版高考数学理人教A版全国一轮复习第10章计数原理103文档.docx
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版高考数学理人教A版全国一轮复习第10章计数原理103文档
1.二项式定理
二项式定理
(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk+1=Can-kbk,它表示第k+1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2,…,n})
2.二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时,C与C的关系是C=C.
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为
;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为
和
.
(3)各二项式系数和:
C+C+C+…+C=2n,
C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can-rbr是二项展开式的第r项.( × )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( × )
(5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.( × )
1.(教材改编)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )
A.CB.C
C.CD.(-1)m-1C
答案 D
解析 (x-y)n展开式中第m项的系数为
C(-1)m-1.
2.已知
,那么n展开式中含x2项的系数为( )
A.130B.135C.121D.139
答案 B
解析 根据题意,
,则6中,由二项式定理得通项公式为Tk+1=C(-3)kx6-2k,令6-2k=2,得k=2,所以系数为C×9=135.
3.已知C+2C+22C+23C+…+2nC=729,则C+C+C+…+C等于( )
A.63B.64C.31D.32
答案 A
解析 逆用二项式定理得C+2C+22C+23C+…+2nC=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以C+C+C+…+C=26-C=64-1=63.故选A.
4.(教材改编)5展开式中的常数项为________.
答案 40
解析 Tk+1=C(x2)5-kk=C(-2)kx10-5k.
令10-5k=0,则k=2.∴常数项为T3=C(-2)2=40.
5.(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是________.
答案 168
解析 ∵(1+x)8的通项为Cxk,(1+y)4的通项为Cyt,∴(1+x)8(1+y)4的通项为CCxkyt,令k=2,t=2,得x2y2的系数为CC=168.
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1
(1)(2015·广东)在(-1)4的展开式中,x的系数为________.
(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10B.20
C.30D.60
答案
(1)6
(2)C
解析
(1)由题意可知Tk+1=C()4-k(-1)k=
,令=1解得k=2,所以展开式中x的系数为C(-1)2=6.
(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.
所以x5y2的系数为CC=30.故选C.
方法二 利用组合知识求解.
(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CC=30.故选C.
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2 (2015·课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
答案 3
解析 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.
(1)(2014·课标全国Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
(2)(2014·课标全国Ⅱ)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
答案
(1)20
(2)
解析
(1)x2y7=x·(xy7),其系数为C,
x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,
∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
(2)设通项为Tk+1=Cx10-kak,令10-k=7,
∴k=3,∴x7的系数为Ca3=15,
∴a3=,∴a=.
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3 在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
各项系数的和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C+C+…+C=210.
(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29,
偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.
(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
∴奇数项系数和为;
①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
∴偶数项系数和为.
(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.
思维升华
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f
(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
解
(1)由已知得C+2C=11,∴m+2n=11,
x2的系数为C+22C=+2n(n-1)
=+(11-m)=2+.
∵m∈N*,
∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.
(2)由
(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.
设这时f(x)的展开式为
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,
令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
两式相减得2(a1+a3+a5)=60,
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
题型三 二项式定理的应用
例4
(1)已知2n+2·3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值;
(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)
解
(1)原式=4·6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
=4(C5n+C5n-1+…+C52+C5+C)+5n-a
=4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n+4-a,
显然正整数a的最小值为4.
(2)1.028=(1+0.02)8≈C+C·0.02+C·0.022+C·0.023≈1.172.
思维升华
(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1B.1C.-87D.87
答案 B
解析 1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.
17.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误
典例 (12分)
(1)已知(x+1)6(ax-1)2的展开式中含x3的项的系数是20,求a的值;
(2)设(5x-)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,求展开式中二项式系数最大的项.
易错分析 解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆,从而导致计算错误;另外,也要注意项与项的系数,项的系数与项的系数绝对值的区别与联系.
规范解答
解
(1)(x+1)6(ax-1)2的展开式中x3的系数是C+C×(-2)×a+Ca2=6a2-30a+20,
∵x3的系数为20,
∴6a2-30a+20=20,∴a=0,a=5.[4分]
(2)依题意得,M=4n=(2n)2,N=2n,
于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0,
∴2n=16=24,
解得n=4.[8分]
要使二项式系数C最大,只有k=2,[10分]
故展开式中二项式系数最大的项为
T3=C(5x)2·(-)2=150x3.[12分]
温馨提醒
(1)对于(ax+b)n展开式中,第k+1项的二项式系数是指C,第k+1项的系数是Can-kbk.
(2)对于(ax+b)n展开式中各项系数之和,令x=1即得:
(a+b)n;(ax+b)n展开式的二项式系数之和为C+C+…+C=2n.
[方法与技巧]
1.通项Tk+1=Can-kbk是(a+b)n的展开式的第k+1项,而不是第k项,这里k=0,1,…,n.
2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C,C,…,C,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.
4.运用通项求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.
[失误与防范]
1.项的系数与a、b有关,二项式系数只与n有关,大于0.
2.求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”.
3.关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法.
4.展开式中第k+1项的二项式系数与第k+1项的系数一般是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.(2014·四川)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30B.20C.15D.10
答案 C
解析 因为(1+x)6的展开式的第k+1项为Tk+1=Cxk,x(1+x)6的展开式中含x3的项为Cx3=15x3,所以系数为15.
2.(2015·湖南)已知5的展开式中含x的项的系数为30,则a等于( )
A.B.-C.6D.-6
答案 D
解析 5的展开式通项
,令-k=,则k=1,
∴T2=-aCx
,∴-aC=30,∴a=-6,故选D.
3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A.-20B.-15
C.15D.20
答案 C
解析 设展开式中的常数项是第k+1项,则Tk+1=C·(4x)6-k·(-2-x)k=C·(-1)k·212x-2kx·2-kx=C·(-1)k·212x-3kx,
∵12x-3kx=0恒成立,∴k=4,
∴T5=C·(-1)4=15.
4.若在(x+1)4(ax-1)的展开式中,x4的系数为15,则a的值为( )
A.-4B.C.4D.
答案 C
解析 ∵(x+1)4(ax-1)=(x4+4x3+6x2+4x+1)(ax-1),∴x4的系数为4a-1=15,∴a=4.
5.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+an(1-x)n,则a0-a1+a2-…+(-1)nan等于( )
A.(3n-1)B.(3n-2)
C.(3n-2)D.(3n-1)
答案 D
解析 在展开式中,令x=2得3+32+33+…+3n=a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan,
即a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=
=(3n-1).
6.(2015·安徽)7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案).
答案 35
解析 7的展开式的第k+1项为Tk+1=C(x3)7-k·k=C·x21-4k,令21-4k=5,得k=4,∴T5=Cx5=35x5.
7.(2015·重庆)5的展开式中x8的系数是________(用数字作答).
答案
解析 二项展开式通项为Tk+1=C(x3)5-kk=
,令15-=8,解得k=2,因此x8的系数为2C=.
8.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.
答案 10
解析 f(x)=x5=(1+x-1)5,
它的通项为Tk+1=C(1+x)5-k·(-1)k,
T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10.
9.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=________.
答案 6
解析 (x+y)2m展开式中二项式系数的最大值为C,
∴a=C.同理,b=C.
∵13a=7b,∴13·C=7·C.
∴13·=7·.∴m=6.
10.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:
(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7
=-1.①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
(1)∵a0=C=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7==-1094.
(3)(①+②)÷2,
得a0+a2+a4+a6==1093.
(4)方法一 ∵(1-2x)7展开式中,a0、a2、a4、a6大于零,而a1、a3、a5、a7小于零,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1093-(-1094)=2187.
方法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|,
即(1+2x)7展开式中各项的系数和,令x=1,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2187.
B组 专项能力提升
(时间:
30分钟)
11.(2015·湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.29B.210C.211D.212
答案 A
解析 由题意,C=C,解得n=10.则奇数项的二项式系数和为2n-1=29.故选A.
12.若(x+a)2(-1)5的展开式中常数项为-1,则a的值为( )
A.1B.9
C.-1或-9D.1或9
答案 D
解析 由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而(-1)5的展开式通项为Tk+1=(-1)kC·xk-5,其中k=0,1,2,…,5.于是(-1)5的展开式中x-2的系数为(-1)3C=-10,x-1项的系数为(-1)4C=5,常数项为-1,因此(x+a)2(-1)5的展开式中常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.
13.(2014·浙江)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于( )
A.45B.60C.120D.210
答案 C
解析 因为f(m,n)=CC,
所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)
=CC+CC+CC+CC=120.
14.求证:
1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
证明 ∵1+2+22+…+25n-1=
=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
=C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1
=31(C×31n-1+C×31n-2+…+C),
显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数,
∴原式能被31整除.
15.若(+)n展开式中前三项的系数成等差数列,求:
(1)展开式中所有x的有理项;
(2)展开式中系数最大的项.
解 易求得展开式前三项的系数为1,C,C.
据题意得2×C=1+C⇒n=8.
(1)设展开式中的有理项为Tk+1,
由Tk+1=C()8-k()k=
,
∴k为4的倍数,又0≤k≤8,∴k=0,4,8.
故有理项为
,
,
(2)设展开式中Tk+1项的系数最大,则:
()kC≥()k+1C且()kC≥()k-1C⇒k=2或k=3.
故展开式中系数最大的项为
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- 高考 学理 全国 一轮 复习 10 计数 原理 103 文档