数学分析IIIIII.docx
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数学分析IIIIII
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
数学分析
MathematicalAnalysis
课程代码
0751********0751021012030751********
课程属性
学科基础
课时/学分
96+96+64/6+6+4
课程性质
必修
实践学时
责任教师
张若军张宁魏常果
王学锋王建石岩月
课外学时
192+192+128
课程属性:
学科基础
课程性质:
必修
一、课程介绍
1.课程描述:
数学分析是以极限为工具研究函数的学科,是数学专业的一门重要基础课,共分三个学期讲授。
数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设,它一方面为后继课程提供所需的基础知识,同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法,对后继课程的学习具有关键性的作用。
通过本课程的学习,要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算,并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。
本课程主要内容包括:
数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。
数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。
数学分析III——多元函数的偏导数和全微分,极值和条件极值,隐函数存在定理,含参量的积分和含参量的反常积分,多元函数各种积分的定义、性质和运算,场论初步。
2.设计思路:
本课程是专业基础课,为数学专业一二年级新生设置,教学历时3个学期,教学内容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。
课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。
课程内容主要包括三大模块:
单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论;三大模块相互联系,体现了数学分析研究的基本内容和方法。
单变量微积分学是数学分析中最基础的部分,内容是研究函数的微分、积分及其应用,重用极限与连续的工具。
主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。
多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上,将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。
内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。
级数理论也是以单变量微积分学为基础的,包括数项项级、函数项级数两部分。
主要内容有数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换。
3.课程与其他课程的关系:
数学分析I
先修课程:
无;
并行课程:
高等代数I,空间解析几何;
后置课程:
数学分析II,高等代数II;
数学分析II
先修课程:
数学分析I,高等代数I,空间解析几何;
并行课程:
高等代数II;
后置课程:
数学分析III;
数学分析III
先修课程:
数学分析I、II,高等代数I、II,空间解析几何;
并行课程:
常微分方程;
后置课程:
复变函数,实变函数,泛函分析,数学分析实践。
本课程与常微分方程、复变函数,实变函数,泛函分析等课程构成了分析学系列课程群,研究的对象和使用的研究方法各不相同,但联系非常密切。
二、课程目标
本课程目标是为数学类专业一二年级学生打下数学专业学习的坚实基础,在学生掌握本专业必备的知识储备的同时,引导并培养学生具备一定的利用数学语言和数学思维来描述和解决实际问题的能力,逐步提高数学素养。
本课程学习结束,综合学生的知识、能力和素质,应能达到以下几个方面:
(1)熟悉本课程的研究内容和目的、掌握课程常用的方法与技巧,理解高等数学与初等数学的区别,尤其要清楚无限和连续等本课程的重要概念。
(2)提高数学理论分析能力,理解极限存在定理、实数基本定定理、定积分存在理论、傅立叶收敛定理等本课程中的重要理论,并利用这些理论进行分析证明。
(3)熟练本课程涉及的基本计算,如,一元函数的导数、微分、积分;多元函数的偏导数、全微分、各种积分;级数的求和等等。
(4)学会用变量数学的眼光看待和解决许多实际问题。
能够较为深入理解本课程所表达的精神、思想与方法,独立思考及提出和解决问题的能力有较大的提升。
三、学习要求
要完成所有的课程任务,学生必须:
(1)课前预习,上课认真听讲,记录课堂笔记;积极参与课堂讨论和练习活动。
(2)课后及时复习,认真完成课后作业并按时提交,作业情况是反应学生对所学知识内容掌握程度的重要一环。
(3)完成教师布置的一定量的课外阅读背景资料、独立探索或合作研究等作业,以加深对课程内容的理解、提升查阅文献、与人合作、思考创新等能力。
四、参考教材与主要参考书
1、选用教材:
欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋.数学分析(上、下册).北京:
高等教育出版社,2007年4月第3版。
2、主要参考书:
[1]张筑生.数学分析新讲(第一册).北京:
北京大学出版社,1990年1月第1版。
张筑生.数学分析新讲(第二册).北京:
北京大学出版社,1990年10月第1版。
张筑生.数学分析新讲(第三册).北京:
北京大学出版社,1991年9月第1版。
[2]吴良森等.数学分析学习指导书(上册).北京:
高等教育出版社,2004年8月第1版。
吴良森等.数学分析学习指导书(下册).北京:
高等教育出版社,2004年9月第1版。
[3]刘玉琏等.数学分析讲义学习辅导书(上、下册).北京:
高等教育出版社,2003年12月第2版。
[4]WalterRudin(美).PRINCIPLESOFMATHMATICALANALYSIS.北京:
机械工业出版社,2004年1月(英文版)第3版。
[5]PatrickM.Fitzpatrick(美).ADVANCEDCALCULUS—ACOURSEINMATHE-
MATICALANALYSIS.北京:
机械工业出版社,2003年5月(英文版)第1版。
[6](俄罗斯)菲赫金哥尔茨著,杨弢亮,叶彦谦译.微积分学教程(第一卷、第二卷、第三卷).北京:
高等教育出版社,2006年1月第8版。
[7]费定晖.吉米多维奇数学分析习题集——提示·解题思路·答案.济南:
山东科
学技术出版社,2007年9月第1版。
[8]陈纪修,於崇华,金路.数学分析(上册).北京:
高等教育出版社,2004年6月第2版。
陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册).北京:
高等教育出版社,2004年10月第2版。
[9]谢惠民,恽自求,易发槐,钱定边.数学分析习题课讲义(上册).北京:
高等教育出版社,2003年7月第1版。
谢惠民,恽自求,易发槐,钱定边.数学分析习题课讲义(上册).北京:
高等教育出版社,2004年1月第1版。
五、进度安排
序号
专题
主题
计划课时
主要内容概述
实验实践
内容
1
函数
变量与函数
6
函数的概念、表示方法和运算;几类特殊的函数;基本初等函数,初等函数,非初等函数等
2
极限与
连续
数列极限的定量表示定义(
、
定义)
8
数列极限的定义、性质、运算、存在性证明;无穷大量的定义、性质、运算
函数极限的定量表示定义(
、
、
、
定义)
8
各种函数极限的定量定义、性质;两个常用的不等式和两个重要的极限
函数的连续性
6
连续函数的定义、性质、运算;初等函数的连续性;闭区间连续函数的整体性质
无穷量的阶
2
无穷小量和无穷大量的阶的定义和意义
3
实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
什么是实数的基本定理?
8
子列、上确界和下确界的概念;单调有界定理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理的证明
证明闭区间上连续函数的性质
6
有界性定理、最大(小)值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性定理的证明
4
导数与微分
导数定义与求导法则
6
导数的引进、定义及几何意义;常数、正弦函数、对数函数、幂函数的导数;导数的四则运算、复合运算法则、反函数求导法则
微分的概念和几何意义
4
微分的定义、运算法则和几何意义
特殊函数的求导法
4
隐函数求导法、参数方程所表示函数的求导法
不可导函数;
高阶导数与高阶微分的概念
6
高阶导数、高阶微分及其运算法则
5
微分学基本定理及导数的应用
中值定理及其应用
4
费马定理;罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理
泰勒公式及其应用
4
利用一阶导数作近似计算;泰勒公式及应用
函数的各种性态(单调性、凸性等)
4
函数的单调性、极值、最值的求法;
函数的凸性
如何刻画曲线的弯曲程度?
4
曲线曲率的定义及计算
待定型
4
基本
及
待定型以及其他待定型
6
不定积分
原函数;
不定积分
4
不定积分的定义、基本公式
以及运算法则
不定积分的计算方法
8
“凑”微分法、换元积分法、分部积分法、有理函数积分法、其他类型的积分举例
7
定积分
什么是定积分?
2
从几何和物理上的例子入手引入定积分的概念
可积的条件
6
定积分存在的充分必要条件;可积函数类
定积分的性质
2
定积分的重要性质
计算定积分的方法
6
微积分基本公式;计算定积分的换元和分部积分公式;杂例和椭圆积分
8
定积分的应用和近似计算
定积分在几何上的应用
6
利用定积分计算:
平面图形的面积;曲线的弧长;特殊物体的体积;旋转曲面的面积
定积分在物理上的应用及近似计算
4
利用定积分计算:
平面曲线形状物体的质心;平均值和功.定积分的近似计算方法
9
数项级数
数列的上下极限
2
数列的上、下极限的概念及性质
数项级数的性质
2
数项级数的概念;收敛的数项项级及基本性质
一类重要的数项级数:
正项级数
6
正项级数敛散性的几个判别法
任意项级数的相关收敛性质
5
绝对收敛和条件收敛的概念;交错级数;Abel和Dirichelet判别法
绝对收敛和条件收敛的性质
3
绝对收敛和条件收敛级数在交换律和级数乘积方面的性质
10
反常积分
无穷限的反常积分
6
无穷限的反常积分的概念;与数项级数的关系;收敛性判别法
函数在有限区间上无界
6
无界函数的反常积分的概念;Cauchy判别法;主值的概念;Abel和Dirichelet判别法
11
函数项级数、幂级数
函数项级数的一致收敛及其意义
10
函数项级数的概念;一致收敛的函数项级数的性质、判别法
幂级数的相关内容
8
幂级数的收敛半径、性质;函数的幂级数展开
12
Fourier级数和Fourier变换
Fourier级数
8
Fourier级数的概念;三角函数系;Fourier系数;Fourier级数收敛的判别法;复数形式;Fourier级数的性质
Fourier变换
4
Fourier变换的概念、性质
13
多元函数的极限与连续
平面点集相关概念
4
距离;邻域;点列的极限;开集;闭集;区域等概念及相关定理
多元函数极限及连续性
6
多元函数的概念、极限、连续性;有界闭域上连续函数的性质;二重极限和二次极限
14
偏导数和全微分
偏导数
2
偏导数的定义、计算;高阶偏导数的定义及计算等
全微分
2
全微分的定义、计算和应用;高阶全微分的定义及计算等
复合函数偏导数
2
复合函数的链式法则;复合函数的全微分、一阶全微分形式不变性
由方程(组)所确定的函数的导数
4
隐函数的求导法;隐函数组和反函数组求导法
空间曲线的切线与法平面;空间曲面的切平面和法线
2
求空间曲线的切线与法平面方程、空间曲面的切平面与法线方程
方向导数和梯度
2
方向导数与梯度的定义和计算公式
泰勒公式
2
中值定理与泰勒公式
15
极值和条件极值
函数的极值
2
二元函数的极值的定义;极值的必要条件与充分条件;极值的计算与判别
函数的条件极值
2
条件极值;拉格朗日函数;拉格朗日乘数法
16
隐函数存在定理
隐函数及隐函数组存在定理
4
隐函数的概念、隐函数定理;隐函数组的概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换
17
含参量的积分
含参量的正常积分
2
含参量正常积分的定义、连续性、可微性和可积性定理,含参量正常积分的求导法则
18
含参量的广义积分
含参量的广义积分及其性质
6
含参量广义积分的定义、一致收敛性及判别法;含参量广义积分的连续性、可微性与可积性定理;
函数、B函数等
19
积分的定义和性质
几类积分的定义和性质
2
积分(二重、三重积分,第一类曲线、第一类曲面积分)的定义和性质
20
重积分的计算及应用
直角坐标下的二重积分;一般坐标变换下的二重积分
6
二重积分化为累次积分;累次积分的积分次序的交换;二重积分的变量变换公式;用极坐标计算二重积分
直角坐标下的三重积分;一般坐标变换下的三重积分
4
三重积分化为累次积分;一般换元公式;柱面坐标变换、球面坐标变换
积分在物理上的应用
2
曲面面积、物体重心、转动惯量和引力的计算公式
21
曲线积分和曲面积分的计算
第一类曲线积分
2
第一类曲线积分的计算
第一类曲面积分
2
第一类曲面积分的计算
第二类曲线积分
2
第二类曲线积分的定义、性质和计算;第一、二类曲线积分之间的联系
第二类曲面积分
2
曲面的侧、第二类曲面积分的定义、性质和计算;第一、二类曲面积分之间的联系
22
各种积分之间的联系和场论初步
积分联系公式
4
格林公式;高斯公式;斯托克斯公式
曲线积分与路径无关的条件
4
平面曲线积分与路径无关的条件定理;空间曲线积分与路径无关的条件定理
场的概念、向量场的散度与旋度、保守场
2
场的概念;向量场的散度与旋度;保守场;算子▽
六、成绩评定
(一)考核方式A:
A.闭卷考试B.开卷考试C.论文D.考查E.其他
(二)成绩综合评分体系:
成绩综合评分体系
比例%
1.出勤、作业
30
2.平时测验
20
3.期末考试
50
总计
100
附:
作业和平时表现评分标准
1)作业的评分标准
作业的评分标准
得分
1.严格按照作业要求并及时完成,基本概念清晰,解决问题的方案正确、合理,能提出不同的解决问题方案。
90-100分
2.基本按照作业要求并及时完成,基本概念基本清晰,解决问题的方案基本正确、基本合理。
70-80分
3.不能按照作业要求,未及时完成,基本概念不清晰,解决问题的方案基本不正确、基本不合理。
40-60分
4.不能按照作业要求,未及时完成,基本概念不清晰,不能制定正确和合理解决问题的方案。
0-30分
2)课堂讨论及平时表现评分标准
课堂讨论、平常表现评分标准
得分
1.资料的查阅、知识熟练运用,积极参与讨论、能阐明自己的观点和想法,能与其他同学合作、交流,共同解决问题。
90-100分
2.基本做到资料的查阅、知识的运用,能参与讨论、能阐明自己的观点和想法,能与其他其他同学合作、交流,共同解决问题。
70-80分
3.做到一些资料的查阅和知识的运用,参与讨论一般、不能阐明自己的观点和想法,与其他同学合作、交流,共同解决问题的能力态度一般。
40-60分
4.不能做到资料的查阅和知识的运用,不积极参与讨论,不能与其他同学合作、交流,共同解决问题。
0-30分
七、学术诚信
学习成果不能造假,如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等,均属造假行为。
他人的想法、说法和意见如不注明出处按盗用论处。
本课程如有发现上述不良行为,将按学校有关规定取消本课程的学习成绩。
八、大纲审核
教学院长:
院学术委员会签章:
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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