1、专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用1.C【解析】由题意可得d =答案部分| cos - msin - 2 | = | msin -cos + 2 |= =（其中cos =， sin =1 ）， -1sin( -) 1 , d ，= 1+ 2 ，m2 +1当m = 0 时， d 取得最大值 3，故选C2.B【解析】由于 f (x) = sin2 x + bsin x + c = 1 - cos 2x + bsin x + c 2当b = 0 时， f (x) 的最小正周期为 ； 当b 0 时， f (x) 的最小正周期
2、2 ；c 的变化会引起 f ( x) 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期故选B注：在函数 f (x) = h(x) + g(x) 中， f ( x) 的最小正周期是h(x) 和 g(x) 的最小正周期的公倍数3.C【解析】由图象知： ymin = 2 ，因为 ymin = -3 + k ，所以-3 + k = 2 ，解得： k = 5 ，所以这段时间水深的最大值是 ymax = 3+ k = 3+ 5 = 8 ，故选 C4.D【解析】对于 A，当 x = 或 5 时， sin 2x 均为 1，而sin x 与 x2 + x 此时均有两个4 4值，故 A、B 错误；对于C，当 x =1或 x
3、 = -1 时， x2 +1 = 2 ，而| x +1|由两个值，故 C 错误，选D 5B【解析】由于 f (0) = 2, f ( ) =1+ 5, f ( ) = 2 0) ，则年总产值为4k 800(4sin cos + cos ) + 3k 1600(cos -sin cos )= 8000k(sin cos + cos ) ， 0 , 2 ) p设 f ( ) = sin cos + cos ， 0 , 2 ) ，则 f () = cos2 -sin2 -sin = -(2sin2 +sin -1) = -(2sin -1)(sin +1) 令 f ( ) = 0 ，得 = ，6当
4、(0 , 6 )时， f ( )0 ，所以 f ( ) 为增函数；当 ( , )6 2时， f ( )0 ，所以 f ( ) 为减函数，因此，当 = 时， f ( ) 取到最大值6答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大613.【解析】（1）由正棱柱的定义， CC1 平面 ABCD ，所以平面 A1 ACC1 平面 ABCD ， CC1 AC 记玻璃棒的另一端落在CC1 上点 M 处因为 AC =10所以 MN =， AM = 40 = 30 ，从而sin MAC = 4记 AM 与水平的交点为 P1 ，过 P1 作 P1Q1 AC ， Q1 为垂足，则 P1Q1 平面 ABCD ，故
5、 P1Q1 = 12 ，从而 AP1 =P1Q1sin MAC= 16 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为 16cm. ( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm) （2）如图， O ， O1 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义， OO1 平面 EFGH ， 所以平面 E1EGG1 平面 EFGH ， OO1 EG . 同理，平面 E1EGG1 平面 E1F1G1H1 ， OO1 E1G1 . 记玻璃棒的另一端落在GG1 上点 N 处. 过G 作GK E1G1 ， K 为垂足， 则GK = OO1 =32. 因为 EG = 14， E1G1 = 62， 所以 KG
6、 = 62 -14 = 24 ，从而GG = = 40 . 1 2 1设EGG = ,ENG = , 则sin = sin( +KGG ) = cosKGG= 4 . 1 2因为 ，所以cos =- 3 . 1 1 52 540在ENG 中，由正弦定理可得sin 因为0 ，所以cos = 24 . 14sin ，解得sin =7. 252 25于是sinNEG = sin(- - ) = sin( + ) = sin cos + cos sin = 4 24 + (- 3) 7 = 3 . 5 25 5 25 5记 EN 与水面的交点为 P2 ，过 P2 作 P2Q2 EG ，Q2 为垂足，则
7、 P2Q2 平面 EFGH ，故 PQ =12，从而 EP =P2Q2= 20 . 2 2 2sinNEG答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为 20cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)1+ cos(2x + )14.【解析】（）由题意 f (x) = 1 sin 2x - 2 = 1 sin 2x - 1 + 1 sin 2x2 2= sin 2x - 1 2 2 2 2p由- + 2k 2x 2+ 2k ( k Z )，可得-2 4+ k x + k ( k Z )；4由 + 2k 2x 3 2 2+ 2k ( k Z )，得 4+ k x 34+ k
8、( k Z )；所以 f ( x) 的单调递增区间是- 4+ k , 4+ k （ k Z ）；单调递减区间是4+ k , 341+ k （ k Z ）1（）sin A - = 0 ，sin A = ，由题意 A 是锐角，所以2 2cos A = 3 2由余弦定理： a2 = b2 + c2 - 2bccos A ，可得1+ 3bc = b2 + c2 2bcbc = 2 +，且当b = c 时成立bc sin A ABC 面积最大值为4 14 15【解析】（）因为 f (t) -10 - 2( cos t + sin t) -10 - 2sin( t + ) ，2 12 2 12 12 3又
9、0 t 24 ，所以 3 t + 12 3 11时实验室需要降温.由（）得 f (t) = 10 - 2sin( 12t + ) ，3所以10 - 2sin( t + ) 11 ，即sin( t + ) - 1 ，12 3 12 3 27又0 t 24 ，因此6 t + 12 3 11 ，即10 t 0 ，得 = 2又曲线 y = f (x) 的一个对称中心为( , 0) ， (0, )4 故 f ( ) = sin(2 + ) = 0 ，得 = ，所以 f (x) = cos 2x4 4 2将函数 f (x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）后可得 y = cos xp的
10、图象，再将 y = cos x 的图象向右平移2个单位长度后得到函数 g(x) = sin x 1（）当 x ( , ) 时， sin x ， 0 cos 2x cos 2x sin x cos 2x 问题转化为方程2 cos 2x = sin x + sin x cos 2x 在 ( , ) 内是否有解6 4p p设G(x) = sin x +sin x cos 2x - 2cos 2x ， x ( , )6 4则G(x) = cos x + cos x cos 2x + 2sin 2x(2 -sin x)因为 x p ( , )6 41，所以G(x) 0 ， G(x) 在p ( , ) 内
11、单调递增6 4又G( ) = - 06 4 4 2p p且函数G(x) 的图象连续不断，故可知函数G(x) 在( , ) 内存在唯一零点 x0 ，6 4p p即存在唯一的 x0 ( , ) 满足题意6 4（）依题意， F(x) = a sin x + cos 2x ，令 F(x) = a sin x + cos 2x = 0当sin x = 0，即 x = k (k Z ) 时，cos 2x =1，从而 x = k (k Z ) 不是方程 F(x) = 0的解，所以方程 F(x) = 0 等价于关于 x 的方程a =- ， x k (k Z )sin x现研究 x (0, ) ( , 2 )
12、时方程解的情况cos 2x令 h(x) ， x (0, )sin x则问题转化为研究直线 y = a 与曲线 y = h(x) 在 x (0, ) ( , 2 ) 的交点情况 cos x(2 sin2 x +1) 3h (x) =sin2 x，令h (x) = 0 ，得 x = 或 x = 2 2当 x 变化时， h(x) 和h(x) 变化情况如下表x (0, )22( , )2( , 3 )232(3 , 2 )2h(x)+0-0+h(x)1-1当 x 0 且 x 趋近于0 时， h(x) 趋向于- 当 x 且 x 趋近于 时， h(x) 趋向于+当 x 1时，直线 y = a 与曲线 y
13、= h(x) 在(0, ) 内有无交点，在( , 2 ) 内有2 个交点；当a -1时，直线 y = a 与曲线 y = h(x) 在(0, ) 内有2 个交点，在( , 2 ) 内无交点；当-1 a 1时，直线 y = a 与曲线 y = h(x) 在(0, ) 内有2 个交点，在( , 2 )内有2 个交点由函数 h(x) 的周期性，可知当 a 1时，直线 y = a 与曲线 y = h(x) 在(0, n ) 内总有偶数个交点，从而不存在正整数 n ，使得直线 y = a 与曲线 y = h(x) 在(0, n ) 内 恰 有 2013 个 交 点 ； 当 a = 1 时 ， 直 线 y = a与 曲 线y = h(x) 在(0, ) ( , 2 ) 内有3 个交点，由周期性， 2013 = 3671，所以n = 6712 =1342综上，当 a = 1， n =1342 时，函数 F(x) = f (x) + ag(x) 在(0, n ) 内恰有 2013个零点
