专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案.docx
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专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案
专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用
1.C【解析】由题意可得d=
答案部分
|cosθ-msinθ-2|=|msinθ-cosθ+2|
==
(其中cosϕ=
,sinϕ=
1),∵-1≤sin(θ-ϕ)≤1,
∴≤d≤,
=1+2,
m2+1
∴当m=0时,d取得最大值3,故选C.
2.
B【解析】由于f(x)=sin2x+bsinx+c=1-cos2x+bsinx+c.
2
当b=0时,f(x)的最小正周期为π;当b≠0时,f(x)的最小正周期2π;
c的变化会引起f(x)的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.
注:
在函数f(x)=h(x)+g(x)中,f(x)的最小正周期是h(x)和g(x)的最小正周期的公倍数.
3.C【解析】由图象知:
ymin=2,因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得:
k=5,
所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8,故选C.
4.D【解析】对于A,当x=π或5π时,sin2x均为1,而sinx与x2+x此时均有两个
44
值,故A、B错误;对于C,当x=1或x=-1时,x2+1=2,而|x+1|由两个值,
故C错误,选D.
πππ
5.B【解析】由于f(0)=2,f()=1+5,f()=2 424 点P在BC上时,f(x)=BP+AP=tanx+ 的图象是非线性,排除A. π 4+tanx(0≤x≤).不难发现f(x) 4 6.C【解析】由题意知,f(x)=|cosx|⋅sinx,当 p x∈0[,]π 2 1 时,f(x)=sinxcosx= 1sin2x; 2 当x∈(,π]时,f(x)=-cosxsinx=- 2 sin2x,故选C. 2 2π2π13 0022 7.A【解析】由3sin(x-ϕ)dx=-cos(x-ϕ)|3=cosϕ-sinϕ+cosϕ=0, ππ 得tanϕ=3,所以ϕ=+kπ(k∈Z),所以f(x)=sin(x--kπ)(k∈Z), 33 ππ 由正弦函数的性质知y=sin(x--kπ)与y=sin(x- 3 )的图象的对称轴相同, 3 令x-=kπ+,则x=kπ+5π326 (k∈Z),所以函数f(x)的图象的对称轴为 x=kπ+5π(k∈Z),当k=0,得x=5π,选A. 6 8. 1【解析】2cos2x+sin2x= 6 2sin(2x+π)+1,所以A= 4 2,b=1. 9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点. 10.1【解析】∵a∥b,∴sin2θ=cos2θ,∴2sinθcosθ=cos2θ,∵θ∈ 2 ∴tanθ=. 2 π (0,), 2 11. (1)3; (2)π【解析】 (1)y=f'(x)=ωcos(ωx+ϕ),当ϕ=π ,点P的坐标为(0, 46 33)时ωcosπ=33,∴ω=3; 262 2π (2)曲线y=f'(x)=ωcos(ωx+ϕ)的半周期为π,由图知AC=T=ω=π, ω22ω SABC =1AC⋅ω=π,设A,B的横坐标分别为a,b.设曲线段ABC与x轴所围成的 22 区域的面积为S则S= bf'(x)dx= a f(x)b =sin(ωa+ϕ)-sin(ωb+ϕ)=2, p 由几何概型知该点在△ABC内的概率为P=SABC=2=π. S24 12.【解析】 (1)连结PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10. P DC G K MABN 过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ, 则矩形ABCD的面积为2⨯40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ), ∆CDP的面积为1⨯2⨯40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ). 2 过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10. 令∠GOK=θ ,则sinθ=,θ∈π. 004 0(0,6) 当θ∈[θ π 0,2) 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sinθ的取值范围是1. 4 答: 矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,∆CDP的面积为 1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是1. 4 (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3, 设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0), 则年总产值为4k⨯800(4sinθcosθ+cosθ)+3k⨯1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ π 0,2). p 设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,2), 则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1). 令f'(θ)=0,得θ=π, 6 当θ∈(θ π 0,6) 时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数; 当θ∈ ππ (,) 62 时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数, π 因此,当θ=时,f(θ)取到最大值. 6 答: 当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 6 13.【解析】 (1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC. 记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处. 因为AC=10 所以MN= ,AM=40. =30,从而sin∠MAC=. 4 记AM与水平的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足, 则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12, 从而AP1= P1Q1 sin∠MAC =16. 答: 玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm) (2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH, 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,OO1⊥EG. 同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,OO1⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处. 过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32. 因为EG=14,E1G1=62, 所以KG=62-14=24,从而GG= ==40. 121 设∠EGG=α,∠ENG=β,则sinα=sin(π+∠KGG)=cos∠KGG =4. 12 因为π<α<π,所以cosα=-3. 115 25 40 在△ENG中,由正弦定理可得sinα 因为0<β<π,所以cosβ=24. 14 sinβ ,解得sinβ= 7 . 25 225 于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =4⨯24+(-3)⨯7=3. 5255255 记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH, 故PQ=12,从而EP= P2Q2 =20. 222 sin∠NEG 答: 玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm) 1+cos(2x+π) 14.【解析】(Ⅰ)由题意f(x)=1sin2x-2=1sin2x-1+1sin2x 22 =sin2x-1. 2 πππ 222 p 由-+2kπ≤2x≤ 2 +2kπ(k∈Z),可得- 24 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z); 4 由π+2kπ≤2x≤3π22 +2kπ(k∈Z),得π 4 +kπ≤x≤3π 4 +kπ(k∈Z); 所以f(x)的单调递增区间是[-π 4 +kπ,π 4 +kπ](k∈Z); 单调递减区间是[π 4 +kπ,3π 4 1 +kπ](k∈Z). 1 (Ⅱ) sinA-=0,∴sinA=, 由题意A是锐角,所以 22 cosA=3. 2 由余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, 可得1+3bc=b2+c2≥2bc ∴bc≤ =2+ ,且当b=c时成立. ∴bcsinA≤.∴∆ABC面积最大值为 4 π1 . 4 πππ 15.【解析】(Ⅰ)因为f(t)-10-2(cost+sint)-10-2sin(t+), 212212123 又0≤t<24,所以π 3 ≤πt+π 123 <7π 3 ,-1≤sin(π 12 t+π 3 )≤1, 当t=2时,sin(π 12 t+π 3 )=1;当t=14时,sin(π 12 t+π 3 )=-1; 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12︒C,最低温度为8︒C,最大温差为4︒C (Ⅱ)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温. 由(Ⅰ)得f(t)=10-2sin(π 12 t+π), 3 所以10-2sin(πt+π)>11,即sin(πt+π)<-1, 1231232 7π 又0≤t<24,因此 6 <πt+π 123 <11π,即10 6 故在10时至18时实验室需要降温. 16.【解析】 (1) a,b,c成等差数列,∴a+c=2b 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) ∴sinA+sinC=2sin(A+C) (2)a,b,c成等比数列,∴b2=2ac a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1 由余弦定理得cosB==== 2ac 2ac 2ac2 a2+c2≥2ac(当且仅当a=c时等号成立) ∴a2+c2≥1(当且仅当a=时等号成立) 2ac ∴a2+c2-1≥1-1=1(当且仅当a=时等号成立) 2ac222 11 即cosB≥,所以cosB的最小值为 22 17.【解析】(Ⅰ)由函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的周期为π,ω>0,得ω=2 又曲线y=f(x)的一个对称中心为(,0),ϕ∈(0,π) 4 πππ 故f()=sin(2⨯+ϕ)=0,得ϕ=,所以f(x)=cos2x 442 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cosx p 的图象,再将y=cosx的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数g(x)=sinx ππ1 (Ⅱ)当x∈(,)时, 64222 所以sinx>cos2x>sinxcos2x. 问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在 (,)内是否有解 64 pp 设G(x)=sinx+sinxcos2x-2cos2x,x∈(,) 64 则G'(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sinx) 因为x∈ p ππ (,) 64 1 ,所以G'(x)>0,G(x)在 p ππ (,)内单调递增 64 又G()=-<0,G()=>0 6442 pp 且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(,)内存在唯一零点x0, 64 pp 即存在唯一的x0∈(,)满足题意. 64 (Ⅲ)依题意,F(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0 当sinx=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0 的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-,x≠kπ(k∈Z) sinx 现研究x∈(0,π)(π,2π)时方程解的情况 cos2x 令h(x),x(0,) sinx 则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x∈(0,π)(π,2π)的交点情况 'cosx(2sin2x+1)' π3π h(x)= sin2x ,令h(x)=0,得x=或x=. 22 当x变化时,h(x)和h'(x)变化情况如下表 x (0,π) 2 π 2 (π,π) 2 (π,3π) 2 3π 2 (3π,2π) 2 h'(x) + 0 - - 0 + h(x) 1 -1 当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞ 当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞ 故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1 内有2个交点由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在 (0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在 (0,nπ)内恰有2013个交点;当a=±1时,直线y=a 与曲线 y=h(x)在 (0,π)(π,2π)内有3个交点,由周期性,2013=3⨯671,所以n=671⨯2=1342 综上,当a=±1,n=1342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点
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