高中数学基础知识与练习题.docx
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高中数学基础知识与练习题
第一讲集合与逻辑用语
第1节 集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:
属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集
合A的补集为∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
★练习
1.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁RA)∩B=________.
2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B等于( )
A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)
4.(2015·浙江卷)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q等于( )
A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]
一、选择题
1.(2015·安徽卷)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁UB)等于( )
A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}
2.(2015·南昌监测)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
3.(2015·长春监测)已知集合P={x|x≥0},Q=,则P∩Q等于( )
A.(-∞,2)B.(-∞,-1]C.[0,+∞)D.(2,+∞)
4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A={x|-1<x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于( )
A.{2}B.{1,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}
5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
6.(2014·宜春检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是( )
A.P⊆QB.Q⊆PC.P=QD.P∪Q=R
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
★练习
1.(2015·山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
2(2015·安徽卷)设p:
x<3,q:
-1 A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.(2015·浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.下列命题: ①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件; ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sinα=sinβ是α=β的充要条件;④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是__________(填序号). 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 2.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 3.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题 4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 5.“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”). 6.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________. 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断 p q P且q P或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有: “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 3.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定为: 非p且非q;p且q的否定为: 非p或非q. ★练习 1.(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是( ) A.任意x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.任意x∉(0,+∞),lnx=x-1 C.存在x∈(0,+∞),lnx≠x-1D.存在x∉(0,+∞),lnx=x-1 2..若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·抚州二检)若p是真命题,q是假命题,则( ) A.p且q是真命题B.p或q是假命题 C.非p是真命题D.非q是真命题 2..命题“存在实数x,使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1 3.下列四个命题 p1: 存在x∈(0,+∞),x<x;p2: 存在x∈(0,1), ; p3: 任意x∈(0,+∞),x> ;p4: 任意x∈,x< . 其中真命题是( ) A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 第二讲函数概念与函数基本性质 第1节 函数及其表示 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f: A→B或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是: 定义域、值域和对应关系. (3)表示函数的常用方法有: 解析法、列表法和图像法. (4)分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数. 分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 2.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ,n∈N* f(x)≥0 与[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x) f(x)>0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 ★练习 1.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x 2.(2015·重庆卷)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1]B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 3.(2015·陕西卷)设f(x)=则f(f(-2))等于( ) A.-1B.C.D. 基础巩固题组 一、选择题 1.下图中可作为函数y=f(x)的图象的是( ) 2.下列函数中,与函数y=的定义域相同的函数为( ) A.y=B.y=C.y=xexD.y= 3.设函数f(x)=则f(f(3))等于( ) A.B.3C.D. 4..某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) A.y=B.y=C.y=D.y= 二、填空题 6.函数f(x)=的定义域为________. 7.已知函数f(x)=则方程f(x)=1的解为________. 第2节 函数的单调性与最大(小)值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是增加的 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是减少的 续表 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)函数单调性的两种等价形式: 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 ①>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. (3)单调区间的定义: 如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间. 2.函数的最值 前提 函数y=f(x)的定义域为D 条件 (1)对于任意x∈D,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈D,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈D,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 ★练习 1.(2015·宜春调研)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( ) A.y=-xB.y=x2-xC.y=lnx-xD.y=ex-x 2.数f(x)=lgx2的单调递减区间是______. 3f(x)=,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·九江模拟)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( ) A.y=log2xB.y=x C.y=-D.y= 2.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是( ) A.B.C.D. 3.函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( ) A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 二、填空题 4.(2015·中山质检)y=-x2+2|x|+3的单调增区间为________. 5.已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为________. 第3节 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数、偶函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数. 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数. ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. 3.周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),就把f(x)称为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. ★练习 1.(2015·广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin2xB.y=x2-cosxC.y=2x+D.y=x2+sinx 2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( ) A.-B.C.D.- 3.(2014·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________. 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·吉安二检)下列函数为偶函数的是( ) A.y=sinxB.y=ln(-x)C.y=exD.y=ln 2.(2015·石家庄模拟)设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x, 则f(-)=( ) A.-B.C.2D.-2 3.(2014·福建卷)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞) 4.(2015·沈阳质量监测)已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=( ) A.B.-C.D.- 二、填空题 5.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=________. 第三讲基本初等函数及其性质 第1节 二次函数性质的再研究与幂函数 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: ①一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).③零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x=-对称 2.幂函数 (1)幂函数的定义“”如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数称为幂函数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 特征函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x∈R, 且x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R, 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (-∞,0]减, [0,+∞)增 增 增 (-∞,0)减, (0,+∞)减 定点 (0,0),(1,1) (1,1) ★课前练习 1.函数y=x2-5x+1的对称轴和顶点坐标分别是( ) A.x=5,B.x=-5,C.x=5,D.x=-5, 2.已知f(x)=x2+px+q满足f (1)=f (2)=0,则f(-1)的值是( ) A.5B.-5C.6D.-6 3.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax+的图象可能是( ) 4.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为________;在区间________上递减. 基础巩固题组 一、选择题 1.二次函数y=-x2+4x+t图象的顶点在x轴上,则t的值是( ) A.-4B.4C.-2D.2 2.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( ) A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-a C.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a 3.(2015·汉中模拟)如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a满足的条件是( ) A.a≥8B.a≤8C.a≥4D.a≥-4 4若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( ) A.-B.-C.cD. 5..已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数. 第2节 指数与指数函数 1.根式: (1)概念: 式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质: ()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a, 当n为偶数时,=|a|= 2.分数指数幂 (1)规定: 正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质: aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 3.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 ★课前练习 1.下列运算中,正确的是( ) A.a2·a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6 2.(2015·山东卷)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( ) A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a 3.已知0≤x≤2,则y=4x--3·2x+5的最大值为______. 基础巩固题组 一、选择题 1.函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点( ) A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2) 2.函数f(x)=的定义域是( ) A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞) 3..函数y=(0<a<1)的图象的大致形状是( ) 4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f (1)=,则f(x)的单调递减区间是( ) A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2] 二、填空题 5.+log3+log3=________. 6.已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是________. 第三节 对数与对数函数 1.对数的概念 一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质①alogaN=N;②logaaN=N(a>0,且a≠1);③零和负数没有对数. (2)对数的运算性质(a>0,且a≠1,M>0,N>0) ①loga(M·N)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)对数的重要公式 ①换底公式: logbN=(a,b均大于零且不等于1);②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad. 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 ★练习 1.函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( ) A.(1,0)B.(1,-2)C.(-1,-2)D.(-1,-1) 2.(2015·浙江卷)计算: log2=______;2log23+log43=______. 3.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 4.若loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 2.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ) 3.已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是(
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