1、三角形梯形中位线定理教师版三角形、梯形中位线定理应用练习课 一、复习题组 1知识要点 A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图 结论是； DE 三角形中位线判定定理的条件是，CB 结论是。1） （图AD 如图2，梯形中位线性质定理的条件是， (2) 结论是； EF 梯形中位线判定定理的条件是， CB 2 结论是。 （图） 2基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？ 全等三角形对应边相等；(1) (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； 线段垂直平分线上的点到线段
2、两端点的距离相等；(3) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(4) (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 30角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中， (7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质； (8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 二、基本题组 1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5顺次连结正方形各边中点所得的四边形是； 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。6 7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。 8顺次连结等腰梯形
3、各边中点所得的四边形是。1 / 8 顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 10 11顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。 系统小结，深刻理解 的周长比为，面积比为。各边的中点，则DEF与ABCD、E、F是ABC 12已知 ，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D、E、F 是 13如图3，在ABC中， D、E、F是AB FF = EE =，。 则DD=， 边的三等分点，若BC=18，边的三等分点，D、E 是AC 14如图4，在ABC中，D、E是AB ，EE =。 则DD= CD于是AB的三等分点，EE / FF
4、 / BC，分别交如图 155，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F FF = 。AD=10，则EE =， E、F。若BC=28，A AADDD EDEDEE FEFFEF CCCBBB （图5） （图4） 3 （图 直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ ） 16 D垂直平分且相等相等且平分 B相等且垂直 C垂直平分 A ） 17以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ 正方形矩形 C菱形 D B A平行四边形 、教练题组三 E 为边作AD、AC，ACED，以，在梯形例 1已知：如图6ABCD中，AB/CD EB的延长线交于F。 DCFCD 求证：EF = FB
5、。 1 注本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA）6 2 注本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图 2 / 8 小结AB于点G（如图7）；(1)延长EC，交 8）；EC，交BA的延长线于点G（如图(2)延构造三角形中位 CD于点G（如图）；9(3)连结AE，交 （如图10）；AB于G、H(4)过点E作EGAB，分别交DF、 构造梯形中位线11AD的延长线于G（如图）；(5)过点E作EG/CD，交 12）；，交AB于G（如图(6)过点F作FG/AD 构造全等三角形 于G（如图13）；(7)过点F作FG/AC，交AB ）。 构造平行四边形B作BG/AD，交CF的延长线于
6、，连结EG（如图14(8)过点EEEE FF FFCDGCDCCDDG HBAABBBAGAG （图10）97 （图） （图8） （图）GEEEE FFFFCDCDCDDC G GBABAGBAAB 14）11） （图12） （图13） （图 （图 注重点研究图7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。 例2已知：如图15，在ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。 求证：CD=2CE。 C 16）。F，连结BF（如图证法一：取 AC的中点 17）。AC的延长线于F（如图证法二：过点B作BF/CE，交AEBD证法三：延长CE到F，使EF
7、=CE，连结FA、FB（如图18）。 （图15） F C CC F ABED EABDAEBDF 18） （图17 （图16） （图 例3已知：如图19，在ABC中，B=2C，ADBC于D，E是BC的中点。 AAB=2DE 求证： DE 一半的线段等于，只需证等于AB要证分析：(1) AB=2DE AB倍的线段等于。2DE 或等于的3 / 8 CEDB (2) 找等于AB一半的线段有三种方法： 一是只取AB的中点，但这不利于问题的证明； （图19） 二是构造以AB为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直），再证此中线长等于DF； 三是构造以AB为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于DE。
8、证法一：取AB的中点F，连结DF、EF AA （如图20）。F （以下证明略） FEF DF、证法二：取AC的中点F，连结CCEBDEDB 21）。 （如图 ） （图21 （以下证明略） （图20A CN是ABC的角平分线，例4（选讲）已知：如图22，BM、 MN ，AFCN于F。于 AEBMEEF 。 求证：EF / BCCB 22）分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线” （图A 和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。 MN 。（以下略）BC于HAE证明：延长AF交BC于G，延长交FE 思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图23），CPQB ） （图
9、23结论是否还成立？如何证明？ A四、巩固题组 的中点，是AD是ABC的中线，E， 1已知：如图24ADFE AE的延长线交AC于F。 求证：BE = 3EF。 CBD （图24） AED AC，ABCD，在菱形中，E是AD的中点，EF2已知：如图25 G 。GAB于，交CB延长线于F 交 。 求证：GE=GFCFB （图25） N 3（选做）MDBC 、分别是E、FAD， 已知：如图26，在四边形ABCD中，AB=CDAE 的延长线于CD 的中点，延长BA、，分别交FEM、N。CBF 。26 （图）CNFBMF= 求证：一、复习题组 A 1，三角形中位线性质定理的条件是， 1如图 结论是；
10、DE 三角形中位线判定定理的条件是，CB4 / 8 结论是。 （图1） AD ，梯形中位线性质定理的条件是，2如图2 结论是；EF 梯形中位线判定定理的条件是，CB 结论是。 （图2）三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线 3 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？二、基础题组 1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 2顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是； 3顺次连结矩形各边中点所得的四边形是； 4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。 6顺次连结梯形各边中点所得的四边形是；
11、7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是； 8顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。 顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 9 顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。11 的周长比为，面积比为。DEF与ABCE、F是ABC各边的中点，则12已知D、 ，的四等分点，BC=28E、F 是AC D中，、E、F是AB的四等分点，D、13如图3，在ABC ；，FF = 则DD=，EE = BC=18，E 是AC边的三等分点，若D、E是AB边的三等分点，D、ABC14如图4，在中， EE =；则DD=， 于EE / FF
12、 / BC，分别交CDE，、F是AB的三等分点，15如图5，在梯形ABCD中，AD/BC 。，FF = ，。若BC=28AD=10，则EE = E、FA AADDD EDEDEE FEFFEF CCCBBB 5（图） （图4） 3 （图） ）16直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ 垂直平分且相等垂直平分 D C A相等且平分 B相等且垂直 ）17以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ D C B A平行四边形矩形菱形正方形5 / 8 、例题题组 三ACED，AC为边作 ABCD中，AB/CD，以AD、 例1已知：如图，在梯形 DC的延长线交EB于F。 求证：
13、EF = FB。 EEE FFFCDCDDC BABBAA EEE FFFCDDDCC BAABAB 。到ABD，使BD=AB的中点，延长是中，已知：如图，在例2ABCAB=AC，EAB CD=2CE求证：。 CCC EABBEADDBAED BCAD，CB=2ABC3例 已知：如图，在中，于的中点。BC是ED，AB=2DE 求证：AAA CEBDCCEEDDBB 6 / 8 例4（选讲）已知：如图，BM、CN是ABC的角平分线，AEBM于E，AFCN于F。 A 。求证：EF / BC MNE F CB 思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图），结论是否还成立？如何证明？A MN FE CPQB 四、巩固题组 。AC于F的延长线交是是 1已知：如图，ADABC的中线，EAD的中点，AEA BE = 3EF。 求证：F E CBD 7 / 8 2已知：如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EFAC，交AB于G，交CB延长线于F。 AED 。 求证：GE=GF G CBF BC的中点，分别是，（选做）已知：如图，在四边形3ABCD中，AB=CDE、FAD、N M的延长线于、。NFECDBA 延长、，分别交M 求证： BMF=。CNFDA EBCF8 / 8
