专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版.docx
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专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版
专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法
、知识点
1•四边形的内角和与外角和定理:
(1)四边形的内角和等于360°;
(2)四边形的外角和等于360°.
2.多边形的内角和与外角和定理:
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°
(2)任意多边形的外角和等于360°
3.平行四边形的性质:
性质
四边形ABCD是平行四边形
判定
(1)两组对边分别平行;
(2)两组对边分别相等;
(3)两组对角分别相等;
(4)对角线互相平分;
(5)邻角互补.
4、平行四边形判定方法的选择
..”■已知条件
选择的狎定方法
i边
1.一鲫边幘
L讹⑵沁⑶
一组对边平行
定文{方法1),方送⑶
一纽对命相等
方法《5〉
方搓⑷
5、和平行四边形有关的辅助线作法
(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1、如图,已知点O是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点,四边形OCD是平行四边形•求证:
OE与AD互相平分.
说明:
当已知条件中涉及到平行,且要求证的结论中和平行四边形的性质有关,可试通过添加辅助线构造平行四边形—:
(2)利用两组对边平行构造平行四边形
例2、如图,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BFED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.
说明:
当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四边形解决问
(3)利用对角线互相平分构造平行四边形
例3、如图,已知ADS^ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证BF=AC.
说明:
本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•
(4)连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AECF,请你以F为一个端点,
相等(只需证明一条线段即可)
例6、已知:
如图,四边形ABCD为平行四边形
求证:
AC2BD2AB2BC2CD2DA2
F
11
B、2m22
C、10m
12
(6)过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
(7)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形
例7、已知:
如右上图4,在正方形ABCD中,
于P点,求证:
APAB
、课堂练习:
1、如图,E是平行四边形ABCD的边AB的中点,AC与DE相交于点F,若平行四边形ABCD
的面积为s,则图中面积为Is的三角形有(
2
A.1个B.2个
2、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个四边形.
3、如图,AD,BC垂直相交于点O,AB//CD,
贝UAB+CD的长=。
4、已知等边三角形ABC的边长为a,P是厶ABC内一点,PD//ABPE//BC,PF//AC,点D
E、F分别在BC、ACAB上,猜想:
PMPE+PF=
K
猜想.
5、平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点,且AECF,BCDH,
试说明:
EF与GH相互平分.
6如图,平行四边形ABCD勺对角线AC和BD交于O,E、F分别为OB0D的中点,过0任作一直线分
别交ABCD于G、H.
试说明:
GF//EH
7、如图,已知ABAC,B是AD的中点,
8、如图,E是梯形ABCD要DC的中点.
试说明:
SABE
1S梯形
2
ABCD
D
E
试说明:
CD2CE
9、已知六边形ABCDEF勺6个内角均为120°,CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm试
求此六边形的周长.
D_
10、已知ABC是等腰三角形,AB=ACD是BC边上的任一点,且DEAB
DFAC,CHAB,垂足分别为E、F、H,
求证:
DEDFCH
11、已知:
在RtABC中,ABBC;在RtADE中,ADDE;连结EC,取EC的中点M,
连结DM和BM.
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,
求证:
BMDM且BMDM;
(2)如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么
(1)
中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
图①
图-②
答案:
例4、⑴连结BF⑵BFDE
⑶证明:
连结DB,DF,设DB,AC交于点0
•••四边形ABCD为平行四边形
•••A0
OC,DOOB
•••AEFC
•••A0
AEOCFC即OEOF
•••四边形EBFD为平行四边形
•••BF
DE
例5、解:
将线段DB沿DC方向平移,使得DB
CE,DC
BE,则有四边形CDBE为平行
四边形,
■
••在ACE中,
AC
12,CE
BD
10,AE2AB2m
-
•12102m
12
10,即2
2m
22
解得1m11
故选A
例6、证明:
过代D分别作AE
BC于点
E,
DF
BC的延长线于点F
•••AC2
AE2CE2
AB
2BE2(BC
BE)2
AB2BC22BE
BC
BD2
22
DF2BF2
(CD
22
2CF2)
(BC
CF)
2CD2BC22BC
CF
贝UAC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE
四边形ABCD为平行四边形
•••AB//CD且ABCD,ADBC
ABC
DCF
IAEB
DFC900
ABE
DCF
••BECF
AC2
2222
BDABBCCD
DA2
例7、证明:
延长CF交BA的延长线于点K
•••四边形ABCD为正方形
•••AB//CD且ABCD,CD
)AD,BAD
BCD
D900
•••1K
又,
D
DAK90°,DFAF
•••CDF也
KAF
•••AKCD
AB
--
1CE-CDDF
2,
1AD
2
•••CEDF
TBCD
D900
•••BCE也CDF
•••12
T13
900
2
3900
•••CPB
900,则KPB
900
•••APAB
二、课堂练习
1、C2、
平行
3
、104、
a
5、分析:
观察图形,EF
与
HG
为四边形HEGF
的对角线,
若能说明四边形
HEGF是平
行四边形,根据
平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到
6分析:
观察图形,GF与EH为四边形GEHF的对边,若能说明四边形EHFG是平行
四边形,平行四
7、分析:
延长CE至F,使EF=CE,连结AF、BF,得四边形AFBC是平行四边形,利
用平行四边形
△ABE与四边形ABNM等底等高,所以Smbe=
2
S梯形ABCD=S平行四边形ABNM即可。
D
平行四边形ABNM,接下来说明
•••四边形DGHE为矩形
•••/B=/GDC
又AB=AC
•••/GDC=/ACB
又/DGC=/DFC=90°
•••△CDGDCF(AAS)
•••DE=GHEH//DG
•••/B=/ACB
CD=DC(公共边)
8、分析:
过点E作MN//AB,交BC于N,交AD的延长线于M,则四边形ABNM是平
行四边形,
10、证明:
过D点作DG丄CH于G
又DE丄AB于E,CH丄AB于H
•••DF=CG
又CH=CG+GH
•••CH=DF+DG(等量代换)
11、-:
■..;■:
一一八-一-_二占】二—亠一一—
I.1I■1-I■・,冒"■*LT!
>・…Ir厂#r-'•・
11
晁魅瘵,更聊?
湍讥瑕片7;臨E^d=-E爲.*.:
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jifBME的外痈;仁疋日曙细◎上if®畫纠已同理^0ME-./WC+^H(D=2ZMCL>
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漬谢聡血迦必区癖询对就P)老總I;密r絶“跳谕嘛也訶備i讷
⑵如图-廷长DM到阳使NN-LH逹结BJhBN,Ot
EI^CK,ZEM1J=ZCHK,IrfrUll
<\AEMDW.^CMH
/KCM=^ECM+ZECN2a-EH=AiD,
衽AABC4“;创AB十ZTEEAWF
.'.^ACEl^CAD+ZCED^.D,
TETAD坯尸-2BAI2DEM-ZNCH-ZECM+ZBCWr-ZCED
…2AUEt4t)*—ZBA£rb上兮LU十ZECNzya''
又_ZACKtZBCM=4r、二4驚-ZEADt4孙十匹ECN亨『
■\2bAD=ZECUx-又辰足,皿CN/-^ABD^iCBN-■-ed-bnZABD^2ZB®
.■-ZEBC+ZCBN=ZDfi匚+£A3D=g(T$丈:
RI>=EN.LM=W
.';mMHDM且EM丄114:
平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:
(1)连对角线或平移对角线:
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等
第一类:
连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AECF请你
以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)
⑴连结BF⑵BFDE
•••四边形ABCD为平行四边形
•••AOOC,DO0B
•••AEFC二AOAE
•••四边形EBFD为平行四边形
0C
FC即OEOF•••BFDE
⑶证明:
连结DB,DF,设DB,AC交于点0
图1
图2
第二类:
平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC12,
BD10,ABm,那么m的取值范围是()
A1m11B2m22C10m12D5m6
解:
将线段DB沿DC方向平移,使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形,•••在ACE中,AC12,CEBD10,AE2AB2m
•••12102m1210,即22m22解得1m11故选A
第三类:
过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知:
如左下图3,四边形ABCD为平行四边形
•-AC2
BD2AB2BC2CD2DA
ABC
DCF
AEB
DFC900
求证:
AC2BD2AB2BC2CD2DA2
证明:
过A,D分别作
AE
BC于点
E,
DF
BC的延长线于点F
•.AC2
AE2
CE2
AB2
BE2(BC
BE)2
AB2BC22BEBC
BD2
DF2
BF2
(CD2
CF2)
(BC
CF)
2CD2BC22BCCF
CD2
贝UAC2BD2AB2BC2
DA22BCCF2BCBE
•••四边形ABCD为平行四边形
•AB//CD且ABCD,ADBC
第四类:
延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
例4:
已知:
如右上图4,在正方形ABCD中,E,F分别是CD、DA的中点,BE与CF交于P点,求证:
APAB
证明:
延长CF交BA的延长线于点K
•••四边形ABCD为正方形
AB//CD且ABCD,CDAD,BAD
BCD
D900
1
K又T
DDAK90°,DF
AF
•CDF也KAF
AK
CDAB
11
TCE-CDDF-
2,2
AD
•CEDF
BCDD900•••BCE也CDF
I13900•••23900•••CPB90°,贝UKPB90°
•••APAB
第五类:
延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5,在平行四边形ABCD中,点E为边CD上任一点,请你在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。
D
E
F
D
解:
延长AE与BC的延长线相交于F,则有AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB
1
BN,BE-BC,NE
3
第六类:
把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
例6已知:
如右上图6,在平行四边形ABCD中,AN
交BD于F,求BF:
BD
BD
2
解:
连结AC交BD于点O,连结ON
AN
BN
•••ON//1BC且ON
2
1BC
2
•BE
…ON
BF
FO
BE
1
丄BC
•••BE:
ON
2:
3
•BF
2
3
FO
3
BF
2
•••BF:
BD
1:
5
BO
5
•••四边形ABCD为平行四边形
二OAOC,OBOD
综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:
连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,
为证明解决问题创造条件。
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