在△ABC中,D、E、F是ABFF'=EE'=,。
则DD'=,边的三等分点,若BC=18,边的三等分点,D'、E'是AC14.如图4,在△ABC中,D、E是AB,EE'=。
则DD'=CD于是AB的三等分点,EE'//FF'//BC,分别交.如图155,在梯形ABCD中,AD//BC,E、FFF'=。
AD=10,则EE'=,E'、F'。
若BC=28,A
AADDD'
EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB(图5))(图4)3(图.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是()16D.垂直平分且相等.相等且平分B.相等且垂直C.垂直平分A)17.以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是(.正方形.矩形C.菱形DBA.平行四边形、教练题组三
□E为边作AD、AC,ACED,以,在梯形例1.已知:
如图6ABCD中,AB//CD
EB的延长线交于F。
DCFCD求证:
EF=FB。
1〖注〗本题先由学生讨论,拓宽证题思路,再补充、归纳;BA)62〖注〗本题证法较多,关键是如何添加辅助线,主要方法如下。
(图
2/8
小结AB于点G(如图7);
(1)延长EC,交
8);EC,交BA的延长线于点G(如图
(2)延构造三角形中位
CD于点G(如图);9(3)连结AE,交(如图10);AB于G、H(4)过点E作EG⊥AB,分别交DF、
构造梯形中位线11AD的延长线于G(如图);(5)过点E作EG//CD,交
12);,交AB于G(如图(6)过点F作FG//AD
构造全等三角形
于G(如图13);(7)过点F作FG//AC,交AB
)。
构造平行四边形B作BG//AD,交CF的延长线于,连结EG(如图14(8)过点EEEE
FFFFCDGCDCCDDG
HBAABBBAGAG
(图10)97(图)(图8)(图)GEEEE
FFFFCDCDCDDCG
GBABAGBAAB14)11)(图12)(图13)(图(图〖注〗重点研究图7、8、9、11的证法,其他图形的证法仅提一提,以培养学生的发散思维能力。
例2.已知:
如图15,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,延长AB到D,使BD=AB。
求证:
CD=2CE。
C
16)。
F,连结BF(如图证法一:
取AC的中点17)。
AC的延长线于F(如图证法二:
过点B作BF//CE,交AEBD证法三:
延长CE到F,使EF=CE,连结FA、FB(如图18)。
(图15)
F
C
CC
FABEDEABDAEBDF18))(图17(图16)(图例3.已知:
如图19,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,E是BC的中点。
AAB=2DE
求证:
DE一半的线段等于,只需证等于AB要证分析:
(1)AB=2DEAB倍的线段等于。
2DE或等于的3/8
CEDB.
(2)找等于AB一半的线段有三种方法:
一是只取AB的中点,但这不利于问题的证明;(图19)
二是构造以AB为斜边的直角三角形中线(因为条件中有垂直),再证此中线长等于DF;
三是构造以AB为第三边某三角形的中位线,再证此中位线等于DE。
证法一:
取AB的中点F,连结DF、EFAA
(如图20)。
F(以下证明略)FEFDF、证法二:
取AC的中点F,连结CCEBDEDB21)。
(如图))(图21(以下证明略)(图20ACN是△ABC的角平分线,例4.(选讲)已知:
如图22,BM、
MN,AF⊥CN于F。
于AE⊥BMEEF。
求证:
EF//BCCB22)分析:
由“角相等”证“平行”很难实现。
考虑条件中有“角平分线”(图A和“垂直”,因而可采用“补形”的办法试证。
MN。
(以下略)BC于HAE证明:
延长AF交BC于G,延长交FE思考:
若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”(如图23),CPQB)(图23结论是否还成立?
如何证明?
A四、巩固题组
的中点,是AD是△ABC的中线,E,1.已知:
如图24ADFEAE的延长线交AC于F。
求证:
BE=3EF。
CBD(图24)
AED⊥AC,ABCD,在菱形中,E是AD的中点,EF2.已知:
如图25
G。
GAB于,交CB延长线于F交。
求证:
GE=GFCFB(图25)N
3.(选做)MDBC、分别是E、FAD,已知:
如图26,在四边形ABCD中,AB=CDAE的延长线于CD的中点,延长BA、,分别交FEM、N。
CBF。
26(图)CNFBMF=求证:
∠∠一、复习题组
A1,三角形中位线性质定理的条件是,1.如图
结论是;DE三角形中位线判定定理的条件是,CB4/8
结论是。
(图1)
AD,梯形中位线性质定理的条件是,2.如图2
结论是;EF梯形中位线判定定理的条件是,CB结论是。
(图2).三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系,也反映了线段间的倍半关系。
此外,证明线3段相等或倍半关系还有其他方法,你能指出一些其他的常用方法吗?
二、基础题组
1.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是;2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是;3.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是;4.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是;5.顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。
6.顺次连结梯形各边中点所得的四边形是;7.顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是;8.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
.顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形;9.顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形;10.顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
11的周长比为,面积比为。
DEF与△ABCE、F是△ABC各边的中点,则△12.已知D、,的四等分点,BC=28E'、F'是ACD中,、E、F是AB的四等分点,D'、13.如图3,在△ABC;,FF'=则DD'=,EE'=
BC=18,E'是AC边的三等分点,若D、E是AB边的三等分点,D'、ABC14.如图4,在△中,EE'=;则DD'=,
于EE'//FF'//BC,分别交CDE,、F是AB的三等分点,15.如图5,在梯形ABCD中,AD//BC。
,FF'=,。
若BC=28AD=10,则EE'=E'、F'A
AADDD'
EDED'E'E'FEFF'E'F'
CCCBBB5(图)(图4)3(图))16.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是(.垂直平分且相等.垂直平分DCA.相等且平分B.相等且垂直)17.以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是(DCBA.平行四边形.矩形.菱形.正方形5/8
、例题题组三□ACED,AC为边作ABCD中,AB//CD,以AD、例1.已知:
如图,在梯形DC的延长线交EB于F。
求证:
EF=FB。
EEE
FFFCDCDDC
BABBAA
EEE
FFFCDDDCC
BAABAB
。
到ABD,使BD=AB的中点,延长是中,.已知:
如图,在△例2ABCAB=AC,EABCD=2CE求证:
。
CCC
EABBEADDBAED
BCAD,CB=2ABC3例.已知:
如图,在△中,∠∠⊥于的中点。
BC是ED,AB=2DE
求证:
AAA
CEBDCCEEDDBB
6/8
例4.(选讲)已知:
如图,BM、CN是△ABC的角平分线,AE⊥BM于E,AF⊥CN于F。
A。
求证:
EF//BC
MNEF
CB
思考:
若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”(如图),结论是否还成立?
如何证明?
A
MNFE
CPQB
四、巩固题组。
AC于F的延长线交是是△1.已知:
如图,ADABC的中线,EAD的中点,AEA
BE=3EF。
求证:
F
E
CBD
7/8
2.已知:
如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC,交AB于G,交CB延长线于F。
AED。
求证:
GE=GF
G
CBF
BC的中点,分别是,.(选做)已知:
如图,在四边形3ABCD中,AB=CDE、FAD、N
M的延长线于、。
NFECDBA延长、,分别交M求证:
∠BMF=。
∠CNFDAEBCF8/8
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