七年级数学下册因式分解 用完全平方公式分解因式练习浙教版.docx
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七年级数学下册因式分解 用完全平方公式分解因式练习浙教版.docx
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七年级数学下册因式分解用完全平方公式分解因式练习浙教版
4.3 用乘法公式分解因式
第2课时 用完全平方公式分解因式
知识点1 完全平方公式分解因式
由完全平方公式可得:
a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
即两数的平方和,加上(或者减去)这两数的积的2倍,等于这两数和(或者差)的平方.
1.把下列各式分解因式:
(1)a2-8a+16;
(2)4x2+4x+1.
探究 一 综合运用乘法公式分解因式
教材例3变式题把下列各式分解因式:
(1)x3-2x2+x;
(2)9m2+24mn+16n2;
(3)16a4-8a2+1;
(4)(x2-4x+4)-4(x-2)+4.
[总结归纳]运用完全平方公式分解因式前,应注意:
(1)观察是否有公因式可提取;
(2)首项系数为负时,需先提取“-”号;(3)用完全平方公式前需将该多项式化为“a2±2ab+b2”的形式;(4)分解因式时,要观察所得的结果能否继续分解;(5)注意与提取公因式法和平方差公式的综合使用.
探究 二 完全平方公式的简单应用
教材补充题已知x(x-1)-(x2-y)=-3,求x2+y2-2xy的值.
[归纳总结]有些计算题可利用因式分解的方法来进行计算,以简化运算过程.
[反思]判断下面分解因式的过程是否正确,若不正确,请改正.
a3b-2a2b+ab=ab(a2-2a+1).
一、选择题
1.下列各式中能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+x+1B.x2+2x-1
C.x2-1D.x2-6x+9
2.若25n2-np+36是一个完全平方式,则p的值为( )
A.±30B.±60C.30D.60
3.分解因式(x-1)2-2(x-1)+1的结果是( )
A.(x-1)(x-2)B.x2
C.(x+1)2D.(x-2)2
4.2016·聊城把8a3-8a2+2a分解因式,结果正确的是( )
A.2a(4a2-4a+1)B.8a2(a-1)
C.2a(2a-1)2D.2a(2a+1)2
5.多项式(x2+y2)(x2+y2-8)+16分解因式正确的是( )
A.(x2+y2-4)2B.(x-y)4
C.(x2-y2-4)2D.(x2+y2+4)2
二、填空题
6.分解因式:
a2-6a+9=________.
7.分解因式:
ab4-4ab3+4ab2=______________.
8.[2015·威海]分解因式:
-2x2y+12xy-18y=______________.
9.已知a2+2ab+b2=0,则代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值为________.
10.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个大正方形(如图4-3-3所示),从而可得到因式分解的公式:
____________.
图4-3-3
11.当s=t+
时,代数式s2-2st+t2的值为________.
三、解答题
12.给出三个多项式:
x2+x-1,
x2+3x+1,
x2-x,请你选择其中两个进行加法运算,并把结果分解因式.
13.把下列各式分解因式:
(1)x2-6x+9;
(2)-36m2-60mn-25n2;
(3)(x-y)2-10(x-y)+25;
(4)(x2+4)2-16x2;
(5)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1.
14.利用因式分解计算下列各题:
(1)962+96×8+16;
(2)9.92+1.98+0.01.
15.已知x=156,y=144,求代数式
x2+xy+
y2的值.
16.已知a-2b=
,ab=2,求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.
17.若|x-2|+x2-xy+
y2=0,求x,y的值.
1.已知a,b,c是△ABC的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,请你分析△ABC三边之间的关系.
2.[阅读理解题]先阅读下列解题过程,然后完成后面的题目.
分解因式:
x4+4.
解:
x4+4
=x4+4x2+4-4x2
=(x2+2)2-4x2
=(x2+2x+2)(x2-2x+2).
以上解法中,在x4+4的中间加上一项,使得三项组成一个完全平方式,为了使原式的值保持不变,必须减去同样的一项.按照这个思路,试把多项式x4+x2y2+y4分解因式.
详解详析
教材的地位
和作用
完全平方公式与整式乘法和因式分解有着密切的联系,是因式分解的重要方法之一,在以后学习二次函数和一元二次方程中有着重要的作用
教
学
目
标
知识与技能
1.会用完全平方公式分解因式;
2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式
过程与方法
通过利用完全平方公式分解因式,掌握这种方法的特征并能熟练应用,总结因式分解的一般步骤
情感、态度
与价值观
通过完全平方公式因式分解,体会变形的重要性,认识到整体思想的重要性,培养学生转化的数学思想
教学重点难点
重点
用完全平方公式分解因式
难点
用完全平方公式因式分解时的变形和转化
易错点
在综合运用提取公因式法、公式法分解因式时,容易出现分解不彻底的错误
【预习效果检测】
1.[解析]
(1)中的多项式可写成a2-2·a·4+42,
(2)中的多项式可以写成(2x)2+2×2x·1+12,再利用公式分解因式.
解:
(1)a2-8a+16
=a2-2·a·4+42
=(a-4)2.
(2)4x2+4x+1=(2x+1)2.
【重难互动探究】
例1 解:
(1)x3-2x2+x
=x(x2-2x+1)
=x(x-1)2.
(2)9m2+24mn+16n2
=(3m+4n)2.
(3)16a4-8a2+1
=(4a2)2-2×4a2×1+12
=(4a2-1)2
=(2a+1)2(2a-1)2.
(4)(x2-4x+4)-4(x-2)+4
=(x-2)2-4(x-2)+4
=(x-2-2)2
=(x-4)2.
例2 解:
∵x(x-1)-(x2-y)=-3,
∴x2-x-x2+y=-3,即x-y=3,
∴x2+y2-2xy=(x-y)2=9.
【课堂总结反思】
[反思]不正确.改正:
a3b-2a2b+ab=ab(a2-2a+1)=ab(a-1)2.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1.D
2.[解析]B 因为25n2-np+36是一个完全平方式,25n2-np+36=(5n)2-np+(±6)2,所以-np=2×5n·(±6),即p=60或p=-60.
3.D 4.C
5.[解析]A 原式=(x2+y2)2-8(x2+y2)+16=(x2+y2-4)2.
6.[答案](a-3)2
7.[答案]ab2(b-2)2
8.[答案]-2y(x-3)2
[解析]本题考查了因式分解的有关知识,可以先提取公因式-2y,再运用完全平方公式进行因式分解,-2x2y+12xy-18y=-2y(x-3)2.
9.[答案]0
10.[答案]a2+2ab+b2=(a+b)2
[解析]根据拼得的正方形面积,可得(a+b)2=a2+2ab+b2,即a2+2ab+b2=(a+b)2.
11.[答案]
[解析]s2-2st+t2=(s-t)2=
=
.
12.解:
x2+x-1+
x2+3x+1=x2+4x=x
;
x2+x-1+
x2-x=x2-1=
;
x2+3x+1+
x2-x=x2+2x+1=
.
13.[解析]运用公式法分解因式,不能直接使用公式的要适当加以变形,并且分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止.
解:
(1)x2-6x+9=(x-3)2.
(2)-36m2-60mn-25n2
=-(36m2+60mn+25n2)
=-(6m+5n)2.
(3)(x-y)2-10(x-y)+25
=(x-y-5)2.
(4)(x2+4)2-16x2
=(x2+4+4x)(x2+4-4x)
=(x+2)2(x-2)2.
(5)原式=(x2-2x+1)2
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
14.解:
(1)962+96×8+16
=962+2×96×4+42
=(96+4)2
=1002=10000.
(2)9.92+1.98+0.01
=9.92+2×9.9×0.1+0.12
=(9.9+0.1)2=102=100.
15.解:
x2+xy+
y2
=
(x2+2xy+y2)
=
(x+y)2.
当x=156,y=144时,
原式=
×(156+144)2=45000.
[点评]本题应先把x2的系数
提出来,使其他各项的系数均为整数.
16.解:
-a4b2+4a3b3-4a2b4=-a2b2(a2-4ab+4b2)=-a2b2(a-2b)2.
而a-2b=
,ab=2,
所以-a4b2+4a3b3-4a2b4
=-a2b2(a-2b)2
=-4×
=-1.
17.解:
因为|x-2|+
=0,
所以x-2=0且x-
y=0,
所以x=2,y=4.
[数学活动]
1.解:
因为a2+b2+c2=ab+bc+ac,
所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,
则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,
a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0,
即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.
因为(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,
所以(a-b)2=0,(b-c)2=0,(a-c)2=0.
因为a,b,c都是正数,
所以a=b=c,
所以△ABC的三条边相等.
2.[解析]把原式中的第二项的系数1变为(2-1),化简后三项结合构成完全平方式,剩下的一项写成平方的形式,然后再利用平方差公式即可分解因式.
解:
x4+x2y2+y4
=x4+2x2y2+y4-x2y2
=(x2+y2)2-x2y2
=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).
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