高考数学一轮复习52向量的数量积教案.docx
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高考数学一轮复习52向量的数量积教案
2019-2020年高考数学一轮复习5.2向量的数量积教案
●知识梳理
1.数量积的概念:
(1)向量的夹角:
如下图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)数量积的定义:
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
(3)数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.数量积的性质:
设e是单位向量,〈a,e〉=θ.
(1)e·a=a·e=|a|cosθ.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别地,a·a=|a|2,或|a|=.
(3)a⊥ba·b=0.
(4)cosθ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.
3.运算律:
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.向量数量积的坐标运算:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a·b=x1x2+y1y2;
(2)|a|=;
(3)cos〈a,b〉=;
(4)a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
思考讨论
(a·b)c与a(b·c)是否相等?
●点击双基
1.(xx年全国Ⅰ,3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于
A.B.C.D.4
解析:
|a+3b|====.
答案:
C
2.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是
A.2B.4C.6D.12
解析:
(a+2b)·(a-3b)=|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,∴|a|2-2|a|-24=0.∴(|a|-6)·(|a|+4)=0.∴|a|=6.
答案:
C
3.已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是
A.λ>B.λ≥
C.λ<D.λ≤
解析:
∵a与b的夹角为钝角,∴cos〈a,b〉<0.
∴a·b<0.∴-3λ+10<0.∴λ>.
答案:
A
4.(xx年上海,6)(理)已知点A(1,-2),若向量与a=(2,3)同向,||=2,则点B的坐标为____________.
解析:
设A点坐标为(xA,yA),B点坐标为(xB,yB).
∵与a同向,∴可设=λa=(2λ,3λ)(λ>0).
∴||==2,∴λ=2.
则=(xB-xA,yB-yA)=(4,6),
∴∵∴∴B点坐标为(5,4).
答案:
(5,4)
(文)已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为____________.
解析:
设B点坐标为(xB,yB),则=(xB+1,yB+5)=3a=(6,9),
∴∴∴B(5,4).
答案:
(5,4)
●典例剖析
【例1】判断下列各命题正确与否:
(1)若a≠0,a·b=a·c,则b=c;
(2)若a·b=a·c,则b≠c当且仅当a=0时成立;
(3)(a·b)c=a(b·c)对任意向量a、b、c都成立;
(4)对任一向量a,有a2=|a|2.
剖析:
(1)
(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a2转化成a·a=|a|2可判断.
解:
(1)a·b=a·c,∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b,a与c的夹角).∵|a|≠0,∴|b|cosα=|c|cosβ.
∵cosα与cosβ不一定相等,∴|b|与|c|不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴
(1)不正确.
(2)若a·b=a·c,则|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α、β为a与b,a与c的夹角).
∴|a|(|b|cosα-|c|cosβ)=0.
∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.
当b≠c时,|b|cosα与|c|cosβ可能相等.
∴
(2)不正确.
(3)(a·b)c=(|a||b|cosα)c,
a(b·c)=a|b||c|cosθ(其中α、θ分别为a与b,b与c的夹角).
(a·b)c是与c共线的向量,
a(b·c)是与a共线的向量.
∴(3)不正确.(4)正确.
评述:
判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义,向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.
【例2】平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点X为直线OP上的一个动点.
(1)当·取最小值时,求的坐标;
(2)当点X满足
(1)的条件和结论时,求cos∠AXB的值.
剖析:
因为点X在直线OP上,向量与共线,可以得到关于坐标的一个关系式,再根据·的最小值,求得的坐标,而cos∠AXB是与夹角的余弦,利用数量积的知识易解决.
解:
(1)设=(x,y),
∵点X在直线OP上,∴向量与共线.
又=(2,1),∴x-2y=0,即x=2y.
∴=(2y,y).又=-,=(1,7),∴=(1-2y,7-y).
同样=-=(5-2y,1-y).
于是·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.
∴当y=2时,·有最小值-8,此时=(4,2).
(2)当=(4,2),即y=2时,有=(-3,5),=(1,-1).
∴||=,||=.
∴cos∠AXB==-.
评述:
(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决,因此解题关键在于寻找变量,以构造函数.而
(2)中即为数量积定义的应用.
【例3】已知向量、、满足++=0,||=||=||=1.
求证:
△P1P2P3是正三角形.
剖析:
由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圆的圆心,要证△P1P2P3是正三角形,只需证∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可,即需求与,与,与的夹角.由++=0变形可出现数量积,进而求夹角.
证明:
∵++=0,∴+=-.∴|+|=|-|.
∴||2+||2+2·=||2.
又∵||=||=||=1,∴·=-.
∴||||cos∠P1OP2=-,
即∠P1OP2=120°.
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°.
∴△P1P2P3为等边三角形.
评述:
解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积,进而求夹角.
深化拓展
本题也可用如下方法证明:
以O点为坐标原点建立直角坐标系,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),
则=(x1,y1),=(x2,y2),=(x3,y3).
由++=0,
得∴
由||=||=||=1,得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.
∴2+2(x1x2+y1y2)=1.
∴||=
=
==.
同理||=,||=.
∴△P1P2P3为正三角形.
●闯关训练
夯实基础
1.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为
A.B.C.D.
解析:
a在b方向上的投影为===.
答案:
C
2.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(b)=-36,则a与b的夹角是
A.60°B.120°C.135°D.150°
解析:
由(3a)·(b)=-36得a·b=-60.
∴cos〈a,b〉==-.
又0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.
答案:
B
3.若向量c垂直于向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),则
A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,也不垂直于dD.以上三种情况均有可能
解析:
∵c⊥a,c⊥b,∴c·a=0,c·b=0.
∴c·d=c·(λa+μb)=c·(λa)+c·(μb)=λc·a+μc·b=0.
答案:
B
4.给出下列命题:
①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知a、b、c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;
③在△ABC中,a=5,b=8,c=7,则·=20;
④a与b是共线向量a·b=|a||b|.
其中真命题的序号是_______.(请把你认为是真命题的序号都填上)
解析:
①a2+b2=0,∴|a|=-|b|.又|a|≥0,|b|≥0,∴|a|=|b|=0.∴a=b=0.∴①正确.
②a+b=0,∴a=-b,|a·c|=|a||c||cos〈a,c〉|,|b·c|=|b||c||cos〈b,c〉|=|a||c||cos〈-a,c〉|=
|a||c||cos(π-〈a,c〉)|=|a||c||cos〈a,c〉|.∴②正确.
③cosC===.
·=||||cos(π-C)=5×8×(-)=-20.∴③不正确.
④a与b是共线向量a=λb(b≠0)a·b=λb2,而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|2.
∴④不正确.
答案:
①②
5.已知|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时,λ的取值范围.
解:
a+λb与λa+b的夹角为锐角,即(a+λb)·(λa+b)>0,
也就是λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,即2λ+(λ2+1)··3·+9λ>0,
解得λ<或λ>.
6.如下图,以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB,使∠B=90°.
求点B和向量的坐标.
分析:
这里关键是求出B点的坐标,设B(x,y),由⊥和||=||,则可列出x、y的方程组.
解:
设B点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2).
∵⊥,∴x(x-5)+y(y-2)=0,即x2+y2-5x-2y=0.①
又||=||,∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,即10x+4y=29.②
解①②得
或
∴B点坐标为(,-)或(,).
故=(-,-)或=(-,)
培养能力
7.(xx年浙江,14)(理)已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于_______.
解析:
∵||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形,其中∠B=90°.
∴·+·+·=0+||||cos(π-∠C)+||||cos(π-∠A)=-25.
答案:
-25
(文)已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=,则·+·+·的值等于_________.
解析:
∵||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形且∠C=90°.
∴·+·+·=||||cos(π-∠B)+0+||||cos(π-∠A)=-4.
答案:
-4
8.已知F1(-1,0),F2(1,0),A(,0),动点P满足3·+·=0.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)是否存在点P,使PA成为∠F1PF2的平分线?
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=(-x,-y).
∴·=(-1-x)(-x)+(-y)2=(x+1)(x-)2+y2,
·=(1-x)·(-x)+(-y)2=(x-1)(x-)+y2.
∴3[(x+1)(x-)+y2]+(x-1)(x-)+y2=0.
∴x2+y2=即为P点的轨迹方程.
(2)设存在,则cos∠F1PA=cos∠APF2.∴.
将条件3·=-·代入上式不成立.∴不存在.
探究创新
9.已知平面向量a=(,-1),b=(,),
(1)证明:
a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t);
(3)据
(2)的结论,确定函数k=f(t)的单调区间.
(1)证明:
a·b=×+(-1)×=0.
(2)解:
∵x⊥y,∴x·y=0,且a·b=0,a2=4,b2=1,整理得-4k+t(t2-3)=0,
∴k=t(t2-3).
(3)解:
记f(t)=(t3-3t),∴(t)=t2-.令(t)>0得t<-1或t>1.因此,当t∈(-∞,-1)时,f(t)是增函数;当t∈(1,+∞)时,f(t)也是增函数.再令(t)<0,得-1<t<1,故t∈(-1,1)时,f(t)是减函数.
●思悟小结
1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点,用数量积处理向量垂直问题,向量的长度、角度问题是难点.
2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算,它是向量与向量的运算,结果却是一个数量,所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示.
3.向量a与b的夹角:
(1)当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角;
(2)0°≤〈a,b〉≤180°;(3)cos〈a,b〉==.
●教师下载中心
教学点睛
1.本课时复习的重点是:
平面向量的数量积及其几何意义,掌握向量垂直的条件,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.
2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算,它是向量与向量的运算,结果却是一个数量.
3.要让学生掌握向量的夹角的含义.要会用cosθ=或cosθ=求两向量的夹角.
拓展题例
【例题】在△ABC中,
(1)若=a,=b,求证:
S△ABC=;
(2)若=(a1,a2),=(b1,b2),求证:
△ABC的面积S△=|a1b2-a2b1|.
证明:
(1)设a、b的夹角为θ,△ABC的面积S△=||||sinθ=|a||b|sinθ.
∵sin2θ=1-cos2θ=1-()2,
∴S△2=(|a||b|)2sin2θ=(|a||b|)2[1-()2]=[(|a||b|)2-(a·b)2].
∴S△=.
(2)记=a,=b,则a=(a1,a2),b=(b1,b2).∴|a|2=a12+a22,|b|2=b12+b22,
|a·b|2=(a1b1+a2b2)2.
由
(1)可知S△=
=
=,
∴S△=|a1b2-a2b1|.
评述:
(1)是用数量积给出的三角形的面积公式;
(2)是用向量坐标给出的三角形的面积公式.
2019-2020年高考数学一轮复习6.4不等式的解法
(一)教案
●知识梳理
1.一元一次不等式的解法.
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式.
当a>0时,解集为{x|x>};当a<0时,解集为{x|x<}.
2.一元二次不等式的解法.
任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax2+bx+c>0(或<0)(其中a>0)的形式,再根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.
3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.
思考讨论
用“数轴标根法”解高次、分式不等式时,对于偶次重根应怎样处理?
●点击双基
1.(xx年全国Ⅳ,5)不等式<0的解集为
A.{x|x<-2或0<x<3}B.{x|-2<x<0或x>3}
C.{x|x<-2或x>0}D.{x|x<0或x>3}
解析:
在数轴上标出各根.
答案:
A
2.(xx年北京)若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a等于
A.8B.2C.-4D.-8
解析:
由|ax+2|<6得-6<ax+2<6,
即-8<ax<4.∵不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),易检验a=-4.
答案:
C
3.(xx年重庆市诊断性考试题)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是
A.(1,4)B.(-1,2)
C.(-∞,1]∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:
由题意知f(0)=-1,f(3)=1.又|f(x+1)|<1-1<f(x+1)<1,
即f(0)<f(x+1)<f(3).
又f(x)为R上的增函数,∴0<x+1<3.∴-1<x<2.
答案:
B
4.(理)(xx年山东潍坊市第二次模拟考试题)不等式x2-|x-1|-1≤0的解集为____________.
解析:
当x-1≥0时,原不等式化为x2-x≤0,解得0≤x≤1.∴x=1;
当x-1<0时,原不等式化为x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.∴-2≤x<1.
综上,x≥-2.
答案:
{x|-2≤x≤1}
(文)不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解集为{x|1<x<2},则a+b=_______.
解析:
∵ax2+(ab+1)x+b>0的解集为{x|1<x<2},
∴
解得或∴a+b=-或-3.
答案:
-或-3
5.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},则不等式ax2-bx+c>0的解集为_______.
解析:
令f(x)=ax2+bx+c,其图象如下图所示,
再画出f(-x)的图象即可.
答案:
{x|-3<x<-2}
●典例剖析
【例1】解不等式<-1.
剖析:
这是一个分式不等式,其左边是两个关于x的多项式的商,而右边是非零常数,故需移项通分,右边变为零,再利用商的符号法则,等价转化成整式不等式组.
解:
原不等式变为+1<0,
即<0
-1<x<1或2<x<3.
∴原不等式的解集是{x|-1<x<1或2<x<3}.
【例2】求实数m的范围,使y=lg[mx2+2(m+1)x+9m+4]对任意x∈R恒有意义.
剖析:
mx2+2(m+1)x+9m+4>0恒成立的含义是该不等式的解集为R.故应
解:
由题意知mx2+2(m+1)x+9m+4>0的解集为R,则
解得m>.
评述:
二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的条件:
若未说明是二次不等式还应讨论a=0的情况.
思考讨论
本题若要使值域为全体实数,m的范围是什么?
提示:
对m分类讨论,m=0适合.
当m≠0时,解m即可.
【例3】若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立,求x的取值范围.
剖析:
对于m∈[-2,2],不等式2x-1>m(x2-1)恒成立,把m视为主元,利用函数的观点来解决.
解:
原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0.
令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).
则
解得<x<.
深化拓展
1.本题若变式:
不等式2x-1>m(x2-1)对一切-2≤x≤2都成立,求m的取值范围.
2.本题若把m分离出来再求m的范围能行吗?
●闯关训练
夯实基础
1.(xx年重庆,4)不等式x+>2的解集是
A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解法一:
x+>2x-2+>0>0x(x-1)(x+1)>0-1<x<0或x>1.
解法二:
验证,x=-2、不满足不等式,排除B、C、D.
答案:
A
2.设f(x)和g(x)都是定义域为R的奇函数,不等式f(x)>0的解集为(m,n),不等式g(x)>0的解集为(,),其中0<m<,则不等式f(x)·g(x)>0的解集是
A.(m,)B.(m,)∪(-,-m)
C.(,)∪(-n,-m)D.(,)∪(-,-)
解析:
f(x)、g(x)都是定义域为R的奇函数,f(x)>0的解集为(m,n),g(x)>0的解集为(,).
∴f(-x)>0的解集为(-n,-m),g(-x)>0的解集为(-,-),
即f(x)<0的解集为(-n,-m),g(x)<0的解集为(-,-).
由f(x)·g(x)>0得或.又0<m<,
∴m<x<或-<x<-m.
答案:
B
3.若关于x的不等式-x2+2x>mx的解集为{x|0<x<2},则实数m的值为_______.
解析:
由题意,知0、2是方程-x2+(2-m)x=0的两个根,∴-=0+2.∴m=1.
答案:
1
4.(xx年浙江,13)已知f(x)=则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是____________.
解析:
当x+2≥0,即x≥-2时.x+(x+2)f(x+2)≤5
2x+2≤5x≤.∴-2≤x≤.
当x+2<0即x<-2时,x+(x+2)f(x+2)≤5
x+(x+2)·(-1)≤5-2≤5,∴x<-2.
综上x≤.
答案:
(-∞,]
5.(xx年宣武二模题)定义符号函数sgnx=
当x∈R时,解不等式(x+2)>(2x-1)sgnx.
解:
当x>0时,原不等式为x+2>2x-1.∴0<x<3.
当x=0时,成立.
当x<0时,x+2>.x-+2>0.
>0.>0.∴-<x<0.
综上,原不等式的解集为{x|-<x<3}.
6.(xx年北京西城区一模题)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解:
原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
①a=0时,x≤-1;
②a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0,
当a>0时,x≥或x≤-1;
由于-(-1)=,于是
当-2<a<0时,≤x≤-1;
当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤.
综上,当a=0时,x≤-1;当a>0时,x≥或x≤-1;当-2<a<0时,≤x≤-1;
当a=-2时,x=-1;当a<-2时,-1≤x≤.
培养能力
7.(xx年春季安徽)解关于x的不等式loga3x<3logax(a>0,且a≠1).
解:
令y=logax,则原不等式化为y3-3y<0,解得y<-或0<y<,
即logax<-或0<logax<.
当0<a<1时,不等式的解集为{x|x>a}∪{x|a<x<1};
当a>1时,不等式的解集为{x|0<x<a}∪{x|1<x<a}.
8.有点难度哟!
(xx年天津质量检测题)已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,求实数a的值,并解该不等式.
解:
∵x≤3,∴|x-3|=3-x.
若x2-4x+a<0,则原不等式化为x2-3x+a+2≥0.
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集,∴x2-4x+a<0不成立.
于是,x2-4x+a≥0,则原不等式化为x2-5x+a-2≤0.∵x≤3,
令x2-5x+a-2=(x-3)(x-m)=x2-(m+3)x+3m,比较系数,得m=2,∴a=8.
此时,原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.
探究创新
9.关于x的不等式的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.
解:
由x2-x-2>0可得x<-1或x>2.
∵的整数解为x=-2,
又∵方程2x2+(2k+5)x+5k=0的两根为-k和-.
①若-k<-,则不等式组的整数解集合就不可能为{-2};
②若-<-k,则应有-2<-k≤3.
∴-3≤k<2.
综上,所求k的取值范围为-3≤k<2.
●思悟小结
1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.
2.解分式不等式要使一边为零,转化为不等式组.如果能分解,可用数轴标根法或列表法.
3.解高次不等式的思路是降低次数,利用数轴标根法求解较为容易.
4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论,能避免讨论的应设法避免讨论.
●教师下载中心
教学点睛
1.解不等式的过程,实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.
2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解,这体现了转化与化归的数学思想.
3.解不等式几乎是每年高考的必考题,重点仍是含参数的有关不等式,对字母参数的逻辑划分要具体问题具体
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- 高考 数学 一轮 复习 52 向量 数量 教案