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悖论逻辑浅析
悖论逻辑浅析
悖论,是一个与数学、逻辑学等多个学科紧密联系的课题,其成因往往是深刻复杂的,本文通过对悖论进行初步探究,可以使我们对许多数学、逻辑的概念有更加深刻的认识,而悖论的成因也正与定义的不明确,或者我们对定义的不理解有关,这些内容都将在本文中加以初步解读。
本文将在前人研究的基础上加以梳理,用逻辑分析与解读的方式,力争让大家对悖论,尤其是数学悖论有所认识。
而在数学的领域中,历史上曾经有过多个重大的悖论课题,如康托尔悖论、最大序数悖论等。
这些悖论当时看似动摇了数学的根基,实则让我们在研究悖论的过程中对数学与逻辑、概念有了更深刻、更清晰的理解。
再此,若要浅析悖论问题,首先要对数学上的悖论问题进行分类研究,其中就要涉及到有限与无限悖论及概率,统计,几何,时间,逻辑等类型的悖论。
本文的学习结果主要为:
初步认识到了悖论的成因,以及几种典型的悖论类型,并对其进行了一定程度上的分析。
在对数学逻辑悖论进行研究的过程中,我们可以对一些数学上的概念、定义有更深刻的认识,同时使我们有一个更清晰的逻辑思维。
从而提升自身!
关键词:
悖论;康托尔;逻辑
第一章绪论
1.1研究背景及意义
本文研究意义在于:
解除一些悖论在学习中给我们带来的疑惑,明确一些数学与逻辑学中的定义,理清思路,使我们逻辑更加清晰、对定义的理解更加明确,从而也对我们所学习的理论有更加深刻的认识。
1.2研究对象
本文的研究对象以数学、逻辑学两方面的悖论为主,同时还会涉及到一些数学定义等。
1.3研究思路
对前人提出的悖论,通过明确定义以及理清逻辑思维,对经典的悖论进行
1.4研究方法
文献法、运算法、讨论法、归谬法等。
1.5知识准备
研究悖论,首先要以逻辑思维为基础,涉及到的具体的、较为深入的专业知识并不是非常多,首先,在数理逻辑悖论的探究中,需要具备一定的数学基础,特别是逻辑语言与统计学的基础知识,了解集合论的一些基本定义、统计学中的权重等概念。
第二章逻辑意义的悖论概念
2.1定义
在《逻辑学大词典》中,对逻辑悖论的释义是:
逻辑学术语。
(1)即指:
悖论
(2)指:
狭义逻辑学悖论。
(3)指:
集合论悖论。
我们可以看出,以上三个定义是三个内涵逐渐深入,外延逐渐收窄的种属关系。
而逻辑悖论,通常被我们认为是某一类命题的总称[1]。
在“逻辑悖论”一词的具体的定义中,我们可以有以下说法:
其一,逻辑悖论是指一种导致了矛盾的命题,此类命题,若承认其为真,那么它是假的;如果承认其为假,那么它就是真的。
(源自《逻辑学大词典》)其二,对于一命题A,若认可A,那么可推出非A,若认可非A,那么可推出A。
(源自《辞海》)其三,指一类“若肯定其为真,则推出其为假;若肯定其为假,则推出其为真”的命题,也可描述为:
一个命题A,A蕴含非A,而非A又蕴含A,A与自身的否定是等价的。
(源自《中国大百科全书》)我们可以由逻辑推断得出,以上三类定义在实际内涵上是统一的,只是表述与操作的方式不同,而从定义的科学性上来讲,定义一只针对说谎者悖论;定义二则针对矛盾的等价形式;而定义三可涵盖前两种定义。
但是三者均有一个明显的漏洞,即悖论中的矛盾与真假,均非仅仅建立在命题的基础上,而是建立在命题所依附的学科方向所定义的基本概念的基础之上的。
[2]在对以上描述完全理解之后,即可对逻辑悖论的定义有所了解,同时还明确了悖论产生的原因:
我们对学科中某些定义的理解出现了偏差和错误。
另外,严谨的逻辑悖论必须符合以下三个要素,即:
“公认正确的背景知识”、“严密无误的逻辑推导”、“可以建立矛盾等价式”。
唯有如此,悖论才可能足够严密。
2.2狭义逻辑悖论与广义逻辑悖论
首先,广益悖论与狭义悖论均应满足逻辑悖论的三要素。
[1]
首先简述狭义逻辑悖论。
逻辑悖论这一概念,首先是由莱姆塞提出的。
他所描述的逻辑悖论即为“逻辑悖论”一词最狭义的用法,即其逻辑的要旨是指逻辑悖论所借以推导的背景知识的逻辑性。
是对逻辑的元逻辑研究。
由于此处的对象逻辑主要为指集合论的内容,而集合论之语言既可转化为纯粹的逻辑语形语言,亦可以转化为高阶逻辑语言,故而,莱姆塞意义上的逻辑悖论常被认定为高阶逻辑悖论,更多地被称为集合论-语形悖论,或简称为语形悖论,这就是莱姆塞提出的狭义逻辑悖论悖论。
而后,我们再来简述广义逻辑悖论。
“逻辑悖论”一词的广义用法,即指导出悖论的推导过程是符合逻辑的。
此处的“符合逻辑”一词有两层含义。
第一层为:
所导出的矛盾性结论为形式逻辑层面的逻辑矛盾,而不是修辞层面,也不是辩证逻辑层面的矛盾。
第二层为:
我们得出的悖论是符合经典的逻辑推理原则和规律之基础之上推导出来的。
而广义逻辑悖论与狭义逻辑悖论的根本区别在于:
导出悖论所依靠的背景知识和推导过程能否有严格的逻辑语形、语义上的描述,其推导的合理性是建立在“知觉合理性”之上,还是建立在严格的逻辑推敲之上的。
在大体了解狭义逻辑悖论与广义逻辑悖论之后,我们能够对悖论的逻辑性等性质有一定的认识。
第三章悖论的分类及其产生原因
3.1悖论的分类
悖论可以根据与其相关的或所涉及的内容、概念等来分类,大体可分为语形悖论、语义悖论、语用悖论等。
3.1.1语形悖论
[3]语形悖论又可称为逻辑-数学悖论。
此种悖论不涉及具体的研究内容,而仅仅与元素、类或集合、属于或不属于、基数与序数等我们经常接触到的数学中的概念相关。
这些悖论能够用符号逻辑体系中之语言作表述,并且仅出现于数学研究之中。
主要的语形逻辑悖论有布拉里-费蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论以及理发师悖论等。
下面我们就举出两个语形悖论的经典实例。
(1)首先我们来讲述布拉里-费蒂悖论,它与集合论知识中的良序集合的概念有关。
在集合论的知识框架之中,有如下三个定理:
1.每一个良序集都必然有一个序数。
2.所有的由序数构成的集合,若按其序数大小进行排序,其必定为一个良序集。
3.所有的小于等于a的序数总体集合所构成之良序集合,它的叙述肯定为a+1。
根据Cantor集合论的概括规则可知,由全部的序数可以直接构成一个良序集合,这个集合的序数为D,那么由此推出D亦应包含在这一个良序集合之中。
而根据定理3,D+1也是这个良序集合的序数。
由于D+1大于D,所以D就不能作为这一个良序集合的序数了,此时就得出了一个矛盾。
此悖论是针对Cantor集合论中对于序数集是一个良序集的推断而来的。
悖论的产生原因在于Cantor在集合论定义之初,并未明确指出相容集与不相容集的区别。
(2)罗素悖论。
这个悖论是在朴素集合这个范畴之内的,是一个经典悖论。
根据集合论中的概括原则,设性质P(x)表示“x不属于x”,那么我们假设现有一个类A是由P而确定的——即“A={x|x∉A}”。
那么由此产生了一个问题:
A∈A成立吗?
首先,若A∈A,则A是A的元素,那么性质P必然适用于A,由性质P知A不属于A;其次,若A不属于A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A属于A。
此悖论在集合论刚刚提出几十年的时刻,引发了第三次数学危机。
后来,人们用公理化的集合论对集合加以一定程度上的限制,从而克服了罗素悖论。
对于罗素悖论的解决,我们之后可以罗素悖论的等价形式——理发师悖论为例子作答。
3.1.2语义悖论
语义悖论并不是纯逻辑或纯数学的悖论,而是和心理学层面或语义层面上的悖论,可能涉及到的概念有意义、指称、定义、命名、断定、真假等,他们之中多数并不是产生于数学或逻辑学的层面,而是产生于心理学层面,是由于在认识过程之中对上述概念的理解出现混淆、含混不清等情况,正是由于对概念的理解偏差而非定义不全或不准确,导致了语义悖论的产生,它的解决途径一般为明确对定义的认识,在此基础之上再进行科学的、有逻辑性的推理,从而得出合理的解释,解决悖论的产生原因和存在的某些矛盾。
现在,我们对以下几种语义悖论做一些介绍和理解。
(1)说谎者悖论。
说谎者悖论的描述是简单而多样的,它的起源可以追溯到公元前6世纪的希腊,当时有一个克里特岛人埃匹门尼德说:
“克里特岛上的说有人都说谎。
”,那么我们经过推理可知,这句话为真,则推出这句话为假;反之,这句话为假则推出这句话为真。
当然,“所有人都说谎”自身也存在语义含混的可能,那么如果用最贴切的方式来表述说谎者悖论,就是构造出这个“说谎者”,并用最简单的逻辑语言来表述悖论的过程,即:
有一个人说:
“我正在说的这句话是假话。
”由此我们可以很清晰地推出矛盾,若这句话为真,那么同时它为假;反之若这句话为假,则推出它为真。
而说谎者悖论的最简表达形式为——(括号里的这句话是假的)。
这种悖论的问题在于,对一句否定意义的话的指向自身的否定本身就会产生“双重否定等于肯定”的效果,从而得出了“假假为真,但是本身又为假”的矛盾情况。
(2)贝里悖论。
贝里悖论是一种简洁而又深刻的悖论,如果用汉语来表达就是:
“用小于十八个汉字不能命名的最小整数。
”上面这个长词汇本身的长度为17个字,少于18个字,但是根据字面意思,该词汇所描述的数字不可能被17个字所描述,由此我们得出了一个问题:
这个,或这类整数,到底能不能被17个字命名?
在回答这个问题的过程中就产生了矛盾,若可以命名,那么“不能命名”这个说法本身就是错误的,这个数字的定义也就站不住脚了;若不可以命名,那么它的确已经被命名了。
其实这种悖论的问题就在于,对“命名”一词的理解混淆,对语文上的命名和专业知识上的命名没有给予充分的区分而将之混为一谈,两类命名方式本身就存在着所用字数不同的现象,在两个不同的标准下,是无法同时用两个标准衡量一切对象而得出完全相同的结论的。
3.1.3语用悖论
语用悖论,我们通常又把它称为认知悖论。
顾名思义,这一类悖论其实是由于我们对一个语句的产生语境以及具体用词的含义的认知偏差、以及语句的背景知识的认识不到位而产生的矛盾。
这一类悖论与相信、怀疑、知道、犹豫这一类语用概念以及真、假等语义概念有关。
并且,允诺、答应、命令、希望等一些用于指导行动的话语,也是此类悖论的重要组成元素。
一个简单的例子就是:
某指挥官发布了唯一的一条命令:
不执行这项命令。
那么由此我们就会提出一个问题:
到底要不要执行该命令?
如果要执行,可以推出不执行;如果不执行,实际上我们已经执行了这项命令。
这就是由语境、认知等问题产生的悖论。
此类悖论主要有知道悖论、突然演习悖论等。
(1)知道悖论。
此悖论源于中世纪,最早是由著名哲学家苏格拉底所提出。
苏格拉底:
“我只知道一件事,那就是我其实什么都不知道。
”这句话是一句富有哲理的、有学习精神的话,然而,这句话本身也是一个悖论。
从逻辑的角度我们会产生疑问:
苏格拉底到底是一无所知,还是知道一些东西呢?
他的这句话使我们在严密的逻辑推理中陷入两难,由此出现的矛盾,知道悖论由此而来。
此悖论一般由两部分组成,A部分为肯定句,肯定了B部分,而B部分为否定句,否定了A部分,此悖论的矛盾产生原因正在于此。
而对于知道悖论的原文,也就是上面的苏格拉底的那句话,其实是我们对前后两个半句中“知道”一次的认知出现了问题,两个“知道”的含义并不完全相同,所以我们建立在它们相同的基础上所推出的矛盾是站不住脚的。
(2)突然演习问题。
二战期间,为加强国民的安全意识,瑞典广播公司播出了如下通报:
政府组织的防空演习将在下周进行,为防止因民众对演习有事先准备而导致的效果不好,这次演习的具体日子不会对让任何人知晓,所以,这是一次突然的演习。
瑞典的一位数学家爱克玻姆意识到,这个通报其实有一种特殊的性质:
按通告所给出的各项要求与条件,演习不可以在下周日举行,否则人们将会在周六的晚上提前知道演习在周日,从而这个演习就不是突然演习了,因此,周日的可能性被排除;同理,周六的可能性也可排除。
依次递推可将每一天的可能性都排除。
爱克玻姆由此推出,若演习发生,则演习必定是不符合条件的。
然而在第二周周三的破晓,空袭警报突然响起且演习突然举行,打破了爱克玻姆似乎毫无漏洞的推理。
这种悖论矛盾又有多种表述方式,最著名的有“意外考试疑难”和“绞刑难题”。
此类悖论的要素包括,要提前告知未来的一段变量之内会发生某事件,而且事件必须是突发的,而得出矛盾的人认为,发生在“最后一段”变量的事件不可能是突发的,所以将变量长度一段段地切短,直至“第一段”成为“最后一段”。
但是,这些人在做推断的时候对“突然”一次的理解发生了含混的状况,突然性为的是不让被试验者知道具体的时刻,若要做准备就必须做长期准备,从这一要求的初衷来说,再任一时刻发生的突发事件,即使提前告知了一个“时间段”,人们也无法准确预知突发事件的精确时刻,所以此类悖论看似一个悖论,但其实是不存在矛盾的。
3.1.4悖论的一些其他分类——引入无限
之前的三节我们大而化之地对悖论进行了三大块的分类。
其实,悖论的具体分类还有很多,下面就针对以其产生原因为导向的分类做一点简述,供大家了解,而具体的悖论产生原因将在3.2中加以更详细的叙述。
[4]
要根据悖论的产生原因进行分类,首先就要对其产生原因有一个基本的认识——悖论源于对“无限”认识的不清、概念与定义的含混,由此我们可以进行分类。
首先,悖论都是产生了命题本身对自身的指向性,所有的悖论无不是由于这种指向性而产生的。
而具体的产生原因,至少还应包括自我否定、概念混淆以及对无限的概念的混用,由此就可以对悖论加以分类。
在下一节中,我们会针对上述的几种原因,从另一角度分析悖论。
3.2悖论的产生原因
悖论的产生与悖论的分类并无一一对应的关系,大体上可以划分为自我指称、否定概念、总体与无限三类原因。
悖论产生的原因并不与悖论的三个分类一一对应,而且有的悖论产生的原因并不是唯一的。
我们可以肯定的一点是,所有悖论的产生都与自我指称有关,但不一定总与否定性概念及总体和无限有关。
下面,我们就这三类原因对悖论的产生原因进行剖析,希望在剖析之后,我们能够对悖论的产生原因有更深刻的认识。
3.2.1悖论与自我指称
关于悖论,我们一般的共识是:
悖论总与自我指称或自我关涉相关。
自我指称的意思是,一个总体的元素、分子或某些部分直接或间接地又指向了这个总体的本身,或者他们必须再次依靠这个总体才能获得定义与说明。
此处所说的“总体”可以是一个语句、一个集合或一个类。
而自我指称又分以下两种情况:
直接循环和间接循环。
(1)直接循环是指作为总体中的一些元素、分子或者部分,反过来又直接指称这个总体,或者直接需要这个总体来进行定义,最典型的就是说谎者悖论和和罗素悖论等。
(2)间接循环的意思是,表面上并没有产生循环,但是在转了一个或大或小的圈子之后,话题又回到了原处,最后依然是对自我的指称。
间接循环的悖论中,转的圈子最小的当属明信片悖论(可视为知道悖论的变化形式):
明信片的正面写着:
这个明信片背面的话是假的。
而背面又写着:
这个明信片正面的话是真的。
此悖论和知道悖论如出一辙,均为A否定B,B肯定A,造成的否定最终指向自己的情况。
间接循环的另一种类型是砝码悖论:
现共有2n+1个命题,已知其中有n个正确命题,n个错误命题,而剩下的那一个命题为:
“这里的假命题比真命题多”,这又等价于最后一个命题说自己是假命题,同样为自我指称。
研究结果[3]显示,所有的悖论都出现了自我指称的情况。
但是并非所有的自我指称都会导致悖论,只要把错误表述改为正确表述即可,如知道悖论:
只需改为A肯定B,B肯定A,那么就不会出现自我否定的矛盾了。
3.2.2悖论与否定性概念
悖论通常是与否定性概念存在着直接或间接的联系。
例子是不难找的:
不以自身为元素的集合的全集是否为自身的一个元素?
又如,非自谓的谓词是不是自谓的?
说自身为假的逻辑命题为真还是假?
但是,并非只要有否定性概念就能构成悖论,否定性概念必须与自我指称相结合,方有可能构成指向自我的否定,从而构成悖论。
说谎者悖论、知道悖论、罗素悖论、理发师悖论、贝里悖论都有自我否定的因素。
3.2.3悖论与总体、无限
有两类总体与悖论是相关的:
有穷与无穷。
首先是有穷悖论,其中最经典的要数砝码悖论了。
砝码悖论共有2n+1个命题,其中已知n个真命题,n个假命题,最后一个命题为“假命题比真命题多”。
这个悖论中,逻辑的主体是有限的。
而后就是无穷的总体中的悖论。
此类悖论的总体是多样化的,包含“所有”等类似词语指代,且总体包含的元素是无限多的,那么这就是一个无穷总体上的悖论。
而无穷的概念,又分为潜无穷和实无穷。
潜无穷把对象视为一个过程,这个过程是无止境的,潜无穷更加重视无穷的过程性;而实无穷更多地把无穷的内容视为一个整体,更多地重视无穷的总体性与完成性。
正是因为很多情况下悖论的提出者对潜无穷对象作了实无穷的把握,才导致了大多数逻辑-数学悖论的产生。
因此,避免对潜无穷对象作实无穷的处理,可以有效避免很多悖论的产生。
布拉里-费蒂悖论、康托尔悖论、理查德悖论产生的原因都与总体和无限有关。
第四章生活中的悖论与应用
4.1生活中的几个有趣悖论
在我们的日常生活中,有很多非常有意思的悖论,它们或荒诞,或奇妙,或发人深省。
下面,我们就列出几个生活中常见的悖论,增加大家兴趣的同时,也进行简单的思考[5]
(1)黄油猫悖论。
我们都知道,猫在落地的时候总是脚着冲下,而黄油蛋糕落地的时候,由于密度不同的缘故,总是带有黄油的一面冲下,那么问题产生了。
将黄油面包的黄油面冲上,绑在猫的后背上,此时应该是如何落地呢?
我们可以看到,两者无法同时按事先设定的规则进行落地,于是产生了猫和黄油相互否定的悖论。
要解决这个悖论,我们只需要思考以下问题:
猫与黄油的落地规则,能否约束捆绑之后的落地情况?
答案显然是不能的,因为之前的规则是建立在两者相互独立做自由落体的前提下的[6]。
(2)辛普森悖论。
[7]辛普森悖论是统计学层面的一条悖论。
是由于两组或多组数据,由于统计权重的不同,导致了在分别考虑两组数据的时候得到的某些统计学数据,与在数据合并之后得到的统计学数据不符的悖论。
其具体内容可用下图表示:
由上图我们可以看出,在男女比例为1:
1的前提下,之前分别的统计之中,男生的录取率均高于女生,但是最终的统计数据中女生录取率反而高于男生,由此产生了“悖论”。
其实我们仔细观察不难看出,首先,每一步的计算都是没有错误的,然而导致最终统计差距的原因是:
在录取率较高的商学院中,女生的申请人数远大于女生。
这里,录取率就相当于一个权重,最终录取率是申请人数与申请权重的乘积做成的加权平均。
而女生的申请人数恰恰集中在权重较高的商学院。
因此,这种情况看似悖论,其实是可以很好地解释的。
而若想避免此类统计矛盾,只需适当调节我们各部分的“权重”即可。
4.2悖论的应用现状与前景
悖论的研究不止在理论研究与数理逻辑等方面有价值,其应用价值也是很可观的,目前,在服务业、神经医学、线性规划、统计、教育、生产等领域有着广泛的应用。
(1)悖论在心理治疗中的运用。
[5]在心理学的研究过程中,常常将悖论引入,作为心理咨询与心理治疗的一种基础元素。
众所周知,悖论是通过矛盾表现出来的。
心理治疗的一般手段是通过缓解、减轻受助者的症状以及疏导受助者的心中矛盾来解决他们的痛苦与困顿,而我们将悖论引入之此治疗之后,就可以改变这一治疗机制,取得创新。
在治疗过程中,悖论的作用在于引出或扩大受助者内心的矛盾或加强其症状,通过一个受到控制与心理上的内省反控制的过程来转化矛盾,从而达到对受助者的治疗的目的。
本部分将就悖论在心理治疗中的
(2)悖论在统计安排中的应用。
[8]将悖论运用于统计安排之中,需要对辛普森悖论等统计学中的悖论有一定了解,对权重的概念有清醒的认识。
在此基础之上,我们可以运用合理安排各种规划中的权重等比例,加强我们工作之中的统计数据的可理解性,避免因解读者的认识偏差而导致的对工作统计数据的理解矛盾。
(3)悖论在服务业的应用——服务补救悖论。
[9]服务补救悖论是指,服务的提供者故意造成或任由服务之中的某些失误的发生,以此为契机,提高对顾客的服务,从而提高服务提供方的评价的情况。
在此体系之中,那些所谓的“失误”不允许对顾客造成较大的损失,否则将有损职业道德。
在可接受的范围内运用服务补救悖论,是经营之中常用的一个手段。
(4)悖论在生产中的应用——生产率悖论。
[10]此悖论发现于20世纪80年代末,经调查发现,很多企业的IT投资和投资回报率并没有明显关联,由此引出一条名言:
“我们的企业中到处都有计算机,但是在产出率统计上看不到计算机的力量。
”这一悖论引发了经济学家们对两者之间的关系展开了研究,并引发了IT资源运用的合理性探索,人们从此开始了从“知道用计算机很好”到“如何用计算机更科学”的跨越,从而使计算机与商业、生产活动的结合更加合理,创造了很大的价值。
学习总结
通过这段时间对悖论这一课题的学习和探究,我的逻辑思维得到了一定的锻炼,同时,也对很多深刻的悖论以及悖论的实用价值有了一定的认识。
悖论,是由于悖论的提出者对一些内容的定义和要求不够清晰、对不同的有限与无限概念的混淆、指向自身的指称否定或者对具体事件的背景知识了解不透彻导致的。
要避免悖论,就必须明确定义、理清思路,同时避免走入自我指称的否定循环中,而且还要避免虚无穷和实无穷的混淆。
在分析各种悖论的同时,我们应具体内容具体分析,找到逻辑上、认知上的问题,由此解决悖论。
在面对具体悖论时,我们应该用严密的逻辑分析,确定悖论的产生原因,找出关键矛盾所在,从而解开疑惑,破解悖论。
[11]
而在悖论的具体应用之中,我们有时需要运用悖论的矛盾性,达到以毒攻毒的效果;有时又要利用悖论的成因于破解过程,运用于实际事务之中,从而避免差错、扩大成果。
我们要了解悖论,而后运用悖论,让悖论不再是矛盾,而是帮助我们拓宽思路,强化逻辑,解决实际问题的途径。
从以上认识上来讲,悖论令我受益匪浅,希望以后还能进行更多的学习!
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