中考数学反比例函数及一次函数综合题含答案doc.docx
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中考数学反比例函数及一次函数综合题含答案doc
2019-2020年中考数学:
反比例函数与一次函数综合题(含答案)
针对演练
m
1.如图,一次函数y=kx+1(k≠0)与反比例函数y=x(m≠0)的图象
有公共点A(1,2),直线l⊥x轴于点N(3,0),与一次函数和反比例
函数的图象分别相交于点B,C,连接AC.
(1)求k和m的值;
(2)求点B的坐标;
(3)求△ABC的面积.
第1题图
k
2.已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=x(k≠0)在第一象限
内的图象交于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为点P,已知△OAP
的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)有一点B的横坐标为2,且在反比例函数图象上,则在x轴上是否存在一点M,使得MA+MB最小?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题图
3.如图,反比例函数
y
2
的图象与一次函数
y=kx+b
的图象交于点
x
A、B,点
A、B
的横坐标分别为
1、-2,一次函数图象与
y轴交于
点C,与
x轴交于点
D.
(1)求一次函数的解析式;
(2)对于反比例函数y
2
,当y<-1时,写出x的取值范围;
x
(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P,使得S△ODP=
2S△OCA?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第3题图
4.(2016巴中10分)已知,如图,一次函数
y=kx+b(k、b为常数,
n
k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=x
(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点
C.CD⊥x轴,垂足为D.
若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求两函数图象的另一个交点坐标;
n
(3)直接写出不等式:
kx+b≤x的解集.
第4题图
5.如图,点A(-2,n),B(1,-2)是一次函数y=kx+b的图象和反
m
比例函数y=x的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范
围;
(3)若C是x轴上一动点,设t=CB-CA,求t的最大值,并求出此时
点C的坐标.
第5题图
1
6.如图,直线y1=4x+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,与反比
m
例函数y2=x(x>0)的图象交于点P,过点P作PB⊥x轴于点B,且
AC=BC.
(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式;
(2)请直接写出y1>y2时,x的取值范围;
(3)反比例函数y2图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?
如
果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.
第6题图
7.如图,直线y=x+b与x轴交于点C(4,0),与y轴交于点B,并
与双曲线y=m<
交于点
-
,
.
x(x
0)
A(
1
n)
(1)求直线与双曲线的解析式;
(2)连接OA,求∠OAB的正弦值;
(3)若点D在x轴的正半轴上,是否存在以点
D、C、B构成的三角形
△OAB相似?
若存在求出D点的坐标,若不存在,请说明理由.
第7题图
3
8.(2016金华8分)如图,直线y=3x-3与x,y轴分别交于点A,
k
B,与反比例函数y=x(k>0)图象交于点C,D,过点A作x轴的垂线
交该反比例函数图象于点E.
(1)求点A的坐标;
(2)若AE=AC.
①求k的值;
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称?
并说明理由.
第8题图
k
9.如图,已知双曲线y=x经过点D(6,1),点C是双曲线第三象限
上的动点,过点C作CA⊥x轴,过点D作DB⊥y轴,垂足分别为A,B,连接AB,BC.
(1)求k的值;
(2)若△BCD的面积为12,求直线CD的解析式;
(3)判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
第9题图
k
10.如图,点B为双曲线y=x(x>0)上一点,直线AB平行于y轴,
k
交直线y=x于点A,交x轴于点D,双曲线y=x与直线y=x交于点
C,若OB2-AB2=4.
(1)求k的值;
(2)点B的横坐标为4时,求△ABC的面积;
(3)双曲线上是否存在点P,使△APC∽△AOD?
若存在,求出点P的
坐标;若不存在,请说明理由.
第10题图
【答案】
m
1.解:
(1)∵点A(1,2)是一次函数y=kx+1与反比例函数y=x
的公共点,
m
∴k+1=2,1=2,∴k=1,m=2;
(2)∵直线l⊥x轴于点N(3,0),且与一次函数的图象交于点B,
∴点B的横坐标为3,
将x=3代入y=x+1,得y=3+1=4,∴点B的坐标为(3,4);
(3)如解图,过点A作AD⊥直线l,垂足为点D,
由题意得,点C的横坐标为3,
∵点C在反比例函数图象上,
222
∴y=x=3,∴C点坐标为(3,3),
210
∴BC=BN-CN=4-3=3,
又∵AD=3-1=2,
∴S
1
1
10
10
ABC=BC·AD=×
×2=
.
△
2
2
3
3
第1题解图
2.解:
(1)设A点的坐标为(x,y),则OP=x,PA=y,
∵△OAP的面积为1,
1
∴2xy=1,
∴xy=2,即k=2,
2
∴反比例函数的解析式为yx;
(2)存在,如解图,作点A关于x轴的对称点A′,连接A′B,交x轴于点M,此时MA+MB最小,
∵点B的横坐标为2,
2
∴点B的纵坐标为y=2=1,
即点B的坐标为(2,1).
又∵两个函数图象在第一象限交于A点,
∴2x2,x
解得x1=1,x2=-1(舍去).
∴y=2,
∴点A的坐标为(1,2),
∴点A关于x轴的对称点A′(1,-2),
设直线A′B的解析式为y=kx+b,代入A′(1,-2),B(2,1)得,
kb
2
解得
k
3,
2k
b1
b
5
∴直线A′B的解析式为y=3x-5,
5
令y=0,得x=3,
5
∴直线y=3x-5与x轴的交点为(3,0),
5
即点M的坐标为(3,0).
第2题解图
.解:
∵反比例函数
=
2
(1)
图象上的点A、B的横坐标
3
y
x
分别为1、-2,
∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(-2,-1),
∵点A(1,2)、B(-2,-1)在一次函数y=kx+b的图象上,
k
b
2
k
1
∴
b
解得
b
,
2k
1
1
∴一次函数的解析式为y=x+1;
(2)由图象知,对于反比例函数
y
2
,当y<-1时,x的取值范
x
围是-2<x<0;
(3)存在.
对于y=x+1,当y=0时,x=-1,当x=0时,y=1,
∴点D的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,1),
设点P(m,n),
∵S△ODP=2S△OCA,
11
∴2×1×(-n)=2×2×1×1,
∴n=-2,
∵点P(m,-2)在反比例函数图象上,
2
∴-2=,
m
∴m=-1,
∴点P的坐标为(-1,-2).
4.解:
(1)∵OB=2OA=3OD=6,
∴OA=3,OD=2.
∴A(3,0),B(0,6),D(-2,0).
将点A(3,0)和B(0,6)
代入y=kx+b得,
3k
b0
k
2
b
解得
b
6
,
6
∴一次函数的解析式为y=-2x+6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
将x=-2代入y=-2x+6,得y=-2×(-2)+6=10,∴点C的坐标为(-2,10).
n
将点C(-2,10)代入y=x,得
10=
n
,解得n=-20,
2
∴反比例函数的解析式为y
20
;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
x
y
2x
6
(2)将两个函数解析式组成方程组,得
20
y
x
解得x1=-2,x2=5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(7分)
将=
代入y
20
4,
x5
x
∴两函数图象的另一个交点坐标是(5,-4);⋯⋯⋯⋯⋯(8分)
(3)-2≤x<0或x≥5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(10分)
n
【解法提示】不等式kx+b≤x的解集,即是直线位于双曲线下方
的部分所对应的自变量x的取值范围,也就是-2≤x<0或x≥5.
5.解:
(1)∵点A(-2,n),B(1,-2)是一次函数y=kx+b的图
m
象和反比例函数y=x的图象的两个交点,
∴m=-2,
∴反比例函数解析式为
y
2,
x
∴n=1,
∴点A(-2,1),
将点A(-2,1),B(1,-2)代入y=kx+b,得
2k
b
1
k
1
k
b
解得
b
,
2
1
∴一次函数的解析式为y=-x-1;
(2)结合图象知:
当-2<x<0或x>1时,一次函数的值小于反
比例函数的值;
(3)如解图,作点A关于x轴的对称点A′,连接BA′延长交x轴于
点C,则点C即为所求,
∵A(-2,1),
∴A′(-2,-1),
设直线A′B的解析式为y=mx+n,
1
1
2m
n,解得
m
3,
2
m
n
5
n
3
15
∴y=-3x-3,
令y=0,得x=-5,
则C点坐标为(-5,0),
∴t的最大值为A′B=(-2-1)2+(-1+2)2=10.
第5题解图
1
6.解:
(1)∵一次函数y1=4x+1的图象与x轴交于点A,与
y轴交于点C,
∴A(-4,0),C(0,1),又∵AC=BC,CO⊥AB,
∴O为AB的中点,即OA=OB=4,且BP=2OC=2,
∴点P的坐标为(4,2),
m
将点P(4,2)代入y2=x,得m=8,
8
∴反比例函数的解析式为y2=;
x
(2)x>4;
【解法提示】由图象可知,当y1>y2时,即是直线位于双曲线上
方的部分,所对应的自变量x的取值范围是x>4.
(3)存在.假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如解
图,连接DC与PB交于点E,
∵四边形BCPD为菱形,
∴CE=DE=4,
∴CD=8,
∴D点的坐标为(8,1),
8
将D(8,1)代入反比例函数y
x
,D点坐标满足函数关系式,
即反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时
D点坐标为(8,1).
第6题解图
7.解:
(1)∵直线y=x+b与x轴交于点C(4,0),
∴把点C(4,0)代入y=x+b,得b=-4,
∴直线的解析式为y=x-4,
∵直线也过A点,
∴把点A(-1,n)代入y=x-4,得n=-5,
∴A(-1,-5),
m
将A(-1,-5)代入y=x(x<0),得m=5,
5
∴双曲线的解析式为yx;
(2)如解图,过点O作OM⊥AC于点M,
∵点B是直线y=x-4与y轴的交点,
∴令x=0,得y=-4,
∴点B(0,-4),∴OC=OB=4,
∴△OCB是等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
OM
OM
∴在△OMB中,sin45°=OB=
4
,∴OM=2
2,
∵AO=12+52=26,
OM
2
2
213
∴在△AOM中,sin∠OAB=OA
=
26=
13;
第7题解图
(3)存在.
如解图,过点A作AN⊥y轴于点N,则AN=1,BN=1,
∴AB=12+12=2,
∵OB=OC=4,
∴BC=42+42=42,
又∵∠OBC=∠OCB=45°,∴∠OBA=∠BCD=135°,
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB,
OBBA
OB
BA
∴BC=CD
或DC=BC,
4
2
4
2
即
42=CD或DC=42,
∴CD=2或CD=16,
∵点C(4,0),
∴点D的坐标是(6,0)或(20,0).
3
8.解:
(1)当y=0时,得0=3x-3,解得x=3.
∴点A的坐标为(3,0);⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分)
(2)①如解图,过点C作CF⊥x轴于点F.
设AE=AC=t,点E的坐标是(3,t).
OB3
在Rt△AOB中,tan∠OAB=OA=3,
∴∠OAB=30°.
在Rt△ACF中,∠CAF=30°,
∴CF=1
,
=
·°=
3
,
2t
AF
ACcos30
2t
31
∴点C的坐标是(3+2t,2t).
k
∵点C、E在y=x的图象上,
3
1
∴(3+2t)×2t=3t,
解得t1=0(舍去),t2=23,
∴k=3t=6
3;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(5分)
②点E与点D关于原点O成中心对称,理由如下:
由①知,点E的坐标为(3,23),
设点D的坐标是(x,3-
,
3x
3)
3
∴x(3x-3)=63,解得x1=6(舍去),x2=-3,
∴点D的坐标是(-3,-2
3),
∴点E与点D关于原点O成中心对称.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)
第8题解图
k
9.解:
(1)∵双曲线y=x经过点D(6,1),
k
∴=1,解得k=6;
6
(2)设点C到BD的距离为h,
∵点D的坐标为(6,1),DB⊥y轴,
∴BD=6,
1
∴S△BCD=2×6×h=12,
解得h=4,
∵点C是双曲线第三象限上的动点,点D的纵坐标为1,
∴点C的纵坐标为1-4=-3,
6
∴=-3,解得x=-2,
x
∴点C的坐标为(-2,-3),
设直线CD的解析式为y=kx+b,则
2k
b
3
1
k
,
6k
b
解得
2
1
b2
∴直线CD的解析式为y=1
-;
2x2
(3)AB∥CD.理由如下:
∵CA⊥x轴,DB⊥y轴,点D的坐标为(6,1),
6
设点C的坐标为(c,c),
∴点A、B的坐标分别为A(c,0),B(0,1),
设直线AB的解析式为y=mx+n,则
mc
n0
解得m
1
c,
n
1
n
1
∴直线AB的解析式为y=-
1x+1,
c
设直线CD的解析式为y=ex+f,则
6
1
ec
e
f
解得
c,
c
6e
f1
c6
f
c
∴直线CD的解析式为y=-
1x+c
6
,
c
c
∵AB、CD的解析式中k都等于
1
c,
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD.
10.解:
(1)设D点坐标为(a,0),
k
∵AB∥y轴,点A在直线y=x上,B为双曲线y=x(x>0)上一点,
k
∴A点坐标为(a,a),B点坐标为(a,a),
kk
∴AB=a-a,BD=a,
在Rt△OBD中,OB2=BD2+OD2=(ka)2+a2,
∵OB2-AB2=4,
∴(ka)2+a2-(a-ka)2=4,
∴k=2;
(2)如解图,过点C作CM⊥AB于点M,
y
x
联立
2,
y
x
x
2
x
2
解得
或
(舍去),
y
2
y
2
∴C点坐标为(2,2),∵点B的横坐标为4,
1
∴A点坐标为(4,4),B点坐标为(4,2),
17
∴AB=4-2=2,CM=4-2,
1
∴S△ABC=2CM·AB
17
=2×(4-2)×2
72
=7-4;
第10题解图
(3)不存在,理由如下:
若△APC∽△AOD,
∵△AOD为等腰直角三角形,
∴△APC为等腰直角三角形,∠ACP=90°,
1
∴CM=2AP,
2
设P点坐标为(a,),则A点坐标为(a,a),a
2
∴AP=|a-a|,
∵C点坐标为(2,2),
∴CM=|a-2|,
12
∴|a-2|=2|a-a|,
2
1
(a2
2)2
∴(a-
2)=4×
a2
,
2
1
(a
2)2
(a
2)2
即(a-
2)=4×
a2
,
2
2
2
∴4a-(a+
2)
=0,解得a=
2或a=-3(舍去),
∴P点坐标为(
2,
2),则此时点C与点P重合,所以不能构
成三角形,故不存在.
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