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数学建模B题.docx
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数学建模B题
交巡警服务平台的设置与调度
摘要:
关键字:
一、问题的背景:
“有困难找警察”,是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能,需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的,那么如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
二、问题重述:
对于某市设置交巡警服务平台的相关情况,给出以下两个方面的问题:
问题一:
(1)根据A城区的资料,为各交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内有交巡警(警车的时速为60km/h)到达事发地。
(2)对于重大突发事件,需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
在一个平台的警力最多封锁一个路口的实际问题中,设计一个符合该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
(3)根据实际情况,拟在该区内再增加2至5个平台,请确定需要增加平台的具体个数和位置。
问题二:
(1)针对全市(主城六区A,B,C,D,E,F)的具体情况,分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。
如果有明显不合理,请给出解决方案。
(2)如果该市地点P(第32个节点)处发生了重大刑事案件,在案发3分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯,请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
三、符号说明
k——k=1、2、3、4、5、6分别代表A、B、C、D、E、F六个区
i——表示第i个交巡警服务平台j——表示第j个结点
r——圆域的半径t——出警所需的最大时间
〥——图中标数与实际比例c
——每个结点的案发次数
m
——各区的案发次数总和n
——各区交巡警服务平台的个数
S
——各区的区域面积v——恒定车速
b
——各区人口总和ρ
——各区的人口密度
z
——各交巡警服务平台所走的总距离
p
——各区每个交巡警服务平台的服务面积
q
——各区交巡警服务台平均所处理的案发次数(q
=
)
l
——重新分配各区交巡警服务平台的个数
d
——第i个交巡警服务平台到第j个结点的距离
s——从交巡警服务平台到达案件发生地所需行驶的最长路径
C
——A区各个交巡警服务平台的案发次数总和
四、模型假设:
(1)每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同,且每位警员服从安排,正常上岗。
(2)警车和犯罪嫌疑人逃跑所驾驶的车的时速均为60km/h,且在追捕或逃离过程中,交通便利。
(3)在快速全封锁时,一个平台的警力最多封锁一个路口。
(4)每个结点只被一个交巡警服务台所服务,且任何一个结点发生案件时,必有警员去处理案件。
五、问题分析
问题一:
(1)要解决此问题,须针对题中的限制条件进行分析,计算出各交巡警服务平台的管辖范围,在限制条件下,可以解得从交巡警服务平台到达案件发生地所需行驶的最长路径s,根据s确定交巡警服务平台的管辖范围。
(2)对于重大突发事件,需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
在接到命令时,所有的交巡警服务平台的警力是同时出发的。
全封锁时全部的交通要道都有警力封锁,封锁时间是最后的警力部署完毕所,用的时间。
所以,我们所要求的是使得在最后的警力封锁最后的交通要道所用的时间尽可能少。
(3)针对有些地方出警时间过长的实际情况,我们可以将时间从原来的3分钟放宽到5分钟,使管辖该范围的服务平台的警员能在5分钟内达到事件发生地。
而针对有些交巡警服务平台的工作量不均衡的情况,我们可以增加2到5个平台使其工作量尽量接近均衡值6(其中6=[124.5/20]即平均每个服务平台处理的案发次数接近6)。
问题二:
(1)基于问题一中方案一和方案二的比较,我们选择了方案二,则问题二是在方案二的基础上讨论。
对于方案的合理性的讨论分为两方面,一是对于针对全市整体讨论,二是A、B、C、D、E、F作为等价的,则针对A区讨论再类推到其他五个区即可。
(2)?
六、模型建立:
6.1.1.1
模型一:
在某交巡警服务平台所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内到达事发地,由题意可知,车速恒为v千米/小时,出警所需的最大时间t分钟,则从交巡警服务平台到达案件发生地所需行驶的最长路径为:
s=
.v.〥
以s为半径,即r=s,以r为半径用MATLAB软件(程序见附录1)画属于各交巡警服务平台的圆域;再动手计算出在任何一个圆域内满足到交巡警服务平台的距离小于r的结点;对于满足同时在2个及2个以上圆域内的结点,计算出这几个圆域中离他最近的交巡警服务平台;对于不在任何一个圆域内的结点额外考虑,即找出与该结点最近的交巡警服务平台,从而为各交巡警服务平台分配好了管辖范围。
6.1.1.2
模型二
权值矩阵定义
引用图论相关知识,把A区的交通节点及街道抽象为一个无向赋权图G=(V,E),G中的每个顶点为交通节点。
如果从G中的顶点
到
有直达路线,那么这两点间存在边,记做
,相应有
称为该边的权。
这样,A区的交通图就抽象为一个无向赋权图。
G的权值矩阵
6.1.1.2目标分析
目标:
管辖范围内发生突发事件,尽量在3分钟内有交巡警到达事发地。
基于6.1.1.2.1的无向赋权图,运用Warshall-Floyd算法及其改进算法,求出交通节点与交巡警服务平台k间的最短路
,并筛选出
则这部分节点由k来服务。 为防止某一服务平台的工作量太大,限定一个服务平台服务的交通节点数一般不大于10. R为限制条件,在本模型中是指服务平台k所能服务的半径。 比较: 方案二是用MATLAB软件计算,更精确。 因此,方案二是在方案一上的优化。 6.1.2 对于重大突发事件,需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。 在接到命令时,所有的交巡警服务平台的警力是同时出发的。 全封锁时全部的交通要道都有警力封锁,封锁时间是最后的警力部署完毕所用的时间。 所以,我们所求的是便是,在最后的警力封锁最后的交通要道所用的时间尽可能少。 即: 表示第i个服务平台到第j个交通要道的距离 v出警的速度,恒定为60 表示所出警的服务平台到相应的交通要道封锁时所走的线路 中的最大线路的长度,是其尽可能短,即使时间尽可能小。 例如: 平台A1~A13为出警平台,那么相应地去封锁13个交通要道,这样就有13条线路。 在接警是同时出发,那么全封锁的时间就是由最后一个到达交通要道的警力的时间。 在速度恒定的情况下,时间越长,距离越长。 那么最后一个到的警力必定是距离最长的。 要是全封锁的时间越短,就要是所走的13条线路中的最大距离的那条线路的长度尽可能小,即 。 目标: 条件: 用MATLAB软件求出A区所有的交通结点之间的边附上权值,用Warshall-Floyd算法求出平台i与交通要道j之间的最短路,得出各平台与交通要道的距离矩阵,矩阵如下: 对个平台到各个交通要道的距离按升序排列,筛选出距离各交通要道最短距离,次短距离,第三短距离及第四短距离,必要时再参考第五短距离。 最短距离等数据如下表: 由图表可知,对每个交通要道都给出了4~5条封锁线路,全部的路线约为75条,我们的任务是从中筛选出13条线路,使这13条线路所选的服务平台均不同(即选出13个平台),使得这13条线路中的最大距离尽可能小。 由最短距离可知,服务平台编号为28、29的交通要道的最短距离分别为48mm,57mm,则全封锁所需的时间最小为 。 然而,48mm和57mm都是A15平台的到交通要道的距离,根据题意: 实际中一个平台的警力最多封锁一个路口。 故28、29要道只能封锁一个。 参考次短距离,A7到28、29要道的距离分别为86mm,80mm。 综合考虑,有A7封锁29要道,A15封锁28要道。 那么,全封锁的最小时间为8min。 假如在之后的检验中,发现有某条线路长度必须大于80mm才能封锁,那么最小时间就得修正。 经过对最短距离,次短距离,即第三,第四短距离的比较,发现对于每个交通要道,至少有一条线路在80mm以内,即能在8min内封锁相应的要道。 现给出其中一组全封锁的调度方案,具体调度如下: 6.1.3 针对有些地方出警时间过长的实际情况,我们可以将时间从原来的3分钟放宽到5分钟,使管辖该范围的服务点的警员能在5分钟内达到事件发生地。 而针对有些交巡警服务平台的工作量不均衡的情况,我们可以增加2到5个平台使其工作量尽量接近均衡值6(其中6=[124.5/20]即平均每个服务平台处理的案发次数接近6)。 此处规定各交巡警服务平台的工作量不超过均衡值的20%即不超过7.2满足工作量均衡。 各交巡警服务平台案发次数总和见下表。 A区交巡警服务平台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 10.3 8.3 5.6 7.2 8.8 3.4 9 5 8.2 1.6 A区交巡警服务平台 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 4.6 4 8.5 2.5 4.8 6.4 5.3 5.3 4.2 11.5 根据图表中的数据可以看出1,2,5,7,9,13,20号交巡警服务平台的案发次数总和超过7.2,因此1,2,5,7,9,13,20号交巡警服务平台的工作量是不均衡的。 所以要在其周围增建一些服务平台。 增建服务平台将会破坏原有的管辖区域分配方案。 因此我们在原方案二的基础上做了适当调整,使其既满足能在5分钟内有交巡警到达事发地且时间越短越好,又能满足各服务平台的工作量不超过7.2。 通过计算可知在87号结点、68号结点、48号结点各增建一个服务平台最为合理。 增建三个平台后的管辖分配方案如下: 交巡警服务平台 1 2 3 4 5 6 管辖范围 1、69、74、78、73、71 2、43、44、72 3、54、55、65、66 4、60、61、62、63、64、57 5、49、52、53、56、58 6、59、50、51 交巡警服务平台 7 8 9 10 11 12 管辖范围 7、31、32 8、33、46 9、34、35、45 10、 11、26、27 12、25、24 交巡警服务平台 13 14 15 16 17 18 管辖范围 13、22、23 14、21 15、28、29 16、36、37、38、39 17、41、42、40 18、81、82、83 交巡警服务平台 19 20 21 22 23 管辖范围 19、70、79、80 20、85、86、84 48、30、47 68、67、70、75、76 87、88、89、90、91、92 将改动后的方案与原模型二进行比较 通过两者的平均值、方差值的比较以及两个散点图的分布情况可知,增加三个平台后的方案既可以解决工作量不均衡的问题,又可以适当的解决一些服务平台出警时间过长的实际情况,因此,该方案是合理可行的。 6.2.1 (1)针对全市: 1、各区中每个服务台的平均案发次数不均衡 根据题意可知各区的案发次数总和m 和各区交巡警服务平台的个数n 那么可以求出各区交巡警服务台平均所处理的案发次数q = 交巡警服务台平均处理的案发次数q q q q q q q 结果 6.225 8.3 11.01 7.533 7.96 9.93 由数据可知,C、F两区域的交巡警服务台平均所处理的案发次数偏高。 解决方案: 为了使各区交巡警服务台平均所处理的案发次数大致相同,则应该重新分配各区交巡警服务平台的个数(计算结果四舍五入),l = . 得 重新分配各区所需服务平台个数 l l l l l l 数值 15 8 22 8 14 13 (2)各区域交巡警服务平台的平均服务面积及相应的人口密度问题: 根据题意可知各区的区域面积S 和各区交巡警服务平台的个数n ,可以求出各区每个交巡警服务平台的服务面积p 即p = ;根据可知各区的区域面积S 和各区的人口总和b 可求出各区的人口密度b 即b = 由数据可知,各区每个交巡警服务平台的服务面积相差很大且根据人口密度的数据可知,人口密度大的区域案件发生次数也相对增加。 第k区域 1 2 3 4 5 6 平均服务面积p 1.1 12.875 13 42.56 28.8 24.9 人口密度b 2.72 2.72 0.2217 0.1096 0.1759 0.193 解决方案: 在人口密度大、平均服务面积小的区域按比例增加服务平台的个数,使得各区域平均服务面积大致相同 (3)近似假设与实际问题的出入: 在模型假设中,我们假设了每个结点只能被一个交巡警服务平台所服务,在实际问题中,在同一区域中一些结点所靠近的交巡警服务平台的个数不止一个,甚至这个区域中的结点到该区域中的交巡警服务平台的距离比其到另外区域的交巡警服务平台的距离要远,而根据假设,我们只能选择本区域内的,这点在实际问题的操作过程中会比较的不经济。 解决发案: 在实际问题中,可以让一个结点被多个交巡警服务平台所服务。 针对区域: (1)根据A区各交巡警服务平台管辖范围内各结点的案发次数c (j为各交巡警服务平台管辖范围内各结点的序号)及各交巡警服务平台到其所管辖范围内结点的最短距离d 可以算出各交巡警服务平台所走的总距离z ,即z =2 。 具体数值见下表。 A区交巡警服务平台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 166.1 153.4 120.2 158.1 172.2 38.4 136.2 24.2 126.2 0 A区交巡警服务平台 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 z 47.2 57.6 178 0 104.5 86.4 53.2 50.6 35.2 190.6 从数据上可以得出各交巡警服务平台所走的总距离存在较大差异,因此此处存在明显的不合理性。 解决方案: 在总距离大的区域内增加交巡警服务平台,使得各交巡警服务平台的警员所走的总距离的差距尽可能的小。 (2)个别区域较大面积内没有交巡警服务平台 解决方案: 在较大面积内没有交巡警服务平台的部分设置交巡警服务平台,使得尽量不要出现较大范围内没有交巡警服务平台。 七、模型求解 7.1.1. 模型一: 由题目所给出的数据t=3分钟,v=60000米/小时,〥= 可得: s=3000米,即r=3000米 下表中,表一为属于各交巡警服务平台的圆域;表二为各交巡警服务平台分配好了管辖范围。 表三为各交巡警服务平台管辖范围内的 表一 表二 表三 7.1.1 模型二 用MATLAB自编函数[NumminD]=ktonshf(W,k,R)求出交通节点到服务平台k的最短路 ,并对最短路按升序排列,去距离k最近的若干个交通节点为k的管辖范围。 [NumminD]=ktonshf(W,k,R): Num输出为交通节点的标号,minD为最短路。 W为无向赋权图G的权值矩阵,k为服务平台序号,R为限制条件。 该模型的限制条件为3分钟赶到事发地,警车速度为60km/h,则在3分钟内所走的距离为3km。 鉴于A区地图的比例尺1mm=100m,故R=30. 用MATLAB计算,当k=1时,输出 即69号交通节点距离A1服务平台的距离为5mm,74号交通节点距离A1服务平台的距离为6mm…… 依次算出各服务平台的数据,适当调整,20个服务平台的管辖范围如下图: 此模型求得的管辖范围除个别交通节点未在 模型评价: 1、模型的优点: 2、模型的缺点: 3、模型的推广: 参考文献: [1]: 姜启源、谢金星、叶俊编,《数学模型》-3版,北京,高等教育出版社,2003.8 [2]: 王海英、黄强、李传涛、褚宝增,《图论算法及其MATLAB实现》,北京航空航天大学出版社,2009.10 [3]: 李明哲、金俊、石端银,《图论及其算法》,机械工业出版社,2010.10
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