高等代数教学大纲.docx
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高等代数教学大纲
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
高等代数
AdvancedAlgebra
课程代码
0751********
课程属性
学科基础
课时/学分
64+64/4+4
课程性质
必修
实践学时
责任教师
张京良陈文轶
课外学时
128+128
课程属性:
学科基础
课程性质:
必修
一、课程介绍
1.课程描述:
高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课,是学习其它数学课程的主要先修课之一。
高等代数的内容主要包含两个模块:
第一模块,方程和方程组的求解问题,主要内容有:
多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型;第二模块,线性空间相关理论,主要内容有:
线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。
高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。
2.设计思路:
开设高等代数课程的目的是:
一方面,使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识,使其掌握系统的经典代数内容,为学习其它数学课程(如数值代数、近世代数、计算方法等等)提供坚实的代数基础知识;另一方面,通过本课程的学习,逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力,提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。
19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论,称为经典代数;19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构,如群、环、域、模等,称为抽象代数或近世代数。
高等代数课程的内容主要是经典代数内容,涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。
高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的,主要有两条主线:
第一,方程和方程组求解问题,第二,线性空间相关理论。
第一条主线的主要内容有:
多项式理论——对应高次方程,其求解需要降次,需研究多项式的因式分解;行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一;线性方程组理论——解的判定与求法;矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质;二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。
第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广,主要有:
线性空间——几何空间的推广与抽象;线性变换——线性空间中点的运动的描述;λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似;欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间,是几何空间的推广。
3.课程与其他课程的关系:
先修课程:
无;
并行课程:
数学分析、空间解析几何;
后置课程:
近世代数。
高等代数与近世代数内容恰好实现对接,完整体现了代数学的基本内容,联系密切。
二、课程目标
本课程目标是:
一方面使学生系统地掌握经典代数的内容,包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等,为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础;另一方面,通过本课程的学习,培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力,提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。
到课程结束时,学生应达到以下几方面要求:
(1)知识掌握良好。
会判断多项式的可约性,能计算两多项式的最大公因式;会计算行列式;会判定线性方程组是否可解,掌握线性方程组解的结构;熟练掌握矩阵的各种运算;可将二次型化为标准形;掌握线性空间基底理论以及子空间的运算;会写线性变换的矩阵,会判定矩阵是否对角化、准对角化,并能求出其相应对角形与准对角形(若当标准形与有理标准形);掌握欧式空间上的正交变换与对称变换。
(2)能力得到提高。
通过课程中大量计算题目的练习使得数值计算能力得到提高;通过课程中大量证明题目的练习,使得问题分析能力和逻辑思维能力得到提高;通过线性空间与欧氏空间都是几何空间的抽象,来锻炼抽象思维能力。
(3)数学素质得到提升。
通过多项式理论学习,知道解高次方程时应降次,就需因式分解;研究线性方程组时只需研究其系数,从而引出矩阵与行列式;通过学习线性空间时先学子空间,再学同构,知道研究一个代数系统的方法——由内到外,即先研究其子代数系统,再通过映射研究这个代数系统与其它代数系统的关系;通过线性变换在不同基底下的矩阵相似引出矩阵的对角化与准对角化;几何空间中有长度、夹角、距离等,将其推广到一般线性空间便得到欧氏空间。
想明白这些“自然想法”,则学生的数学思想与数学素养便会得到有效提升。
三、学习要求
为达到教学目标和良好的学习效果,希望学生:
(1)课前要预习。
通过预习,了解本堂课主要学习哪些知识,从而做到心中有数。
对自己不能看懂的知识,上课时特别注意听讲;能看懂的知识,注意教师讲解时有何补充。
(2)课上有效听讲。
一是不缺课,因为后面内容的学习要用到前面内容作为基础,各节知识环环相扣,漏掉一次会严重影响后续内容的学习;二是做好笔记,记下教师举过的例题与补充的知识,过后仔细体会;三是要理解,在理解的基础上加以记忆,不理解的要赶紧问。
(3)课后主动学习。
一是按时完成常规练习作业,才能有助于掌握课堂所学内容,提高自己分析问题、解决问题的能力。
二是善于与同学交流,相互讨论有助于对知识的理解;三是主动寻求一些参考书进行阅读,只有见多才能识广。
四是学会利用网络资源,比如主动看一些国内高等代数精品课视频、微课视频等,提高自己对课程的兴趣和某个知识点的理解;也可看一些外文线性代数课程视频,学习一些数学专业术语的英文表达,为以后参与国际交流打下基础。
四、参考教材与主要参考书
1、选用教材:
《高等代数》(第4版),王萼芳、石生明修订,高等教育出版社,2013年8月出版。
2、主要参考书:
[1]高等代数(上、下册),丘维声著,清华大学出版社,2010年6月出版。
[2]高等代数,张贤科许甫华编著,清华大学出版社,2004年7月出版。
[3]高等代数习题解(上、下册),杨子胥编,山东科学技术出版社,2008年10月第二版。
[4]高等代数导教∙导学∙导考,徐仲等编,西北工业大学出版社,2014年8月第四版。
五、进度安排
序号
专题
主题
计划课时
主要内容概述
课下作业
1
多项式
什么是高等代数
2
代数发展史简介;本教材知识体系结构;为何学习多项式;数域定义;一元多项式
学习群、环、域定义;
多项式理论与一元高次方程理论的关系
多项式怎么进行除法运算
2
带余除法;整除;综合除法
教材作业;与整数的除法类比
如何求两多项式的最大公因式
2
最大公因式定义;欧几里得算法;两多项式互素
教材作业;
与整数的最大公因子求法类比
怎么对多项式进行因式分解
1
不可约多项式;因式分解定理;
与整数的因式分解对比——多项式环与整数环的比较
如何判定多项式有否重根
3
重因式定义与判定;多项式重根重数的判定
教材作业
多项式在复数域、实数域、有理数域上的可约性
4
多项式复数域上的因式分解定理;多项式根与系数的关系;多项式在实数域上的因式分解定理;多项式有理根的求法;有理根的存在与有理数域上多项式可约性的关系;有理数域上不可约多项式的判定
教材作业;寻求艾森斯坦因判别法之外的方法,判别有理数域上多项式的可约性
多元多项式中项的排序
1
多元多项式定义;字典序;多元多项式的齐次表示
了解多元多项式环;与一元多项式环比较
如何将一对称多项式表示为初等对称多项式的多项式
2
对称多项式;初等对称多项式;对称多项式基本定理
教材作业
2
行列式
行列式的展开式如何表示
2
为什么学习行列式;反序数;行列式的定义
教材作业
行列式的计算
4
行列式的性质;行列式与矩阵的关系;行列式按一行展开
教材作业
克莱姆法则
2
克莱姆法则
教材作业
行列式如何按多行展开
2
拉普拉斯定理
教材作业
行列式的计算
2
行列式计算常用方法:
降阶法、加边法、递推法、逐列相加法、拆项法、析因法
寻找其它行列式计算方法
3
线性方程组
如何用高斯消元法解线性方程组
1
高斯消元法
与中学解线性方程组方法比较
向量与线性方程组关系
1
向量空间
与解析几何联系
向量组线性相关性
3
向量组线性相关与线性无关;极大线性无关组;向量组的秩
教材作业;
矩阵的秩
2
矩阵秩的定义与求法
教材作业;
线性方程组解的判定与结构
4
线性方程组解的判定定理、通解的求法;齐次线性方程组的基础解系与解的结构;非齐次线性方程组解的结构
教材作业;
4
矩阵
矩阵的运算
2
矩阵的加法、乘法、数乘、转置
教材作业;
矩阵环与整数环、多项式环的比较
矩阵乘积后秩的变化
1
矩阵乘后的行列式与秩
教材作业;总结矩阵经加法、乘法、数乘、转置后的秩
矩阵的逆运算
2
矩阵的逆、伴随矩阵、逆矩阵的求法
教材作业;
分块矩阵的运算
1
分块矩阵的加法、乘法、数乘、转置
教材作业;
探讨一些特殊分块矩阵的运算
初等矩阵与初等变换的关系
3
初等矩阵;初等矩阵与初等变换的关系;两矩阵等价;初等变换法求矩阵的逆
教材作业;
分块初等矩阵与分块初等变换的关系
2
分块初等矩阵;分块初等矩阵与分块初等变换的关系
教材作业;
5
二次型
如何化二次型为标准型
3
二次型的起源、定义与表示;非退化线性替换;矩阵合同;用配方法与合同变换法化二次型为标准型
教材作业;熟悉合同变换法
二次型在实数域和复数域上的标准形
2
复二次型的规范形;复二次型和复对称矩阵的分类;实二次型的规范形;实二次型和实对称矩阵的分类
教材作业;用二次型知识求二次曲线和二次曲面的分类
正定矩阵的判定
4
正定矩阵的定义与判定;负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵的定义与判定
教材作业;探讨正定矩阵运算后的正定性
6
线性空间
什么是线性空间
2
集合;映射;线性空间的定义与性质
教材作业
线性空间的基底
2
有限维线性空间的基底;向量在基底下的坐标
教材作业;比较向量空间与线性空间
基底改变时向量的坐标有何变化
2
过渡矩阵的定义与求法;向量在两组基底下的坐标的关系
教材作业;举一些多项式空间、矩阵空间中求坐标的例子
什么是线性子空间
2
线性子空间的定义、判定与性质;有限生成的子空间
教材作业
子空间的运算
2
子空间的交;子空间的和;维数公式
教材作业;探讨子空间的并与子空间的和的关系
子空间的和是直和的判定
2
子空间的和是直和的定义与判定
教材作业
线性空间的同构
1
线性空间的同构;有限维线性空间的结构
教材作业;思考:
从哪几方面研究一个代数系统
7
线性变换
什么是线性变换
1
线性变换的定义与性质
教材作业
线性变换的运算
2
线性变换的加法、减法、乘法、数乘、逆变换、幂运算
教材作业
线性变换的矩阵
3
线性变换在一组基下的矩阵的定义与求法;线性变换空间与矩阵空间的同构;向量经变换后的坐标;相似矩阵
教材作业;思考:
线性空间中点或向量的运动用什么描述
如何计算矩阵的特征值与特征向量
3
线性变换以及矩阵的特征值与特征向量的定义与求法;特征子空间;特征多项式的性质
教材作业;思考:
为什么研究矩阵的特征值与特征向量
矩阵的对角化
2
线性变换与矩阵的可对角化的判定;可对角化时怎么对角化
教材作业
线性变换的值域与核
3
线性变换的值域与核的定义、性质、基底和维数;线性变换的秩与零度
教材作业;思考:
为什么研究线性变换的值域与核
矩阵的准对角化
2
线性变换的不变子空间的定义与性质;线性变换与矩阵的可准对角化的判定
教材作业;查找零化多项式的定义;思考:
怎么说明每一个方阵可以准对角化
复矩阵的准对角化
1
复矩阵的若当标准形
教材作业
最小多项式
1
最小多项式的定义与性质;矩阵的最小多项式与对角化的关系
教材作业
8
-矩阵
-矩阵与数字矩阵的异同
1
-矩阵的定义;-矩阵的秩;-矩阵的可逆矩阵;-矩阵的多项式表示
教材作业
怎么将-矩阵化为Smith标准形
2
-矩阵的初等变换;-矩阵的初等矩阵;-矩阵的等价;-矩阵的Smith标准形
教材作业;复习:
数字矩阵的标准形
-矩阵的不变因子
2
-矩阵的行列式因子;-矩阵的Smith标准形的唯一性;-矩阵的不变因子
教材作业;思考:
矩阵的特征多项式、最小多项式与其不变因子的关系
-矩阵的初等因子
3
-矩阵的初等因子;-矩阵的不变因子与初等因子的关系;-矩阵的初等因子的计算
教材作业
矩阵相似的判定
2
两数字矩阵相似当且仅当它们的特征矩阵等价;用行列式因子、不变因子、初等因子判定矩阵相似
教材作业
复数域上矩阵的准对角化
2
矩阵的若当标准形的定义、唯一性及求法;复矩阵可对角化的一些条件
教材作业;思考:
复矩阵与其若当标准形间的过渡矩阵怎么求
任意数域上矩阵的准对角化
1
矩阵的有理标准形的定义、唯一性与求法
教材作业
9
欧几里得空间
如何将几何空间中的度量性质推广到一般线性空间中
3
欧氏空间的定义;内积运算的性质;欧氏空间中向量的长度、夹角、距离;度量矩阵
教材作业;思考:
为何通过引进线性空间的内积可得度量性质?
欧氏空间为何定义在实数域上?
欧式空间中直角坐标系
3
欧氏空间的标准正交基;施密特正交化方法;正交矩阵的定义与性质
教材作业
有限维欧氏空间的结构
1
欧氏空间的同构的定义与性质;有限维欧氏空间的结构
教材作业
欧氏空间中的特殊线性变换之一
2
欧氏空间中正交变换的定义、判定与分类
教材作业
欧氏空间中的子空间
2
正交子空间的定义、和;子空间的正交补;向量在子空间上的内射影与向量到子空间的距离
教材作业
欧氏空间中的特殊线性变换之二
3
欧氏空间中对称变换的定义;对称变换与对称矩阵的关系;对称变换和对称矩阵的正交对角化
教材作业
欧氏空间的应用与推广
2
最小二乘法;酉空间简介
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六、成绩评定
(一)考核方式A:
A.闭卷考试B.开卷考试C.论文D.考查E.其他
(二)成绩综合评分体系:
成绩综合评分体系
比例%
1.出勤、作业
30
2.平时测验
20
3.期末考试
50
总计
100
附:
作业和平时表现评分标准
1)作业的评分标准
作业的评分标准
得分
1.严格按照作业要求并及时完成,基本概念清晰,解决问题的方案正确、合理,能提出不同的解决问题方案。
90-100分
2.基本按照作业要求并及时完成,基本概念基本清晰,解决问题的方案基本正确、基本合理。
70-80分
3.不能按照作业要求,未及时完成,基本概念不清晰,解决问题的方案基本不正确、基本不合理。
40-60分
4.不能按照作业要求,未及时完成,基本概念不清晰,不能制定正确和合理解决问题的方案。
0-30分
2)课堂讨论及平时表现评分标准
课堂讨论、平常表现评分标准
得分
1.资料的查阅、知识熟练运用,积极参与讨论、能阐明自己的观点和想法,能与其他同学合作、交流,共同解决问题。
90-100分
2.基本做到资料的查阅、知识的运用,能参与讨论、能阐明自己的观点和想法,能与其他其他同学合作、交流,共同解决问题。
70-80分
3.做到一些资料的查阅和知识的运用,参与讨论一般、不能阐明自己的观点和想法,与其他同学合作、交流,共同解决问题的能力态度一般。
40-60分
4.不能做到资料的查阅和知识的运用,不积极参与讨论,不能与其他同学合作、交流,共同解决问题。
0-30分
七、学术诚信
学习成果不能造假,如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等,均属造假行为。
他人的想法、说法和意见如不注明出处按盗用论处。
本课程如有发现上述不良行为,将按学校有关规定取消本课程的学习成绩。
八、大纲审核
教学院长:
院学术委员会签章:
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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