人教版八年级上册知识点试题精选完全平方公式的几何背景.docx
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人教版八年级上册知识点试题精选完全平方公式的几何背景
完全平方公式的几何背景
一.选择题(共20小题)
1.教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明,我们也可用如图对三项的完全平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca作说明,那么其中用来表示b2的是( )
A.区域①的面积B.区域⑤的面积C.区域⑥的面积D.区域⑧的面积
2.图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是( )
A.(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mnB.(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn
C.(m﹣n)2+2mn=m2+n2D.(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2
3.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a﹣b)(a+2b)=a2+ab﹣b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2
4.如图,根据计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.a(a﹣b)=a2﹣ab
5.某学习小组学习《整式的乘除》这一章后,共同研究课题,用4个能够完全重合的长方形,长、宽分别为a、b拼成不同的图形.在研究过程中,一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形.如图,利用面积不同表示方法验证了下面一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
6.如图所示,用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a,b的4个直角三角形,恰好能拼成一个新的大正方形,其中a,b,c满足等式c2=a2+b2,由此可验证的乘法公式是( )
A.a2+2ab+b2=(a+b)2B.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.a2+b2=(a+b)2
7.如图,在一块边长为a的正方形花圃中,两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块,下面是四个计算种花土地总面积的代数式:
①(a﹣2b)(a﹣2b),②a2﹣4ab,③a2﹣4ab﹣4b2,④a2﹣4ab+4b2,其中正确的有( )
A.②B.①③C.①④D.④
8.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=6B.x﹣y=2C.x•y=8D.x2+y2=36
9.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0,剩余部分沿虚线又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则长方形的周长为( )cm.
A.2a+5B.4a+10C.4a+16D.6a+15
10.利用图中图形面积关系可以解释的公式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.(a+b)(a2﹣ab+b3)=a3+b3
11.如图1,把一个长为m、宽为n的长方形(m>n),沿虚线剪开,将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的长方形,则下列说法不正确的是( )
A.图2所示的长方形是正方形
B.图2所示的长方形周长=2m+2n
C.阴影部分所表示的小正方形边长=m﹣n
D.阴影部分所表示的小正方形面积=
12.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图
(1)可以用来解释(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.那么通过图
(2)面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a﹣b)(a+2b)=a2+ab﹣b2
13.将边长为acm的正方形的边长增加4cm后,所得新正方形的面积比原正方形的面积大( )
A.4acm2B.(4a+16)cm2C.8acm2D.(8a+16)cm2
14.如图,长为a,宽为b的长方形的周长为14,面积为10,则a2+b2的值为( )
A.140B.70C.35D.29
15.已知如图,图中最大的正方形的面积是( )
A.a2B.a2+b2C.a2+2ab+b2D.a2+ab+b2
16.图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )
A.2abB.(a+b)2C.(a﹣b)2D.a2﹣b2
17.用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形.已知大正方形的面积是196,小正方形的面积是4,若用x,y表示矩形的长和宽(x>y),则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=14B.x﹣y=2C.xy=48D.x2+y2=144
18.如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,利用图中阴影部分面积的不同表示方法,可以写出关于a、b的恒等式,下列各式正确的为( )
A.(a+b)2=(a﹣b)2+2abB.(a﹣b)2=(a+b)2﹣2ab
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
19.如图1,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形,如图2.这个拼成的长方形的长为30,宽为20,则图2中Ⅱ部分的面积是( )
A.60B.100C.125D.150
20.如图,正方形ABCD由四个矩形构成,根据图形,写出一个含有a和b的正确的等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.a2+b2=(a+b)(a﹣b)
C.(a+b)2=a2+b2D.a2+b2+ab+ab=(a+b)(a+b)
二.填空题(共20小题)
21.根据图,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式 .
22.如图,边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是 .(用含m的代数式表示)
23.如图阴影部分是四个长为a,宽为b的矩形,利用面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式:
.
24.图1可以用来解释:
(2a)2=4a2,则图2可以用来解释:
.
25.如图所示,用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是 .
26.如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式 .
27.如图,是一个用四块形状和大小都一样的长方形纸板拼成的一个大正方形,中间空的部分是﹣个小正方形,已知长方形纸板的长为m,宽为n(m>n),则中间空的部分(小正方形)的面积是 .
28.分别以a、b为边长的两个正方形面积和为29cm2,以a、b为边长的长方形周长为14cm,则此长方形的面积为 .
29.如图,长方形ABCD的周长为16,以长方形的四条边分别为边向外作四个正方形,且这四个正方形的面积和为68,则长方形ABCD的面积是 .
30.如图,在一个矩形中,有两个面积分别为a2、b2(a>0,b>0)的正方形.这个矩形的面积为 (用含a、b的代数式表示)
31.如图
(1)的面积可以用来解释(2a)2=4a2,那么根据图
(2),可以用来解释 (写出一个符合要求的代数恒等式).
32.如图,是将两个边长分别为和的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上.连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=6,ab=6,你能求出阴影部分的面积S阴吗?
33.在过去的学习中,我们已经接触了很多代数恒等式,其实这些代数恒等式可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释这些代数式.例如,图可以用来解释4a2=(2a)2请问可以用图来解释的恒等式是:
.
34.如图,由两个正方形和两个长方形组成了一个大正方形,依据图形面积间的关系可得到一个你非常熟悉的计算公式,请写出这个公式 .
35.图
(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是 .
36.利用一个a×a的正方形,4个b×b的正方形,4个a×b的长方形,可拼成一个无缝隙且不重叠的大正方形,则这个大正方形的边长是 .
37.如图是四张纸片拼成的图形,请利用图形面积的不同表示方式,写出一个a、b的恒等式.
38.一个正方形的边长为acm(a>6),若边长减少6cm,则这个正方形的面积减少了 cm2.
39.一个正方形的边长增加2cm,它的面积就增加8cm2,则这个正方形的边长为 cm.
40.如图,利用图形面积的不同表示方法,能够得到的代数恒等式是 (写出一个即可).
三.解答题(共10小题)
41.一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给孩子一块糖;来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖…
(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子a2块糖;
(2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子b2块糖;
(3)第三天这(a+b)个孩子一起去了老人家,老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖.
这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数相比哪个多,哪个少?
为什么?
经过思考可知,a个男孩每人多得了b块糖,b个女孩每人多得了a块糖,因此多得了ab+ab=2ab块糖,即有(a+b)2=a2+b2+2ab.
我国著名数学家华罗庚曾说过:
“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.
体会数形结合思想的内涵,试设计一种图形来说明(a+b)2=a2+b2+2ab.(要求:
画出图形,并利用图形作必要的推理说明)
42.如图,AB=a,P是线段AB上一点,分别以AP,PB为边作正方形.
(1)设AP=x,求两个正方形的面积和S.
(2)当AP分别为
和
时,比较S的大小.
43.阅读材料并回答问题:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图
(1)或图
(2)等图形的面积表示.
(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式:
;
(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:
(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.
44.公式探究题
(1)如图:
用两种方法求阴影的面积:
方法
(一)得 .
方法
(二)得 .
(2)比较方法
(一)和方法
(二)得到的结论是 (用式子表达)
(3)利用上述得到的公式进行计算:
已知
,
,求ab和a2+b2的值.
45.图①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同方法求图②中阴影部分面积.
方法一:
;方法二:
.
(2)观察图②,你能写出(m+n)2,(m﹣n)2,4mn三个代数式之间的关系吗?
46.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.
方法1:
方法2:
(2)观察图②请你写出下列三个代数式:
(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系. ;
(3)根据
(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:
a﹣b=5,ab=﹣6,求:
(a+b)2的值;
②已知:
,求:
的值.
47.利用图形的面积可以解释代数恒等式的正确性,也可以解释不等式的正确性.
(1)根据如图所示的图形写出一个代数恒等式;
(2)已知x﹣
=3(其中x>0),求x+
的值;
(3)已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m=b+n=c+l=k,请你构造一个图形,并利用图形的面积说明al+bm+cn<k2.
48.
(1)图
(1)是一个长为2m,宽为2n的矩形,把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形,然后按图
(2)的形状拼成一个正方形,请问:
这两个图形的什么量不变所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m,n的代数式可表示为 ;
(2)由
(1)的探索可得出的结论是:
在周长一定的矩形中, 时,面积最大;
(3)若矩形的周长为24cm,则当边长为多少时,该图形的面积最大?
最大面积是多少?
49.如图所示的长方形和正方形四张卡片.请你用这四张卡片拼成一个正方形.要求:
所拼图形中每类卡片都要有,卡片之间不能重叠,画出你拼成的示意图,并计算出它的面积(用含a、b的代数式表示)
50.如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开分成四块小长方形,然后按如图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是 .
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.
【方法1】S阴影= ;
【方法2】S阴影= ;
(3)观察如图2,写出(a+b)2,(a﹣b)2,ab这三个代数式之间的等量关系.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决问题:
若x+y=10,xy=16,求x﹣y的值.
完全平方公式的几何背景
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明,我们也可用如图对三项的完全平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca作说明,那么其中用来表示b2的是( )
A.区域①的面积B.区域⑤的面积C.区域⑥的面积D.区域⑧的面积
【分析】观察图形,找出边长为b的正方形即可.
【解答】解:
由图形可知,区域⑥是边长为b的正方形,
所以,用来表示b2的是区域⑥的面积.
故选C.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,准确识图是解题的关键.
2.图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是( )
A.(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mnB.(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn
C.(m﹣n)2+2mn=m2+n2D.(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2
【分析】根据图示可知,阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m,2n的菱形的面积.据此即可解答.
【解答】解:
(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn.
故选:
B.
【点评】本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn,解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式.
3.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a﹣b)(a+2b)=a2+ab﹣b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2
【分析】根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解.
【解答】解:
空白部分的面积:
(a﹣b)2,
还可以表示为:
a2﹣2ab+b2,
所以,此等式是(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
故选C.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,利用两种方法表示出空白部分的面积是解题的关键.
4.如图,根据计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.a(a﹣b)=a2﹣ab
【分析】根据正方形ABCD的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a,宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积,即可解答.
【解答】解:
根据题意得:
(a+b)2=a2+2ab+b2,
故选:
A.
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景,解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释.
5.某学习小组学习《整式的乘除》这一章后,共同研究课题,用4个能够完全重合的长方形,长、宽分别为a、b拼成不同的图形.在研究过程中,一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形.如图,利用面积不同表示方法验证了下面一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
【分析】根据右边阴影部分的面积等于4个长方形的面积即可写出等式.
【解答】解:
右边阴影部分的面积是:
(a+b)2﹣(a﹣b)2;
4个长方形的面积是:
4ab,
则验证的等式是:
(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.
故选B.
【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义;主要围绕图形面积展开分析.
6.如图所示,用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a,b的4个直角三角形,恰好能拼成一个新的大正方形,其中a,b,c满足等式c2=a2+b2,由此可验证的乘法公式是( )
A.a2+2ab+b2=(a+b)2B.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.a2+b2=(a+b)2
【分析】根据4个直角三角形的面积+小正方形的面积=新的大正方形的面积,即可解答.
【解答】解:
4个直角三角形的面积为:
=2ab,
小正方形的面积为:
c2,
∵c2=a2+b2,
∴小正方形的面积为:
a2+b2,
新的大正方形的面积为:
(a+b)2
∴a2+2ab+b2=(a+b)2,
故选:
A.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,解决本题的关键是明确4个直角三角形的面积+小正方形的面积=新的大正方形的面积.
7.如图,在一块边长为a的正方形花圃中,两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块,下面是四个计算种花土地总面积的代数式:
①(a﹣2b)(a﹣2b),②a2﹣4ab,③a2﹣4ab﹣4b2,④a2﹣4ab+4b2,其中正确的有( )
A.②B.①③C.①④D.④
【分析】由平移法可得,种花土地总面积等于边长为(a﹣2b)的正方形的面积;由图可得,种花土地总面积=a2﹣4ab+4b2;据此得出结论.
【解答】解:
由平移法可得,种花土地总面积=(a﹣2b)(a﹣2b);
由图可得,种花土地总面积=a2﹣4ab+4b2;
故选:
C.
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用,解决此类问题的关键是运用几何直观理解,解决完全平方公式的推导过程,通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.
8.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=6B.x﹣y=2C.x•y=8D.x2+y2=36
【分析】根据正方形的面积分别求出小正方形和大正方形的边长,然后结合图形列出关于x、y的方程,求出x、y的值,分别计算即可得解.
【解答】解:
∵大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,
∴大正方形的边长是6,中间空缺的小正方形的边长为2,
∴x+y=6①,x﹣y=2②,
①+②得,2x=8,
解得x=4,
①﹣②得,2y=4,
解得y=2,
∴x•y=2×4=8,x2+y2=22+42=20,
∴关系式中不正确的是x2+y2=36.
故选D.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,主要利用了正方形的面积与边长的关系,观察图形得到长方形的长与宽的关系式是解题的关键.
9.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0,剩余部分沿虚线又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则长方形的周长为( )cm.
A.2a+5B.4a+10C.4a+16D.6a+15
【分析】先求出长方形的宽为3,再根据题意列出关系式,去括号合并即可得到结果.
【解答】解:
根据题意得,长方形的宽为(a+4)﹣(a+1)=3,
∴拼成得长方形的周长为:
2(a+4+a+1+3)=2(2a+8)=(4a+16)cm;
故选:
C.
【点评】此题考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接;然后去括号、合并同类项.
10.利用图中图形面积关系可以解释的公式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.(a+b)(a2﹣ab+b3)=a3+b3
【分析】根据图中图形的面积计算方法可得答案.
【解答】解:
∵图中正方形的面积可表示为:
a2+2ab+b2,
也可表示为:
(a+b)2,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2.
故选A.
【点评】此题主要考查了运用图形的面积表示完全平方公式.关键是能用不同的计算方法表示图形的面积.
11.如图1,把一个长为m、宽为n的长方形(m>n),沿虚线剪开,将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的长方形,则下列说法不正确的是( )
A.图2所示的长方形是正方形
B.图2所示的长方形周长=2m+2n
C.阴影部分所表示的小正方形边长=m﹣n
D.阴影部分所表示的小正方形面积=
【分析】设小正方形的边长为a,C、根据图形的拼法可得出关于a的一元一次方程,解之即可用含m、n的代数式表示出a的值,由此得出C选项不符合题意;A、观察图形2找出图形2中长方形的相邻两边长,由此可得出该长方形为正方形,即A选项符合题意;B、根据正方形的周长公式即可找出图形2的周长,再代入a值即可得知B选项符合题意;D、根据正方形的面积公式,再代入a值,即可得知D选项符合题意.综上即可得出结论.
【解答】解:
设小正方形的边长为a,
C、根据图形的拼法可知:
m﹣a=n+a,
∴a=
,
∴C选项不符合题意;
A、∵图2中长方形相邻两边长度分别为n+a,n+a,
∴图2所示的长方形是正方形,
∴A选项符合题意;
B、∵图2所示的长方形周长=4(n+a)=4(n+
)=4×
=2m+2n,
∴B选项符合题意;
D、∵阴影部分所表示的小正方形面积=a2=
=
,
∴D选项符合题意.
故
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