论文泰勒级数的收敛域及分析性质.docx
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论文泰勒级数的收敛域及分析性质
本科毕业论文
题目:
函数f(x)=(l+x和的泰勒级数的收敛域及分析性
学院:
数学与计算机科学学院
班级:
数学与应用数学2007级6班
姓名:
张彩霞
指导教师:
何美职称:
副教授
完成日期:
2011年5月18日
函数fX=「xm'的泰勒级数的收敛域及分析性质
摘要:
本文主要讨论了二项式级数fX=1r〉=0,1,2,…)的收敛区间端点的敛散性,和它推广后所得的形如fx]:
1•xm''(m为正有理数且鳥川0,1,2,…)的泰勒级数的收敛域及其函数fxA:
1•xm(m为正有理数且:
-0,1,2^)的泰勒级数
逐项微分、逐项积分后所得级数的收敛域•由于推广后的函数fx=1•xm〉(m为正有理数且:
-0,1,2^)的泰勒级数的收敛半径相同,所以本文重点旨在对收敛区间端点的讨论,进而得到有规律的收敛域.这样我们在以后遇到此类形式的函数的泰勒级数时,便能根据具体的:
m,很快写出其收敛域,而不需要再对其收敛区间端点的敛散性进行分析.
关键词:
泰勒级数;逐项微分;逐项积分;收敛区间;收敛域.
1预备理论1
1.1幕级数理论1
1.2函数的幕级数展开理论2
1.3超越几何级数的收敛域3
2函数fxj:
1・xm-'(m为正有理数且--0,1,2/)的泰勒级数收敛域3
2.1函数fx]:
〔1•x〉的泰勒级数及其收敛域3
2.2函数fx=1•xm:
(m为正整数且:
-0,1,2/)的泰勒级数及其收敛域
5
2.3函数fx=1•xm:
(m为正有理数且:
-0,1,2^)的泰勒级数及其收敛域
63函数fx=1xm:
(m为正有理数且:
-0,1,2/)的泰勒级数的分析性质.8
3.1函数fxi=1•xm''(m为正有理数且二三三o,1,2,…)的泰勒级数的可微性质
8
3.1.1函数fx=1•x'的泰勒级数的可微性质8
3.1.2函数fx=1xm'(m为正整数且:
-0,1,2/)的泰勒级数的可微
性质8
3.1.3函数fx=1xm:
(m为正有理数且:
-0,1,2/)的泰勒级数的可
微性质9
3.2函数fx=1•xm〉(m为正有理数且:
-0,1,2/)的泰勒级数的可积性质
9
3.2.1函数fx'的泰勒级数的可积性质9
3.2.2函数fxl=「1-xm'(m为正整数且:
-0,1,2/)的泰勒级数的可积
性质10
3.2.3函数fx=1xm'(m为正有理数且:
-0,1,2/)的泰勒级数的可
积性质11
参考文献13
谢辞15
1预备理论
1.1幕级数理论
定义11形如7an(x-Xo)n=a°-ai(x-Xo)-a?
(x-x。
)2川…川a“(x-x°)n•…n兰
的函数级数称为幕级数,其中a°,a1,a2,…,K,…为常数,称为幕级数的系数.这是一类最简单的函数项级数。
本文将着重讨论x。
=0,即幕级数
C3O
anXn=a°--a?
x2…一anXn•…
(1)的情形.
n=0
以及幕级数1在收敛域内逐项求导后得到的幕级数
nanxn1=a12a2x3a3x2…:
nanxn,
(2)
n生
与幕级数1在收敛域内逐项积分后得到的幕级数
'anxn1=aoxa1X2a2X3anxn1(3)
n£n123n1
定理11」(阿贝尔定理)
1)若幕级数
(1)在X=X。
式0收敛,则幕级数
(1)在WX:
Xc|Xo都绝对收敛.
2)若幕级数
(1)在X=X1发散,则幕级数
(1)在寸X:
XAX1都发散.
由此定理知道:
幕级数1的收敛域时以原点为中心的区间.若以2R表示区间的长度,则称R为幕级数的收敛半径,其实它就是使得幕级数1收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.
注:
当x=「R时,幕级数1可能收敛也可能发散我们称-R,只为幕级数1的收敛区间.
定理21」对于幕级数1,即aanXnn
则幕级数1的收敛半径
-,0£丨£址,
l
R=*+O0,丨=0,
0,丨=P
定理3们幕级数1与幕级数2,3具有相同的收敛区间•
注:
虽然幕级数1、2、3的收敛半径相等,但是它的收敛域不一定相同
定理41」设幕级数1在收敛区间-R,上的和函数为fx,若x为-RjR内任意一点,贝U
(i)fx在x可导,且f'xi;=»nanXn」;
nd
xooa
(ii)fx在0与x这个区间上可积,且ftdt丑xn1.
心n+1
此定理说明幕级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积
1.2函数的幕级数展开理论
若函数fx在X=Xo处存在任意阶的导数,这时称形式为
fX。
f'XoX-XoX-XoJ」红X-Xon4
2!
n!
的级数为函数fX在Xo的泰勒级数.
对于级数4能否在xo附近确切地表达fx,或说fx在xo的泰勒级数在xo附近的和函数是否就是fx,有如下定理5
定理51」设fx在点xo具有任意阶导数,那么fx在区间Xo-r,x。
r内等于它的泰勒级数的和函数的充要条件是:
对一切满足不等式,x-占cr的x,有
limRnx=o
n—.
这里RnX是fX在Xo的泰勒公式余项.
如果fX能在Xo的某领域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数fX在Xo的这
一领域内可以展开成泰勒级数,并称等式
f(X)=f(Xo)+f'(Xo'(X—Xo)+f'Xo)(x—Xo2+…+f'"o)(x_Xof…
2!
n!
的右边为fX在X=Xo处得泰勒展开式,或称幕级数展开式.
定理61」(幕级数展开式的惟一性)
若函数fx在X0的某邻域内可展为幕级数fX二「anx—x。
n
nd
则其系数an=-X^n=0,1,2,
n!
这里规定0^1,f0=fx0
在实际应用在中,主要讨论函数在X。
=0处的展开式,这时4式可写成
称之为麦克劳林级数.
1.3超越几何级数的收敛域
对于超越几何级数2】
F:
,,x=1'
n!
1:
—n_1
跌亠1i•以亠n-1T’-|:
1:
|x|<1
绝对收敛
x>1
发散
X=1
■/-a-P>0
绝对收敛
?
a-P<0
发散
?
—a-P>0
绝对收敛
X=—1
03Y—a一B
条件收敛
?
-a-P<-1
发散
nA
的敛散性情况如下表1:
2函数fx=1■xm:
'(m为正有理数且爲r^0,1,2/)的泰勒级数收敛域
2.1函数fx=1•x'的泰勒级数及其收敛域
当〉为正整数时,由二项式定理直接展开,就得到fx的展开式.(所以在下面的探讨中都是假定:
-0,1,2/)
因为fnx「:
-1:
-n11xz,n=1,2,
从而有fn0〉-1旷匕-n1,n=1,2,…
可得级数5的收敛半径R=1.现在-1,1内考察它的柯西余项
运用比式判别法,级数1…严当x“时收敛,故有
limU’xn1
n—‘n!
1_日
又由于…1有「^1",且。
岂二生1,从而有
再当x<1时,有0c(1Px产1c(1+|x产1兰2®.于是当。
:
>1时,(1+取广1是与n
无关的有界量;当:
-<1时,也有同样结论综上所述,当x<1时,
limRnx=0
n—,
所以,在-1,1上
1X—「X〔X2jn,.6
2!
n!
我们称上式为二项式级数,当〉为正整数时,上式6即为二项式定理.
对于收敛区间端点的情形,它与:
•的取值有关,借鉴超越几何级数的收敛域的结论,容易知道,二项式级数是超越几何级数的特殊情形,并且可从后者当〉二「「二时,以-x代替x而得出,由于这点,再结合表1,容易做出二项式级数在它的收敛区间的端点x=1上的敛散性情况的表2:
a>0
绝对收敛
X=1
0Aa>-1
条件收敛
a<-1
发散
X=—1
a>0
a<0
绝对收敛
发散
二项式级数在X二1处敛散性的证明见文献4〔
所以,二项式级数
2.2函数fx=1・xm〉(m为正整数且:
-0,1,2/)的泰勒级数及其收敛域
由上面对fX=1X-的泰勒级数讨论,我们容易得到
12m—.1…Z•nTnm
1X=1,:
:
XXX
2!
n!
令Un
:
-「-1I…[:
:
i•n*1mn
n!
由比式判别法,
X
lim
可得7的收敛半径R=1,此处我们重点放在对收敛区间端点的讨论上.
1当〉空-1时,当X=1时,Xm=1当x=-1时,Xm=1或xm--1.
把Xm看做一个整体作为因变量,由表2知道,xm=_1在当:
•乞-1时都发散,所以,这时级数7的收敛域为.
2当-:
:
:
0时,同样按照上面的方法得到
当x=1即xm=1时,级数7收敛;
当x=-1时,
当m为偶数时,xm=1.级数7收敛;
当m为奇数时,xm—1.级数7发散;
所以,这时级数7的收敛域为:
当m为奇数时,收敛域为-1,1丨;
当m为偶数时,收敛域为'-1,11
3当:
0时,
当x=1时,xm=1.级数7收敛;
当x=—1时,xm=1或xm=—1.级数7收敛;
所以,这时级数7的收敛域为:
1-1,11.
综上所述,级数
的收敛域为:
当:
•乞-1时,收敛域为-11;
广(-1,1】m为奇数
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