人教版数学八年级下册《正比例函数》教学详案.docx
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人教版数学八年级下册《正比例函数》教学详案
《正比例函数》教学详案
1.认识正比例函数的意义,理解正比例函数的概念.
2.会用描点法画正比例函数图象,掌握正比例函数的性质.
3.能利用正比例函数知识解决相关实际问题.
1.通过作出函数图象和从图象上获取信息,体会数形结合思想.
2.亲自经历“问题情境——函数解析式——函数图象——从图象中获取信息——解决问题”的过程,体验数学知识在实际生活中的广泛应用.
1.通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活.
2.体会在学习活动中与同学合作和独立思考的重要性,并在学习活动中获得成功的体验,增强学习的自信心.
【重点】 正比例函数图象和性质.
【难点】 正比例函数图象和性质的灵活运用.
第
课时
认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点.
能利用正比例函数知识解决相关实际问题.
通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心.
【重点】 理解正比例函数意义及解析式特点.
【难点】 正比例函数的解析式的求法.
【教师准备】 教学中出示的例题和备选习题.
【学生准备】 预习本节内容.
导入一:
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题:
(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?
(2)京沪高铁列车的行程y(单位:
km)与运行时间t(单位:
h)之间有何数量关系?
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后,是否已经过了距始发站1100km的南京南站?
学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.
教师解析:
(1)1318÷300≈4.4(h).
(2)y=300t.
(3)y=300×2.5=750(km),故列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.
y=300t中,变量和常量分别是什么?
其对应关系是函数关系吗?
谁是自变量,谁是函数?
自变量与常量按什么运算符号连接起来的?
由此引出今天学习的课题:
正比例函数.
通过这一环节,让学生体会到正比例函数来源于生活实际,通过实例引入,激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到1千米)?
2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?
3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?
学生在练习本上独立完成,有困难的小组讨论、交流.
教师总结,全班讲评.
一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:
25600÷(30×4+7)≈202(千米).
若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=202x(0≤x≤127).
这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=202x的值.即:
y=202×45=9090(千米).
以上我们用y=202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
类似于y=202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?
今天学习的课题:
正比例函数.
通过这一环节,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的,人们的需要产生数学.
1.正比例函数概念
思路一
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?
(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;
(2)铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位:
g)随它的体积V(单位:
cm3)的大小变化而变化;
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:
cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;
(4)冷冻一个0℃物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:
℃)随冷冻时间t(单位:
分)的变化而变化.
学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.
教师解析:
(1)l=2πr;
(2)m=7.8V;(3)h=0.5n;(4)T=-2t.引导学生认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.
函数解析式
常数
自变量
函数
(1)l=2πr
2π
r
l
(2)m=7.8V
7.8
V
m
(3)h=0.5n
0.5
n
h
(4)T=-2t
-2
t
T
提问:
这些函数有什么共同点?
学生观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=300t,y=200x的形式一样.
教师归纳:
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,体会数学来源于生活,又应用于生活,让学生初步感受正比例函数在实际生活中的应用.
思路二
前面我们学习了函数的概念,学会了用描点法来画函数的图象,观察下列函数的解析式,发现它们有什么特点?
(1)y=3x;
(2)y=-6x; (3)y=x; (4)y=-x.
师生共同分析:
上述这些函数都是常数与自变量乘积的形式,我们把形如这样的函数叫做正比例函数.
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
教师强调:
(1)常量:
k,变量:
x,y,自变量取值范围:
全体实数;
(2)正比例函数的函数y与自变量x之间就是正比例关系的量.
通过观察所给函数的结构特点,让学生寻找这些函数具有的规律,让学生体会由特殊到一般来解决问题的方法.
2.例题讲解
(补充)下列式子,哪些表示y是x的正比例函数?
如果是,请你指出正比例系数k的值.
①y=;②y=;③y=-;④y=2x;⑤y=x2+1;⑥y=5x+2.
〔解析〕 观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y=kx的形式来求解.
解:
①y=是正比例函数,正比例系数k=.
④y=2x是正比例函数,正比例系数k=2.
②,③,⑤,⑥都不是正比例函数.
通过设计一组函数,让学生利用正比例函数的定义进行判断求解,帮助学生及时复习所学的概念.
(补充)①若y=(k-1)x是正比例函数,则 ;
②若y=2xm是正比例函数,则m= .
③在函数y=(k-2)中,当k= 时,为正比例函数.
〔解析〕 根据正比例函数定义,利用比例系数k≠0,或者x的指数为1列不等式或方程进行求解.①∵y=(k-1)x是正比例函数,∴k-1≠0,∴k≠1.②∵y=2xm是正比例函数,∴m=1.③∵函数y=(k-2)为正比例函数,∴∴k=-2.
答案:
①k≠1 ②1 ③-2
通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的比例系数和未知数的指数来列不等式或方程来求字母的取值.
(补充)若y与x-2成正比例关系,且x=4时,y=5.求y关于x的函数关系式.
〔解析〕 先根据y与x-2成正比例关系可设y=k(x-2),再把x=4时,y=5代入求出k的值即可.
解:
设y=k(x-2),则有k(4-2)=5,
解得k=.
所以y关于x的函数关系式为y=x-5.
通过设计代数式之间成正比例关系,利用方程的思想进行求解,让学生更深刻理解正比例函数的定义.
本节课学习了正比例函数的概念:
形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:
判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.
1.下面四个小题中两个变量成正比例的是 ( )
A.儿童的身高和年龄
B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积
C.圆柱的高和体积
D.长方体的底面是边长为定值a的正方形,它的体积和高
解析:
儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积公式、圆柱的体积公式可知B,C不正确;由题意知长方体的体积=a2×高,且a为定值,所以它的体积和高是成正比例的.故选D.
2.若y=5x3m-2是正比例函数,则m= .
解析:
根据正比例函数定义,得3m-2=1,解得m=1.故填1.
3.y=(k-2)x2+5x是正比例函数,则k的值为 .
解析:
根据正比例函数定义,得k-2=0,解得k=2.故填2.
4.下列式子,哪些表示y是x的正比例函数?
如果是,请你指出正比例系数k的值.
(1)y=-0.1x;
(2)y=;
(3)y=2x2; (4)y2=4x;
(5)y=-4x+3; (6)y=2(x-2x2)+2x2.
解:
(1)表示y是x的正比例函数;正比例系数k=-0.1.
(2)表示y是x的正比例函数;正比例系数k=.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数.
5.如果y=kx(k≠0),当x=4时,y=2;那么x=-3时,y的值是多少?
解:
∵y=kx,当x=4时,y=2,∴4k=2,∴k=,∴y=x,∴当x=-3时,y=-.
第1课时
1.正比例函数概念
2.例题讲解
例1 例2 例3
一、教材作业
【必做题】
教材第87页练习第1,2题.
【选做题】
教材第98页习题19.2第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的打“√”,错误的打“✕”
(1)若y=kx,则y是x的正比例函数. ( )
(2)若y=2x2,则y是x的正比例函数. ( )
(3)若y=2(x-1)+2,则y是x的正比例函数. ( )
(4)若y=2(x-1),则y是x-1的正比例函数. ( )
2.汽车以40千米/时的速度行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数解析式为 ,y是x的 函数.
3.(2015·凉山中考)已知函数y=2x2a+3+a+2b是正比例函数,则a= ,b= .
4.若x,y是变量,且函数y=(k+1)是正比例函数,则k= .
5.若y=kx+2k-3是y关于x的正比例函数,则k= .
6.指出下列函数是否为正比例函数?
如果是,比例系数是多少?
(1)y=3x;
(2)y=; (3)y=; (4)S=πr2.
【能力提升】
7.若y与x成正比例,当x=4时,y=-2.
(1)求y与x的关系式;
(2)当x=6时,求出对应的函数值y.
8.已知y-6与x+3成正比例,且x=1时,y=26,试写出y与x的函数关系式.
【拓展探究】
9.汽车由天津驶往相距120千米的北京,s(千米)表示汽车离开天津的距离,t(小时)表示汽车行驶的时间,如图所示.
(1)汽车用几小时可到达北京?
速度是多少?
(2)汽车行驶1小时,离开天津有多远?
(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?
【答案与解析】
1.
(1)✕
(2)✕ (3)√ (4)√(解析:
先把所给的代数式化成最简形式,再根据正比例函数定义进行判断求解.)
2.y=40x 正比例(解析:
根据路程=速度×时间和正比例函数的定义进行判断.)
3.-1 (解析:
由题意得解得)
4.1(解析:
由正比例函数定义,可知故k=1.)
5.(解析:
由正比例函数定义可知2k-3=0,且k≠0,故k=.)
6.解:
(1)是,比例系数k=3.
(2)不是. (3)是,比例系数k=. (4)不是.
7.解:
(1)∵y与x成正比例,∴设y=kx,又∵当x=4时,y=-2,∴4k=-2,∴k=-,∴y=-x.
(2)当x=6时,y=-×6=-3.
8.解:
∵y-6与x+3成正比例,∴设y-6=k(x+3).又∵x=1时,y=26,∴4k=20,∴k=5,∴y-6=5(x+3),∴y与x的函数关系式为y=5x+21.
9.解:
(1)由图象可知:
s与t成正比例,设s=kt,当t=4时,s=120.即120=k×4,∴k=30.∴s=30t.∴汽车用4小时可到达北京,速度是30千米/时.
(2)当t=1时,s=30×1=30(千米).∴汽车行驶1小时,离开天津30千米. (3)当s=100时,100=30t,t=(小时).∴当汽车距北京20千米时,汽车出发了小时.
本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.
由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.
教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.
练习(教材第87页)
1.解:
(1)和
(2)表示y是x的正比例函数.
2.解:
(1)y=4x,是正比例函数.
(2)y=12x,是正比例函数. (3)y=2×1.5×x=3x,是正比例函数.
正比例函数是在学习了变量和函数的概念及图象的基础上进行的.它既是对前面所学知识的应用,也是为以后学习一次函数做铺垫,因此起着承上启下、架桥铺路的作用.
在本节课中,通过生活中的一些实际应用的例子,引导学生进行观察、对比,通过小组的交流、讨论来发现正比例函数特点,学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,再通过教师的点拨、总结得到正比例函数定义,通过精心设计例题来巩固正比例函数定义,让学生感知正比例函数解析式的特点,学会观察、归纳的数学方法.
由于函数的概念比较抽象,学生不容易理解,理解函数的概念是教学的重点.首先通过实例,抽象提出正比例函数的函数关系式,由学生观察得到特点.然后自然引出正比例函数的概念和特点.之后通过习题加深印象.这样由具体到抽象的概念教学,可以提高学生学习的兴趣,理解和掌握抽象概念.
(1)若函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,则a= ;
(2)若y=(k+3)是y关于x的正比例函数,则k= ;
(3)若y与x-2成正比例,当x=3时,y=-4.试求出y与x的函数关系式.
解析:
由正比例函数解析式为y=kx,根据题意列方程或不等式进行求解.
解:
(1)∵函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,∴∴a=-3.
(2)∵y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数,∴∴k=3.
(3)∵y与x-2成正比例,∴设y=k(x-2),
∵当x=3时,y=-4,∴k=-4,
∴y与x的函数关系式为y=-4x+8.
第
课时
1.能够画出正比例函数的图象.
2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并理解其性质.
3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数的图象.
在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质.
学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想.
【重点】 正比例函数图象的画法和性质的理解.
【难点】 利用正比例函数图象与性质灵活解题.
【教师准备】 教学中出示的例题.
【学生准备】 坐标纸、学习用具.
导入一:
当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!
如果他输入的汉字个数用y(单位:
百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:
分钟)的函数关系式是什么?
这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?
用描点法,你能画出这个函数的图象吗?
以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好地激发学生学习的积极性.
导入二:
1.在下列函数中,哪些是正比例函数?
并指出正比例系数分别是多少?
①y=x,②y=3x2,③y=2x,④y=2x-4, ⑤y=,⑥y=-x,⑦y=-2x.
2.画函数图象需要经历哪些步骤?
3.你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗?
通过设计一组正比例函数,引导学生利用上一节知识,即函数的图象的画法来画正比例函数的图象,体会数形结合思想的应用.
1.画正比例函数的图象
你能用描点法画正比例函数的图象吗?
思路一
画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.
(1)y=2x;
(2)y=-2x.
学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象.
教师根据学生画出的图象进行有针对性的讲解.
解:
(1)列表:
函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
描点,连线,画出图象,如图所示:
(2)列表:
y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
描点,连线,画出图象,如图所示.
练习:
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.
(1)y=x;
(2)y=-x.
利用描点法正确地画出两个函数图象,让学生体会数形结合思想.
思路二
1.正比例函数的图象
问题
画出下列正比例函数的图象:
①y=2x;②y=-2x;③y=x;④y=-x.
学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象,并观察规律.
教师引导学生画图,注意函数图象的三个关键步骤:
列表、描点、连线,边巡视边指出学生画图中出现的问题,最后展示正确图象(如图所示),让学生进行对比修改.
通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历发现规律的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.
2.正比例函数的性质
思路一
提问:
观察上面的图象,发现函数图象有什么特点?
师生共同归纳函数y=2x和y=-2x的图象特点.
两个函数图象的共同点:
都是经过原点的直线.
不同点:
函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,经过第二、四象限,即随x增大y反而减小.
学生根据自己所画的图象,以小组形式类似地归纳y=x和y=-x的图象特点:
比较两个函数图象可以看出:
两个函数图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随x的增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随x的增大y反而减小.
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:
正比例函数y=kx.
(1)图象:
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
(2)性质:
当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
提问:
画正比例函数的图象时,怎样画最简单?
为什么?
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.
说明:
正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.
利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.
思路二
问题:
观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:
①四个函数图象都是经过 的直线.
②函数y=2x的图象经过第 象限,从左向右 (呈什么趋势),即y随x的增大而 ;
③函数y=-2x的图象经过第 象限,从左向右 ,即y随x的增大而 ;
④函数y=x的图象经过第 象限,从左向右 ,即y随x的增大而 ;
⑤函数y=-x的图象经过第 象限,从左向右 ,即y随x的增大而 .
学生观察图象并回答,教师纠正学生回答中不正确的地方,并适当点拨讲解:
①原点;②一、三;上升;增大;③二、四;下降;减小;④一、三;上升;增大;⑤二、四;下降;减小.
师生共同归纳总结:
正比例函数y=kx(k≠0)的性质:
(1)图象是经过原点的一条直线.
(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大(递增).
(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小(递减).
思考:
画正比例函数的图象时,怎样画最简单?
为什么?
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.
说明:
正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.
(1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.
(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.
3.例题讲解
(补充)
(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是 .
(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b= .
(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值范围是 .
〔解析〕
(1)设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可;
(2)把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质列不等式进行求解.
解:
(1)设正比例函数的解析式为y=kx,
∵正比例函数的图象经过点(-1,3),
∴-k=3,∴k=-3,
∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.
(2)∵函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),
∴-b2+9=0,∴b2=9,∴b=±3.
(3)∵直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,
∴2k-3<0,∴k<.
故k的取值范围是k<.
通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围.
(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.
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