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高中数学竞赛教案讲义3函数
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(3)函数
一、基础知识
定义1映射,对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f:
A→B为一个映射。
定义2单射,若f:
A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。
定义3满射,若f:
A→B是映射且对任意y∈B,都有一个x∈A使得f(x)=y,则称f:
A→B是A到B上的满射。
定义4一一映射,若f:
A→B既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射,记作f-1:
A→B。
定义5函数,映射f:
A→B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。
A称为它的定义域,若x∈A,y∈B,且f(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x的象,x叫y的原象。
集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。
通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6反函数,若函数f:
A→B(通常记作y=f(x))是一一映射,则它的逆映射f-1:
A→B叫原函数的反函数,通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是:
在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后将x,y互换得y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如:
函数y=的反函数是y=1-(x0).
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。
定义7函数的性质。
(1)单调性:
设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1
(2)奇偶性:
设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,若对于任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
(3)周期性:
对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T0,则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8如果实数aa}记作开区间(a,+∞),集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a].
定义9函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象,其中D为f(x)的定义域。
通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);
(1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象;
(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象;(3)向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象;(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;(5)与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:
“同增异减”。
例如y=,u=2-x在(-∞,2)上是减函数,y=在(0,+∞)上是减函数,所以y=在(-∞,2)上是增函数。
注:
复合函数单调性的判断方法为同增异减。
这里不做严格论证,求导之后是显然的。
二、方法与例题
1.数形结合法。
例1求方程|x-1|=的正根的个数.
例2求函数f(x)=
的最大值。
2函数性质的应用。
例3设x,y∈R,且满足
,求x+y.
例4奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范围。
例5设f(x)是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时,f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式。
例6解方程:
(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
3.配方法。
例7求函数y=x+的值域。
4.换元法。
例8求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
5.判别式法。
例9求函数y=的值域。
6.关于反函数。
例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。
若f(x)在(-∞,+∞)上递增,求证:
y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。
例11设函数f(x)=,解方程:
f(x)=f-1(x).
三、基础训练题
1.已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},映射f:
X→Y满足:
对任意的x∈X,它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。
2.给定A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射f:
X→Y,若f为单射,则f有_______个;若f为满射,则f有_______个;满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个。
3.若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有_______个交点。
4.函数y=f(x)的值域为[],则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5.已知f(x)=,则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6.已知f(x)=|x+a|,当x≥3时f(x)为增函数,则a的取值范围是_______。
7.设y=f(x)在定义域(,2)内是增函数,则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
8.若函数y=(x)存在反函数y=-1(x),则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9.函数f(x)满足=1-,则f()=_______。
10.函数y=,x∈(1,+∞)的反函数是_______。
11.求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定义在R上,对任意x∈R,f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函数,又当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1.已知a∈,f(x)定义域是(0,1],则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。
2.设0≤a<1时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。
则f(x)定义域为_______。
3.映射f:
{a,b,c,d}→{1,2,3}满足10 4.设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R,且为增函数,若方程f(x)=x解集为P,f[f(x)]=x解集为Q,则P,Q的关系为: P_______Q(填=、、)。 5.下列函数是否为奇函数: (1)f(x)=(x-1); (2)g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=;(4)y= 6.设函数y=f(x)(x∈R且x0),对任意非零实数x1,x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又f(x)在(0,+∞)是增函数,则不等式f(x)+f(x-)≤0的解集为_______。 7.函数f(x)=,其中P,M为R的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M},给出如下判断: ①若P∩M=,则f(P)∩f(M)=;②若P∩M,则f(P)∩f(M);③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;④若P∪MR,则f(P)∪f(M)R.其中正确的判断是_______。 8.函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1),并且f (1)=3997,则f(xx)=_______。 9.已知y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。 求f(x)的解析式。 10.设a>0,函数f(x)定义域为R,且f(x+a)=,求证: f(x)为周期函数。 11.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α,β(α<β),已知函数f(x)=, (1)求f(α)、f(β); (2)求证: f(x)在[α,β]上是增函数;(3)对任意正数x1,x2,求证: <2|α-β|. 五、联赛一试水平训练题 1.奇函数f(x)存在函数f-1(x),若把y=f(x)的图象向上平移3个单位,然后向右平移2个单位后,再关于直线y=-x对称,得到的曲线所对应的函数是________. 2.若a>0,a1,F(x)是奇函数,则G(x)=F(x)是________(奇偶性). 3.若=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)=;③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数f: R→R满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=________. 5.已知f(x)是定义在R上的函数,f (1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。 若g(x)=f(x)+1-x,则g(xx)=________. 6.函数f(x)=的单调递增区间是________. 7.函数f(x)=的奇偶性是: ________奇函数,________偶函数(填是,非)。 8.函数y=x+的值域为________. 9.设f(x)=, 对任意的a∈R,记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]},试求V(a)的最小值。 10.解方程组: (在实数范围内) 11.设k∈N+,f: N+→N+满足: (1)f(x)严格递增; (2)对任意n∈N+,有f[f(n)]=kn,求证: 对任意n∈N+,都有n≤f(n)≤ 六、联赛二试水平训练题 1.求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足: (1)对任意x≠0,f(x)=x·f; (2)对所有的x≠-y且xy≠0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设f(x)对一切x>0有定义,且满足: (ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意x>0,f(x)f=1,试求f (1). 3.f: [0,1]→R满足: (1)任意x∈[0,1],f(x)≥0; (2)f (1)=1;(3)当x,y,x+y∈[0,1]时,f(x)+f(y)≤f(x+y),试求最小常数c,对满足 (1), (2),(3)的函数f(x)都有f(x)≤cx. 4.试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0,y>0)的最小值。 5.对给定的正数p,q∈(0,1),有p+q>1≥p2+q2,试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。 6.已知f: (0,1)→R且f(x)= . 当x∈时,试求f(x)的最大值。 7.函数f(x)定义在整数集上,且满足f(n)= ,求f(100)的值。 8.函数y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。 (1)求证: 方程f(x)=x恰有一个解; (2)试给出一个具有上述性质的函数。 9.设Q+是正有理数的集合,试构造一个函数f: Q+→Q+,满足这样的条件: f(xf(y))=x,y∈Q+. 2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(4)几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质: 形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当01时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。 2分数指数幂: 。 3.对数函数及其性质: 形如y=logax(a>0,a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。 4.对数的性质(M>0,N>0); 1)ax=Mx=logaM(a>0,a1); 2)loga(MN)=logaM+logaN; 3)loga()=logaM-logaN;4)logaMn=nlogaM;, 5)loga=logaM;6)alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1). 5.函数y=x+(a>0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。 (请读者自己用定义证明) 6.连续函数的性质: 若a 则f(x)=0在(a,b)上至少有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例1已知a,b,c∈(-1,1),求证: ab+bc+ca+1>0. 例2(柯西不等式)若a1,a2,…,an是不全为0的实数,b1,b2,…,bn∈R,则()·()≥()2,等号当且仅当存在R,使ai=,i=1,2,…,n时成立。 例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2],求u=的最小值。 2.指数和对数的运算技巧。 例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16(p+q),求的值。 例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w,且,求证: a+b=c. 例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)logab. 例7解方程: 3x+4x+5x=6x. 例8解方程组: (其中x,y∈R+). 例9已知a>0,a1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。 三、基础训练题 1.命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q: “x+y≥0”的_________条件。 2.如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,则x1+x2=_________. 3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。 4.若log2a<0,则a取值范围是_________。 5.命题p: 函数y=log2在[2,+∞)上是增函数;命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件。 6.若00且a1,比较大小: |loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。 8.若x= ,则与x最接近的整数是_________。 9.函数的单调递增区间是_________。 10.函数f(x)=的值域为_________。 11.设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。 12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解? 四、高考水平训练题 1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________. 2.已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是_________. 3.若x∈{x|log2x=2-x},则x2,x,1从大到小排列是_________. 4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=_________. 5.命题p: 函数y=log2在[2,+∞)上是增函数;命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件. 6.若00且a1,比较大小: |loga(1-b)|_________|loga(1+b)|. 7.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 8.若x= ,则与x最接近的整数是_________. 9.函数y=的单调递增区间是_________. 10.函数f(x)=的值域为_________. 11.设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R。 若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。 12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解? 四、高考水平训练题 1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________. 2.已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是________. 3.若x∈{x|log2x=2-x},则x2,x,1从大到小排列是________. 4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范围是________. 5.已知an=logn(n+1),设,其中p,q为整数,且(p,q)=1,则p·q的值为_________. 6.已知x>10,y>10,xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数k的取值范围是________. 8.函数f(x)=的定义域为R,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,则b,c应满足的充要条件是________. (1)b<0且c>0; (2)b>0且c<0;(3)b<0且c=0;(4)b≥0且c=0。 9.已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),则F(x)是________函数(填奇偶性). 10.已知f(x)=lg,若=1,=2,其中|a|<1,|b|<1,则f(a)+f(b)=________. 11.设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
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