高一数学不等式解法经典例题.docx
- 文档编号:16907420
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:50
- 大小:223.67KB
高一数学不等式解法经典例题.docx
《高一数学不等式解法经典例题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学不等式解法经典例题.docx(50页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高一数学不等式解法经典例题
典型例题一
例1解不等式:
(1)2x3
x215x
0;
(2)(x
4)(x
5)2(2
x)30.
分析:
如果多项式
f(x)
可分解为n个一次式的积,则一元高次不等式
f(x)
0(或
f(x)0)可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.
解:
(1)原不等式可化为
x(2x
把方程
5)(x
x(2x
3)0
5)(x3)
0的三个根x
0,x
5,x
3顺次标上数轴.然后从右上
1223
开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.
∴原不等式解集为
x5x
2
0或x3
(2)原不等式等价于
(x4)(x
5)2(x
2)30
x50x5
(x4)(x2)0
x4或x2
∴原不等式解集为xx
5或5x
4或x2
说明:
用“穿根法”解不等式时应注意:
①各一次项中x的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.
典型例题二
例2解下列分式不等式:
(1)31
x2
2;
(2)
x2
x2
3x2
4x11
7x2
分析:
当分式不等式化为
f(x)
0(或
0)时,要注意它的等价变形
g(x)
①f(x)0
g(x)
f(x)
g(x)0
②f(x)0
g(x)
f(x)
g(x)
g(x)0
0f(x)
或0
g(x)
f(x)
0或f(x)
g(x)0
(1)解:
原不等式等价于
3
x2
3(x
x3x0
x2x2x2
2)x(x2)x2
0
5x60
(x2)(x2)(x2)(x2)
(x6)(x1)0
(x2)(x2)
(x6)(x
(x2)(x
1)(x
2)
2)(x2)0
0
用“穿根法”
∴原不等式解集为(
2)
1,26,。
(2)解法一:
原不等式等价于
2
2x3x10
(2x23x1)(3x27x2)
3x27x2
0
2x2
2
3x1
02x2
或2
3x10
3x7x
x1或1
203x7x20
x1或x2
32
∴原不等式解集为(
1)(1,1)
32
(2,)。
解法二:
原不等式等价于
(2x
(3x
1)(x1)0
1)(x2)
(2x
1)(x
1)(3x
1)(x2)0
用“穿根法”
∴原不等式解集为(
1)
3
(1,1)
2
(2,)
典型例题三
例3解不等式x24x2
分析:
解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:
一是根据绝对值的
意义a
a(a0)
a(a0)
二是根据绝对值的性质:
xa
axa,x.a
xa或x
a,因此本题有如
下两种解法.
解法一:
原不等式
x24
x24
0x240
或
x24x2x2
x2或x
即
22x2
或
2xxx2或x1
∴2x3或1x2
故原不等式的解集为
x1x3.
解法二:
原不等式等价于
(x2)x24x2
x24
即
x24
x2
∴
(x2)
2x3
故1
x1或x2
x3.
典型例题四
2
例4解不等式x
12
6x50.
4xx2
分析:
这是一个分式不等式,其左边是两个关于x二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组:
x26x
124x
50x2
2
或
x012
6x50
2
4xx0
所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.解法一:
原不等式等价下面两个不等式级的并集:
x26x
124x
50,x2
或
x2012
6x50,
4xx20
(x1)(x5)
(x2)(x6)
0,(x
或
0;(x
1)(x5)0,
2)(x6)0;
1x5,x
;或
2x6x
1,或x5,
2,或x6
1x5,或x2或x6.
∴原不等式解集是
{xx
2,或1
x5,或x
6}.
解法二:
原不等式化为
(x1)(x5)0.
(x2)(x6)
画数轴,找因式根,分区间,定符号.
(x1)(x
(x2)(x
5)符号
6)
∴原不等式解集是
{xx
2,或1
x5,或x
6}.
说明:
解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.
解法二中,“定符号”是关键.当每个因式x的系数为正值时,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运
用.
典型例题五
例5解不等式
x22x2
x.
32xx2
分析:
不等式左右两边都是含有x的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.
(x2)(x2x1)
解:
移项整理,将原不等式化为0.
(x3)(x1)
由x2x1
0恒成立,知原不等式等价于
(x2)0.
(x3)(x1)
解之,得原不等式的解集为
{x1x
2或x
3}.
说明:
此题易出现去分母得
x22x2
x(3
2xx2)的错误解法.避免误解的方法是移
项使一边为0再解.
另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.
典型例题六
例6设m
R,解关于x的不等式
m2x2
2mx30.
分析:
进行分类讨论求解.
解:
当m
0时,因
30一定成立,故原不等式的解集为R.
当m0时,原不等式化为
(mx
3)(mx1)0;
当m0时,解得3x1;
mm
当m0时,解得1x3.
mm
∴当m
0时,原不等式的解集为
x3x1;
mm
当m0时,原不等式的解集为
x1x3.
mm
说明:
解不等式时,由于mR,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当
m0时,原不等式化为
30,此时不等式的解集为R,所以解题时应分
m0与m0两
种情况来讨论.
在解出
m2x2
2mx3
0的两根为
31
x1,x2
mm
后,认为
31
,这也是易出现的错
mm
误之处.这时也应分情况来讨论:
当
m0时,
31
;当m
mm
31
0时,.
mm
典型例题七
例7解关于x的不等式
2axa
1x(a
0).
2
分析:
先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.
2axa20,
2xa20,
解:
原不等式
(1)1x0,
或
(2)
由a0,得:
(1)
2axa2
xa,2
x1,
(1x)2;
1x0.
(2)
xa,2
x22(a
1)x
a210;
x1.
由判别式
4(a
1)2
4(a21)
8a0
,故不等式x2
2(a
1)xa2
1
0的解是
a12a
xa1
2a.
当0a
2
时,aa1
2
2a1,a1
2a1
,不等式组
(1)的解是
a12ax1,不等式组
(2)的解是x1.
当a2时,不等式组
(1)无解,
(2)的解是xa.
2
综上可知,当0a
2时,原不等式的解集是
a12a,
;当a
2时,原不等式
的解集是a,.
2
说明:
本题分类讨论标准“0a
2,a
2”是依据“已知a
0及
(1)中‘x
a
,x1’,
2
(2)中‘x
a
,x1’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高
2
考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.
本题易误把原不等式等价于不等式
2axa2
(1x).纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式
基本类型的解法.
典型例题八
例8解不等式
4x2
10x33.
分析:
先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.
解答:
去掉绝对值号得3
∴原不等式等价于不等式组
4x2
10x33,
34x210x34x2
10x
0
4x210x334x2
10x
60
2x(2x5)0
x0或x5,
2
2(x
3)(2x1)0
1x3.
2
∴原不等式的解集为
x1x
2
0或5x3.
2
说明:
解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解.
典型例题九
例9解关于x的不等式x2
(aa2)xa30.
分析:
不等式中含有字母a,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法
完全一样:
求出方程
x2(a
a2)xa3
0的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含
有字母a,故需比较两根的大小,从而引出讨论.
解:
原不等式可化为(x
a)(x
a2)0.
(1)当a
a2(即a
1或a
0)时,不等式的解集为:
xxa或x
a2;
(2)当a
a2(即0a
1)时,不等式的解集为:
xxa2或xa;
(3)当a
a2(即a
0或1)时,不等式的解集为:
xxR且xa.
说明:
对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以
分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根
x1a,
x2a2,因此不等式
的解就是x小于小根或x大于大根.但a与
a2两根的大小不能确定,因此需要讨论
aa2,
aa2,aa2三种情况.
典型例题十
例10已知不等式
ax2
bxc
0的解集是x
x(0)
.求不等式
2
cxbx
a0的解集.
分析:
按照一元二次不等式的一般解法,先确定系数c的正负,然后求出方程
cx2
bxa
0的两根即可解之.
解:
(解法1)由题可判断出,是方程
ax2
bxc
0的两根,
∴
又ax2
b
,
a
bxc
c
.
a
0的解集是x
x,说明a0.
而0,0
0c0a
c0,
∴cx2
bxa0
ba
c
a
x2bxc
bc
c1
a
a0.c
1
(1)(
1,
1),
∴x2
即(x
bxc
1)(x
a0,即x2(1c
1)0.
1)x(
1)
(1)0,
又0,∴11,
∴(x
1)(x
1)0的解集为
x1x1.
(解法2)由题意可判断出,是方程
ax2
bxc
0的两根,
c
∴.
a
又ax2
bxc
0的解集是x
x,说明a0.
而0,0
0c0a
c0.
对方程
cx2
bxa
0两边同除以
x2得
12
a()x
1
b()c0.x
令t1,该方程即为
x
at2
btc
0,它的两根为t1
,t2,
∴1,1
x1x2
.∴x1
11
,x2,
∴方程
cx2
bxa
0的两根为1,1.
∵0,∴11.
∴不等式cx
2
bxa
0的解集是x1x1.
说明:
(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;
(2)结合使用韦达定理,本题中只有,是已知量,故所求不等式解集也用,表示,不
等式系数a,b,c的关系也用,表示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.
典型例题十二
例12若不等式xa
xb的解为(
1)(1,)ab
x2x1x2x1
,,求
3
、的值.
分析:
不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于a、b式
子.
解:
∵x2
x1(x
1)2
2
30,
4
x2x1(x
1)230,
24
∴原不等式化为
(2a
b)x2
(ab)xab0.
依题意
a
2ab0
ab1,
2ab3
ab4
2ab3
5
∴2.
b3
2
说明:
解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来
解.
典型例题十三
例13不等式
ax2bx2
0的解集为x
1x2
,求a与b的值.
分析:
此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为x
1x2
,不等式
ax2bx2
0需满足条件a
0,0,
ax2bx
20的两根为x1
1,x22.
解法一:
设ax2bx2
0的两根为
x,x,由韦达定理得:
1
2
b
x1x2
a
2
x1x2
a
∴a1,b
由题意:
1,此时满足a
b
12
a
212
a
0,b2
4a
(2)0.
解法二:
构造解集为x
1x2
的一元二次不等式:
(x1)(x2)
0,即x2x2
0,此不等式与原不等式
ax2bx2
0应为同解不等式,
故需满足:
ab2
112
∴a1,b1.
说明:
本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题,同学往往掌握得不好.
典型例题十四
例14解关于x的不等式
ax2
(a1)x10.
分析:
本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法,因为含有字母系数,所以还考查分类思想.
解:
分以下情况讨论
(1)当a
0时,原不等式变为:
x
10,∴
x
1
(2)当a
0时,原不等式变为:
(ax
1)(x1)
0
①
①当a
②当a
0时,①式变为(x
0时,①式变为(x
1)(x1)
a
1)(x1)
a
0,∴不等式的解为
0.②
x1或
x1.
a
∵11a
1a,∴当0aa
1时,1
a
1,此时②的解为1
1
x.当aa
1
1时,1,a
此时②的解为
1x1.a
说明:
解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:
a0
a0
aR0a1
a0
a0a1
a1
分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题
还要注意在讨论a
0时,解一元二次不等式
ax2
(a1)x1
0应首选做到将二次项系数变
为正数再求解.
典型例题十五
例15解不等式
x23x10
8x.
分析:
无理不等式转化为有理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情
况下,
f(x)
g(x)可转化为
f(x)
g(x)或
f(x)
g(x),而
f(x)
g(x)等价于:
f(x)0
或
g(x)0
f(x)
g(x)
f(x)
0
0.
[g(x)]2
解:
原不等式等价于下面两个不等式组:
8x0
8x0
2
①2
x3x100
②x3x10
2
x3x10
0
2
(8x)
由①得
x8
x5或x
,∴x8
2
由②得∴
x8
x5或x74
x
13.
274x8,
13
所以原不等式的解集为
x74
13
x8或x
8,即为
xx74.
13
说明:
本题也可以转化为
f(x)
g(x)型的不等式求解,注意:
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
0
0,
[g(x)]2
这里,设全集U
{xx2
3x100}
{xx
2或x
5},A
xx2
3x108x,
则所求不等式的解集为A的补集A,
由x2
3x108x
8x0
x23x10
x23x10
0
(8x)2
x2或5x74.
13
即Axx
2或5x
74
,∴原不等式的解集是
13
74
Axx.
13
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 不等式 解法 经典 例题