高中数学双曲线抛物线知识点总结.docx
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高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线
平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
方程
22
xy
221(0,0)
ab
ab
22
yx
221(0,0)
ab
ab
简图
y__y
x__x_O
_O
范围
xa或xa,yRya或ya,xR
顶点
(a,0)(0,a)
焦点
(c,0)(0,c)
渐近线b
yx
a
a
yx
b
离心率
c
e(e1)
a
c
e(e1)
a
对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称
准线方程x
2
a
c
y
2
a
c
a、b、c的关
系
222
cab
考点
题型一求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程
n
yx
m
的双曲线方程可设为
22
xy
22(0)
mn
,与双曲线
22
xy
221
共渐近线的方程可设为
ab
22
xy
22(0)
ab
。
2、注意:
定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
(1)虚轴长为12,离心率为5
4
;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)与双曲线
22
xy
916
1
有公共渐进线,且经过点A3,23。
解:
(1)设双曲线的标准方程为
22
xy
221
ab
或
22
yx
221
ab
(a0,b0)。
由题意知,2b=12,
e
c
a
=
5
4
。
∴b=6,c=10,a=8。
∴标准方程为
2
x
64
361
或
22
yx
6436
1
。
(2)∵双曲线经过点M(0,12),
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12。
又2c=26,∴c=13。
∴
222144
bca。
∴标准方程为
22
yx
14425
1
。
(3)设双曲线的方程为
22
xy
22
ab
A3,23在双曲线上
∴
223
3
916
2
1
得
1
4
所以双曲线方程为
22
4xy
94
1
题型二双曲线的几何性质
方法思路:
解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e、a、b、c四者
的关系,构造出
e
c
a
和
222
cab的关系式。
【例2】双曲线
22
xy
221(0,0)
ab
ab
的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且
点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥
e的取值范围。
xy
解:
直线l的方程为1
,级bx+ay-ab=0。
ab
4
5
c。
求双曲线的离心率
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离1
d
b(a1)
22
ab
,
同理得到点(-1,0)到直线l的距离2
d
b(a1)
22
ab
,
2ab2ab
sdd
1222
c
ab
。
由s≥
4
5
c,得
2ab
c
≥
4
5
c,即
222
5aca2c。
于是得
22
5e12e,即
42
4e25e250。
解不等式,得
5
4
2
e5。
由于e>1>0,所以e的取值范围是
5
2
e5。
【例3】设F1、F2分别是双曲线
22
xy
221
ab
的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使
F1AF290,且︱AF1︱=3︱AF2︱,求双曲线的离心率。
解:
∵
F1AF290
∴
222
AF1AF24c
又︱AF1︱=3︱AF2︱,
∴
AF1AF22AF22a即AF2a,
∴
2222222
AF1AF29AF2AF210AF210a4c,
∴
c
a
1010
42
即
10
e。
2
题型三直线与双曲线的位置关系
方法思路:
1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
组,即
AxByC0
222222
bxayab
,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共
点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长:
12
l1kxx1yy
21221
k
【例4】如图,已知两定点
F1(2,0),F2(2,0),满足条件PF2PF12的点P的轨迹
是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点,如果AB63,且曲线E上存在点C,
y
使OAOBmOC,求
A
(1)曲线E的方程;
C
(2)直线AB的方程;
(3)m的值和△ABC的面积S。
B
Ox
解:
由双曲线的定义可知,
曲线E是以
FF为焦点的双曲线的左支,
1(2,0),2(2,0)
且c2,a=1,易知
221
bca。
故直线E的方程为
221(0)
xyx,
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意建立方程组
y=kx-1
22
x-y=1
消去y,得
22
(1k)x2kx20。
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B,有
2
1k0,
22
(2k)8(1k)0,
2k
xx
122
1k
0,
解得2k1。
2
xx
122
1k
1.
又∵
222
AB1kxx1k(xx)4xx
121212
22
2k2(1k)(2k)2
1k()42
2222
1k1k(1k)
依题意得
22
(1k)(2k)
263
22
(1k)
,整理后得
42
28k55k250,
∴
25
k或
7
25
k。
4
但2k1,
∴
5
k。
2
故直线AB的方程为
5
2
xy10。
(3)设C(x,y),由已知OAOBmOC,得(x1,y1)(x2,y2)(mxc,myc),
cc
∴
xxyy
1212
(xc,yc)(,)(m0)
mm
。
又
2k
xx
122
k
1
45
,
2
2k2
yyk(xx)228
121222
k1k1
,
∴点
458
C(,)
mm
。
将点C的坐标代入曲线E的方程,的
8064
22
mm
1
,
得m4,但当m4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。
∴m4,C点的坐标为(5,2),
C到AB的距离为
5
(5)21
21
5
22
()1
2
3
,
∴△ABC的面积
11
S633。
23
一、抛物线
高考动向:
抛物线是高考每年必考之点,选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、
性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。
(一)知识归纳
方程2
y2px(p0)
22(0)
ypxp
22(0)
xpyp
22(0)
xpyp
y
y
yy
l
O
图形
x
F
OF
O
xx
F
F
O
x
ll
l
顶点(0,0)
对称x轴y轴
轴
焦点
pppp
F(,0)F(,0)F(0,)F(0,)
2222
离心e=1
率
准线
ppp
l:
xl:
xl:
yl:
y
222
p
2
(二)典例讲解
题型一抛物线的定义及其标准方程
方法思路:
求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论,标准
方程有时可设为
2
ymx或
2(0)
xmym。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
(1)抛物线的焦点是双曲线
22
16x9y144的左顶点;
(2)经过点A(2,-3);
(3)焦点在直线x-2y-4=0上;
(4)抛物线焦点在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,︱AF︱=5.
解:
(1)双曲线方程可化为
22
xy
916
1
,左顶点是(-3,0)
由题意设抛物线方程为
∴p=6.
p
22(0)
ypxp且3
2
,
∴方程为
212
yx
(2)解法一:
经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:
22
y=2px或x=-2py.
点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=
9
2
2
点A(2,-3)坐标代入x=-2py,即4=6p,得2p=
4
3
∴所求抛物线的标准方程是y2=
2=
9
2
2=-
x或x
4
3
y
解法二:
由于A(2,-3)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为
2
ymx或
2
xny,
代入A点坐标求得m=
9
2
,n=-
4
3
,
2
∴所求抛物线的标准方程是y
=
9
2
2
x或x
=-
4
3
y
(3)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0,-2),(4,0)。
∴焦点为(0,-2),(4,0)。
∴抛物线方程为
28
xy或
216
yx。
(4)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
22(0)
ypxp,A(m,-3),由抛物
线定义得
5
p
AFm,
2
又
2
(3)2pm,
∴p1或p9,
故所求抛物线方程为
22
yx或
218
yx。
题型二抛物线的几何性质
方法思路:
1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l的距离处
理,例如若P(x0,y0)为抛物线
22(0)
p
ypxp上一点,则PFx0。
2
2、若过焦点的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长ABx1x2p,x1x2可由
韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类
似得到。
【例6】设P是抛物线
24
yx上的一个动点。
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求PBPF的最小值。
解:
(1)抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x1。
∵P点到准线x1的距离等于P点到F(1,0)的距离,
∴问题转化为:
在曲线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与P到F(1,0)的距
离之和最小。
y
显然P是AF的连线与抛物线的交点,
最小值为AF5
(2)同理PF与P点到准线的距离相等,如图:
A
P
过B做BQ⊥准线于Q点,交抛物线与P1点。
∵
PQPF,
11
OFx
∴
PBPFPBPQBQ。
114
∴PBPF的最小值是4。
题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路:
函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y=x
2,动弦AB的长为2,求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一:
要求AB中点纵坐标最小值,可求出y1+y2的最小值,从形式上看变量较多,
结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底,这样使得中点纵坐标y成为中位线,可
以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一:
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)
由抛物线方程y=x2知焦点F(0,1)
2知焦点F(0,1)
4
准线方程
1
y,设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、
4
|BC1|、|MN|,则|AD1|+|BC1|=2|MN|,且
1
MN=2(y,+根据抛)物线的定义,有|AD1|=|AF|、
4
|BC1|=|BF|,∴
1
2(y+)
4
=|AF|+|BF|≥|AB|=2,
∴
1
2(y+)2
4
∴y
3
4
即点M纵坐标的最小值为
3
4
。
分析二:
要求AB中点M的纵坐标y的最小值,可列出y关于某一变量的函数,然后求
此函数的最小值。
2
解法二:
设抛物线y=x
上点A(a,a
2),B(b,b2),AB的中点为M(x,y),则
aba
x,y
2
2b
2
2
∵|AB|=2,∴(a―b)
2
+(a
22)=4,则(a+b)
―b
2
-4ab+(a
2
2)
+b
2
2b2
-4a=4
2222
则2x=a+b,2y=a+b,得ab=2x-y,∴4x―4(2x
22
―y)+4y―4(2x
2
―y)=4
整理得
yx
2
1
2
4x
1
y
1
4
2
(4x
1)
1
2
4x
1
1
4
2
1
4
1
4
1
1
4
3
4
即点M纵坐标的最小值为3/4。
练习:
2
1、以y=±x为渐近线的双曲线的方程是()
3
22=6B、9y22=36
22=1C、3y22=1D、9y
A、3y―2x―8x―2x―4x
【答案D】解析:
A的渐近线为
y=
2
3
x,B的渐近线为
y=
22
3
x
C的渐近线为
y=
2
3
x,只有D的渐近线符合题意。
2、若双曲线
221
xy的左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为2,则a+b的值为
()
A、
1
2
B、
1
2
C、2D、2
【答案A】解析:
∵P在双曲线上,
∴
221
ab即(a+b)(a-b)=1
又P(a,b)到直线y=x的距离为2
ab
∴2
2
且ab
即ab2
∴a+b=
1
2
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴,焦点在直线3x4y120上,那么抛物线
的方程是()
A、
216
yxB、
212
yx
C、
216
yxD、
212
yx
【答案C】解析:
令x=0得y=-3,令y=0得x=4,
∴直线3x4y120与坐标轴的交点为(0,-3),(4,0)。
∴焦点为(0,-3),(4,0)。
∴抛物线方程为
212
xy或
216
yx。
4、若抛物线y=
1
4
2
x上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标是
A.(4,±4)B.(±4,4)C.(
79
16
,±
79
8
)D.(±
79
8
,
79
16
)
【答案B】解析:
抛物线的焦点是(0,1),准线是y1,
P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
设P(x,y),则y=4,
∴x4y164
2
5、若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2x
取得最小值时点P的坐标是
(C)
的焦点,点P是抛物线上的一动点,则PAPF
1
A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(,1)
2
【答案C】解析:
抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x1。
∵P点到准线x1的距离等于P点到F(1,0)的距离,
∴问题转化为:
在曲线上求一点P,使点P到A(3,2)的距离与P到F(1,0)的距
离之和最小。
显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点,
∴P的坐标为(2,2)
6、已知A、B是抛物线
22(0)
ypxp上两点,O为坐标原点,若︱OA︱=︱OB︱,且
△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是()
A、x=pB、x=3pC、x=
3
2
pD、x=
5
2
p
【答案D】解析:
设A(
2
y
2p
,y),B(
2
y
2p
,-y),
∵F(p,0)是△AOB的垂心,
∴
yy
221
ypy
2p22p
整理得
252
yp
∴
25
y
xp
2p2
7、过点P(4,1),且与双曲线
22
xy
916
1
只有一个公共点的直线有条。
【答案】两条
解析:
因为P(4,1)位于双曲线的右支里面,故只有两条直线与双曲线有一个
公共点,分别与双曲线的两条渐近线平行。
这两条直线是:
4
y1(x4)和
3
4
y1(x4)
3
8、双曲线C与双曲线
2
x
2
21
y有共同的渐近线,且过点A(2,-2),则C的两条准线之间
的距离为。
26
【答案】
3
解析:
设双曲线C的方程为
2
x
2
2(0)
ykk,
将点A代入,得k=-2。
故双曲线C的方程为:
22
yx
24
1
∴a2,b=2,c6
所以两条准线之间的距离是
2
2a26
c3
。
9、已知抛物线
22(0)
ypxp,一条长为4P的弦,其两个端点在抛物线上滑动,则此弦
中点到y轴的最小距离是
【答案】
3
2
p
解析:
设动弦两个端点为A、B,中点为C,作AA’,BB’,CC’垂直于准线的垂线,垂
足分别为A’、B’、C’,连接AF、BF,由抛物线定义可知,︱AF︱=︱AA’︱,
︱BF︱=︱BB’︱
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线
∴︱CC′︱=
1
2
(AA')BB')=
1
2
(AF)BF)
1
2
AB=2p
当AB经过点F时取等号,所以C点到y轴的距离最小值为
2p-
p3
22
p。
10、抛物线
212
yx的一条弦的中点为M(2,3),则此弦所在的直线方程是。
【答案】2x-y+1=0
解析:
设此弦所在的直线l方程为y3k(x2),
l与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x24
将l的方程代入抛物线方程整理得
22(42612)(23)20
kxkkxk
由韦达定理得
2
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