中山大学概率统计第3习题解docx.docx
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习题三
先介绍两个常用的恒等式•对于I兀|V1,
证明如下:
V°°M-1-1V°°Qz_1+兀
S_(1一才’乙曰"(1-X)3,
工和(屮尸匹爲广)"=&爲
匸/対匹二心+】)尸-工二宀
1.求习题2.4屮的随机变量X的期望.
解X有概率分布
P(X=k)=pk~](l-^+d-p/-1p,R=2,3,….
ex壬肿x=k)=xr=2时(i-刃+“尸p
/、
=d-P)工:
=2炒7+P》;/(l-P)I=0-P)
—1―-1+p1(1-"丿
=2p-p2|]_p2」_p+p2二]]
1一PPPQ_P)p(l—P)
2.求习题2.9屮的随机变量X的期望和方差.
解EX=匚顾兀宓=J[城兀/[01)(兀)+(2-兀)/[12](兀)皿
EX2
=匚F〃(x)dx=J:
gx2[x/l01)(x)+(2-x)ZL12J(x)]dr
DX=EX2-(EX)2=7/6-l=l/6.
3.某种彩票中奖的概率是0.1,连续地购买这种彩票,设直到第X张彩票才获奖.求X的期望与方差.
解X有分布
P(X=k)=0」x0・9*t,R=l,2,….
EX=》;,P(X*)=》:
/x0.1x0.91=0.yxO.k=_^_=W,
0」X(l+O・9)
(1-0.9)3
=190
EX2=》;」2p(X=灯二工二八x0.1x0.91-1
所以
DX=EX2-(EX)2=190-100=90.
4.某小组有男生4人女主3人从中随机选出2人.设X为选到的女牛的人数,求X的期望和方差.
解X冇分布
"八、43243344……321
p(X=0)=-x-=-,P(X=l)=-x-+-x-=-,P(X=2)=-x-=-.
76776767767
EX=》:
_‘P(X=k)=0x(2/7)+lx(4/7)+2x(l/7)=6/7,
EX?
=》;=2“P(X=k)=0x(2/7)+lx(4/7)+4x(l/7)=8/7,
DX=EX2-(EX)2=8/7-(6/7)2=20/49.
5.同时投掷4个骰子一次.约定没有掷出6点得1分,掷岀1个6点得5分,掷出2个6点得25分,掷出3个6点得125分,4个6点得625分.问期望能得多少分?
解X有分布
P(X=1)=Cf(1/6)°(5/6)4=625/64,
P(X=5)=C^(1/6)1(5/6)3=4x125/64,
P(X=25)=C:
(1/6尸(5/6尸=6x25/64,
P(X=125)=C^(l/6)3(5/6)1=4x5/64,
P(X=625)=C4(1/6)4(5/6)°=1/64・
EX=lxP(X=l)+5xP(X=5)+25xP(X=25)+625xP(X=625)
=(625+5x4x125+25x6x25+5x4x125+625)/64=625/81.
6.某人携带5发子弹射击一H标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命屮目标的概率是p,问他平均会射击儿次?
解1设q=\—p,X有分布
p(X=k)=pqk~x,£=1,2,3,4,P(X=5)=q4.
EX=XLiX=k)=HW1+=工仁fc(l-q)qi+5/
=1+2q+3/+-q-2q2--4q4+5c/4
=]+g+g2+/+?
4.
解2设q=\-p,X有分布
p(X=k)=pq-',£=1,2,3,4,P(X=5)=护.
因为对于|x| X— 1-x 1-5x4+4x5 (1一兀)2 =ZL^(X=^=ZLW-1 EX 所以 解1ex=\Zxp^c1x=JS|xe~^dx=JLxeX(ix+\ 4-001 0尹如 丄xe~xdx=--xe~xJo22 \^-e~xdx=--e~xJo22 +8]o飞' _4(/-Q)+5护=]+q+『+g34/+5g4=l+g+『+q3+g4i_q DX=EX2-(EX)2=\/2. fo1v,x="zf+°°1-/. —xedx=-\—tedt= J-oo2Jo2 故EX=0. +°° =2,o EX2訂二*代T%訂;。 V厂必=J厂 + 2(Txdx=-2e^xo f+8|j =0'f.hr +°° x=l f+oo丄 J-OO2 血Txl dx=^ +oo 0 xe~xdx< DX=EX2-(EX)2=2. 又由于丄宓Fl是奇函数,故 2 EX=J+xp(x)dx=j+£xe~^dx=0. EX2=J+x2p(x)dx=J+x2e~xdx=-x2e~x+J;2xe~xdx DX=EX2-(EX)2=2. 9.在赌场上,赌博的人每次交纳个一个筹码便可以同时投掷3个骰子一次,并获取一笔奖金,奖金的数目(元)等于3个骰子掷出的的点数的乘积•如果每个筹码的价钱是45元,那么赌场老板平均每次可以获利多少? 解分别以XPX2和X3记3个骰子掷出的的点数,则 EXt=EX2=EX3=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5Y=X^X2X3. 以Y这些点数的乘积,即丫=XK2X3,赌场老板平均每次的获利是 45-EY=45-EX}EX2EX3=45-3.53=45-42.875=2」25. 10.对某一目标进行射击,肓到击中r次为止.如果每次射击的命屮率为p,求需要射击次数的期望与方差. 解1分别以X],…,X,.记笫1次击中需要射击次数,第1次击中后开始到第2次击中需要射击次数,…,笫厂-1次击中后开始到笫r次击中需要射击次数.对i=…,厂,X,有分布 P(Xi=k)=pql',"1,2,…, 其屮qT—p.因而 EXi=LZ=1kP(Xi=k)=》;=[kpqk-'=, EX? =ZLkg=k)吃爲卄=氓p存卩墙学 (|一q)p DXj=EX: -(EX;=qjp2 以Y记需要射击的次数贝ljY=X]+…+X八 EY=EX\+・・+EXr=Hp,DY=DX\+..・+DXr=rq)p? 解2以Y记需要射击的次数,则Y有分布 P(Y=k)=pC;二严孑-r=C^prqk~r,—,广+1,…. EY=&」P(Y=約==吃二沽鬆” r (l-6/)r+,~~P r\ pr(r-1)! Py00k'・— (厂_1)! 乙妇厂伙_广)! 纟 上式中 EY12=M/P(Y=k)=工;」伙+l)g//qS-工二如曲" ey2_心+1)r r_rq _=7- 因而 2-4+4,"=曲_仰)一吕+马 p~pp~p~p~p~p~ 解3以厂记需要射击的次数,则Y有分布 P(Y寸)=〃C吕/厂=C吕prqk-r,—,厂+1,…. 根据命题2.2.1, 工―P&='=1- 分别以r+1和厂+2代替上式的r,则分别有 k=k*+l 8 k=r(k-r)lrl ~=乞二耳严厂、工;上严厂. EV2=工;」沁丫=k)=工;丿伙+DC: 二”严-工二姒二必,上式中 &丿伙+心严=工二斜启討旷 由此得 r(r+l)r 9 P「P 9? D"加-(刃)一二+马-二二卑.p~pp~p~ 「(Q+0) W)「(0) 严七-兀严心」)(兀), 11・设X服从0分布,即它的密度为 一其中a>0,0>0.求EX和DX.(提示: 称BU,r)=['us~x(1-m)/_i力为0函数,由微积分J0 的知识知b(s,h=r(5)r(r)/r(5+1)) 解(见p.239,命题2.1) 12.分别以下的几种情况,求z=Vx2+r2的均值.请用两利方法分別计算,即利用1.10 式直接计算,以及先求Z的密度,再利用1.4式计算. 1)(X,Y)有联合密度p(x,y)=丄不 2兀 2)(X,y)有联合密度p(x,y)=丄e-C). 71 3)(X,D有联合密度p(x,y)=4xye^(x2+y2)ID(x9y),其中D=(x,y): x>0,y>0). 解 1)方法1 饯⑵二P(Z x=rcos^ -z y=rsin01「%rzr2 =云/(0卄)⑵Ld&Lre~,dr=心Q⑵Lr^dr=(1-厂-z严”(0+8)⑵, Pz⑵=Fz(z)=Z€pOy)⑵, EZ=Jz〃z(z)dz=J 「—(3)=2. 方法2 EZ=Eylx+Y2=f+O°f"J兀2+丹(兀,y}dxdy .v=rcos^ 广广产升R如广罗J—OOJ_8V J—ooJ—OO 1 -2^ v2,.,2*+)dxdy 2)方法1 5(z)=P(Z z= zV/Jz=r(3/2)=V^/2. Pz⑵"? ⑵=2z£7/(os(z),r4-00r4-0002Z=\[i EZ=Jzpz⑵Jz=2joz~e~~dz=2 方法2 EZ=Eylx2+Y2=Tf+°°Jx2+y2p(x,y)dxdy J—8J—OO A-rcos^尸广sin& X2+Y2 /(0卄)⑵J;、4sin&cos&d&J: Pe~r~dr=21 fZ? 22 3d「力二「(5/2)=3石/4. 卄)⑵J: te~{dt=(\-e~2~-zV2-)/(0+oo)⑵, =j+j+4>/x2+y2xye~(x+v}ID{x,y)dxdy x=rcosOy二rsin& ett/2 J。 4sin&cos&d& )Ae~rldro =j^OO2rVr\/z,=/j(^r3/2e_zt/r=r(5/2)=3A/i/4. 13.设X〜N(Od),求EX". EX°=[px{x)dx=1•J—oo 由于xe~^n是奇函数,兰厂引曲力广;''『「「宀加=2v+oo,故 EX' —OO r+8 xpxMdx= J—OO 当心2吋, ■°°J2兀(7 —8 =^£Lde-x2,(2^++/(―淫_2厂2叫5_i)/ex“・ J2兀』2兀 —OO 由此得 “[0汹奇数 EXn=<^ (/? —1)(〃—3)・・・3・1•(yn〃为偶数 2x"Px —8 EX2=E[/? cosg]2訂二[Rcos自2Ps(s)ds二J; "丄R2cos2— 027T17V =—f2;r(l+cos-)ds=—(5+sincos-) 4龙J0714"71 2龙c _R^—? 14.设球的点径服从[⑦方]上的均匀分布,求球体积的期望. 解设球的直径为X,球的体积为Y.则丫=丄兀X有密度PX(X)=J—I(X)^ 6b-a 15.点随机地落在中心在原点、半径为R的圆周上,并对弧长是均匀分布的.求落点横处标的期望和方差. 解从点(1,0)沿反时针方向到落点的弧长为S,落点横坐标为X,则X=Rcos^-fS有 密度PsG)=Z—/[0,2龙](")•因而 Sr+°°sr2兀1s1s EX=^cos-]4_^cos-p5(^=f0-^cos-^=-^2.sin- 2兀 DX=EX2-(EX)2=R2/2. 16.设X〜N(〃q2),Y=axy其中«>0,a^\.求丫的密度,期望和方差. 解FY(y)=P(Y -In。 jiny/\na)2/(2a2) 当yS0,a<0lit,7y(y)=P(X>ln^/lna)=l-Fx(Iny/Ina), PY(y)=用(y)=((Iny//lna)px(Iny/\na)= Indg-(lny/Ina-ju)2/(2a2) 当y50,av0吋,FY(y)=P(X PY(y)=用(y)=((Iny)'/\na)px(Iny/\na)= 由上知y有密度 內(刃=用O)=(dny)'/lna)px=^£-e~^加心)心卄)(刃. 17.设轮船横向摇摆的振幅X是随机变量,有密度p(x)=Axe-x2/2a2/(o卄)◎).求A和X的期望和方差,并求振幅大于其期望的概率. 解1=j*[=f[Axe~x~2<7_/(0+oo)(x)dx 二可。 xe(}dx=4bJ。 edt=A(y^. 故A=[/(y2. EX=j^xp(X)dx寸二+代? /2a2心*(x)dx =A厂代"7$/心=叵厂x21厂2冷心=。 后. ,」°2(7J—莎(J 22 £0(兀)必二A兀3厂2/2,心卄)(劝心'工)12a2te~ldt=2a2. DX=EX2-(EX)2=(2-7r/2)(y2. 18.设等腰点角三角形的直角边长X为随机变量,服从[0,1]上的均匀分布.求这个三角形的面积的期望. 解X冇密度px(x)=/|o.i]W,这个三角形的面积S=X2/2. ES=E(X2/2)=j(x2/2)p(x)dx=J二(x2/2)I[QA](x)dx=j^(x2/2)dx=1/6. 19.设园的面积服从指数分布,有密度/心)二冷—巧(o.s(x)•求这个园的半径的期望.解设园的而积为X,则这个园的半径R= 匸加]p+oo Jo ER=E(x! XI兀)=j\Jx/7Tpx(x)dx=jVx/7tXe~^x/(0>+oo)(兀)必 =f「丘忌严dxr怎J=怎「(3/2)=怎•挣=壶• 20.设x.r独立,分别有密度px(兀)=*仏3](兀)和PyM=2尸〉«0心)(刃,又设z=XY.求Z的期望和方差. 解EX=J+xpx(x)^£v=|+右兀/「3](兀)必=]*: £”必=13/6, f+°°9f+°°13r =j_ooXPx(劝心=Loo才兀41,31 EY訂二啊(刃狞=匚y•2e~2yI[0^y(y)dy=J「2y严=1/2, EY2=J二y2pY(y)dy=j^y2•2宀o,“)心 =J;°°ly2e~2ydy=|^re~ldt=右「(3)=1/2. EZ=E(XY)=EXEY=(13/6)(1/2)=13/12, EZ2=£(X2y2)=£X2EK2=5x(l/2)=5/2,DZ=EZ2-(EZ)2=5/2-(13/12)2=191/144. 21. 设某人在3天中共收到5份电子邮件,每份电子邮件在这3天中的那一天被收到都是等可能的•设这3天中有X天当天都至少收到一份电了邮件,求X的期望.(提示: 设 解对于21,2,3,设 则X胡+込+匕, p(£=0)=(2/3)'=32/243,? (};.=1)=1-? (};.=0)=1-32/243=211/243,故E〜3(1,65/81).因而 49 EX=E”+E§+EE=211/243+211/243+211/243=211/81=2下. 22.设(X』)有联合密度p(xo9=A/(x2+y2+1)2,其中A是常数.求出A的值,并问 解1=f+f+p(x,y)dxdy=f+[+A/(x2+y2+I)2dxdy J—OOJ—8■J—OOJ—8 x=rcos^・y=rsin^ +81r+8r+ xp(x.y)dxdy=—I—8兀J—OOJ— +8『4*oo •OO /(x2+y2+\)2dxdy =丄+8(+二心2+>,2+1)2必兀J—OO\J—OO 类似地,£7=0. 71 —OO X +8 0・d): =0, 故A=l//r• +8f+8aaa*> x2心2+y2+I)2dxdy ■8 +8? ]r+8『•+ Xp(x.y)dxdy=—| •8兀J—OOJ— x=rcos^y=^in&]2龙°r+oor3 =—Icos*0d0\d广=+<>o, 龙JoJo(/+1)2 故Ex=DX=E(X-EX)2=EX2不存在,类似地ayY亦不存在. 23.设(XQ服从区域D={(x,y): O Px⑴=1心,y)dy=\^ID(x,y)dy=仏](兀)J: '购=2(1-x)Zl0JJ(x)‘ EX—jxpx(x)dx=J;2x(1—x)dx—(x2—2x3/3)|=1/3, EX2=j二/心(x)dx=匸2兀2(1一X)dx=(2x3/3-x4/2)|l=1/6. DX=EX1-(EX)1=1/6—(1/3)2=1/18.类似可得DY=\/\S. =(x2/2-2x3/3+x4 /4)lo =1/12, EXY=JJ2兀y/d(x,y)dxdy=^2皿J;呛=匸x(l-^)2dx cov(X,Y)=EXY-(EX)(EK)=1/12-(1/3)(1/3)=-1/36 24.设(XV)为随机向最(x,/3,a,b,c都是实数.证明: cov(qX+a,0Y+/? )=€^cov(X,y),D(aX+卩Y+c)=a2DX+/3~DY+2妙cov(X,Y). 25・已知DX=16,DY=25,p=-0.5.求cov(X,F),D(X+Y)和D(3X-2y+4). cov(XyY)=JDXDYPxy=V16x25x(-0.5)=-10, D(X+Y)=DX+DY+2cos(X,y)=16+25+2x(—10)=21, D(3X-2y+4)=32r>X+22Z)y+2x3x(-2)cos(X,y) =9x16+4x25+(—12)x(—10)=364. 26.设随机变量X有均值4和方差25.为了使得厂X—s有均值0和方差1,应该怎样选样r,s的值. 解由题意得 0=E(rX-s)=rEX-s=4r-y,1=D(rX-s)=r2DX=25r2, 解方程组 J4r-5=O I25r2=1 #r=±l/5,5=±4/5・ 27.设随机变量X],X2,X3独立同分布,有有限的不等于零的方差.乂设 y=2X]+X2+2X3,Z=2X1+3X2-6X3>求人Z的相关系数. 解设DX]二DX2=DX、=(T2,则 DY=D(2X])+阻+D(2X3)=4cr2+/+4<72=9cr2, DZ=£>(2兀])+»(3勒)+D(-6X3)=4ct2+9cr2+36cr2=49cr2, cov(K,Z)=cov(2X],2X])+cov(2X],3X2)+cov(2X|,-6X3) +cov(X2,2X])+cov(X2,3X2)+cov(X? -6X3)+ +cov(2X3,2X[)+cov(2X3,3X2)+cov(2X3,-6X3)+ =cov(2X|,2X0+cov(X2,3X2)+cov(2X3,-6X3) =4(r2+3(r2-12cr2=-5<72. _co^y,g)__-5亍_一" "JDYDZ辰2)(4心)'• 28.设(X,Y)是二维正态随机向最,X和丫都有均值0和方差1,两者的相关系数为1/2.为了使得X和Y-kX和互独立,应该怎样选择常数k的值. 解设Z=,贝lj(X,Z)服从正态分布,X,Z相互独立的充分必要条件是 cov(X,Z)=0.山于 cov(X,Z)二cov(X,Y—£X)二cov(X,y)—£cov(X,X) =y/DXDYpXY-kDX=>JMx(\/2)-kx\=\/2-k・故应选择k=\/2. 29.分别求习题2.26屮的随机变量X和丫的期望和方差,并求它们的协方差和相关系数. 解EX=》: =o"(X=R)=0x0.4+lx0.3+2x0.3=0.9, 曲=工: (,2p(x=R)=0x0.4+1x0.3+4x0.3=1.5, DX=EX2-(EX)2=1.5-0.81=0.69, EY==k)=0x0.1+1x0.2+2x0.3+3x0.4=2, EY2==^)=0x0」+1x0.2+4x0.3+9x0.4=5, z)y=Ey2-(Er)2=5-4=i, =i,y=7)=1x0.1+2x0」+3x0」+4x0」+6x0.2=2.2, _cov(x
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