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实验五
实验五Matlab在概率统计中的应用
一、实验目的
1.掌握简单的随机命令语句和常用分布的常用命令;
2.利用Matlab来解决概率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等问题。
二、实验内容
1.离散型随机变量的概率及概率分布
(1)分布律
二项分布的概率值
格式binopdf(k,n,p)
说明n:
试验总次数;p:
每次试验事件A发生的概率;k:
事件A发生k次。
泊松分布的概率值
格式poisspdf(k,lambda)
说明k:
事件A发生k次;lambda:
参数
超几何分布的概率值
格式hygpdf(K,N,M,n)
说明K:
抽得次品数;N:
产品总数;M:
次品总数;n:
抽取总数.
(2)累积概率值(随机变量X 二项分布的累积概率值 格式binocdf(k,n,p) 说明n: 试验总次数;p: 每次试验事件A发生的概率;k: 事件A发生k次。 泊松分布的累积概率值 格式poisscdf(k,lambda) 说明k: 事件A发生k次;lambda: 参数 超几何分布的累积概率值 格式hygcdf(K,N,M,n) 说明K: 抽得次品数;N: 产品总数;M: 次品总数;n: 抽取总数. 例某机床出次品的概率为0.01,求生产100件产品中: (1)恰有一件次品的概率; (2)至少有一件次品的概率。 解: 此问可看作是100次独立重复试验,每次试验出次品的概率为0.01,恰有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入: >>p=binopdf(1,100,0.01) 显示结果为: p=0.3697 (2)至少有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入: >>p=1-binocdf(1,100,0.01) 显示结果为: p=0.2642 2.连续型随机变量的概率及其分布 (1)概率密度函数值 利用专用函数计算概率密度函数值,如下表。 分布 调用函数 均匀分布 unifpdf(x,a,b) 指数分布 exppdf(x,lambda) 正态分布 normpdf(x,mu,sigma) 分布 chi2pdf(x,n) T分布 tpdf(x,n) F分布 fpdf(x,n1,n2) (2)分布函数 利用专用函数计算累积概率函数值,即 常用专用函数如下表。 分布 调用函数 均匀分布 unifcdf(x,a,b) 指数分布 expcdf(x,lambda) 正态分布 normcdf(x,mu,sigma) 卡方分布 chi2cdf(x,n) T分布 tcdf(x,n) F分布 fcdf(x,n1,n2) 例某公共汽车站从上午7: 00起每15分钟来一班车。 若某乘客在7: 00到7: 30间任何时刻到达此站是等可能的,试求他候车的时间不到5分钟的概率。 解: 设乘客7点过X分钟到达此站,则X在[0,30]内服从均匀分布,当且仅当他在时间间隔(7: 10,7: 15)或(7: 25,7: 30)内到达车站时,候车时间不到5分钟。 故其概率为: P1=P{10 程序: >>formatrat >>p1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30); >>p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30); >>p=p1+p2 则结果显示为: p=1/3 3数字特征 (1)数学期望 离散型随机变量X的期望计算 求和函数: sum(X) 说明: 若X为向量,则sum(X)为X中的各元素之和,返回一个数值;若X为矩阵,则sum(X)为X中各列元素之和,返回一个行向量。 求均值函数: mean(X) 说明: 若X为向量,则sum(X)为X中的各元素的算术平均值,返回一个数值;若X为矩阵,则sum(X)为X中各列元素的算术平均值,返回一个行向量 例随机抽取6个滚珠测得直径(mm)如下: 14.7015.2114.9014.9115.3215.32 试求样本平均值。 程序: >>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32]; >>mean(X) 则结果显示如下: ans=15.0600 连续型随机变量的期望 例已知随机变量X的概率 求EX和E(4X-1)。 程序: >>symsx >>EX=int(x*3*x^2,0,1) >>EY=int((4*x-1)*3*x.^2,0,1) 运行后结果显示如下: EX=3/4 EY=2 (2)方差 离散型随机变量的方差及样本方差 方差 设X的分布律为 由 则方差DX=sum(X.^2*P)-(EX).^2 标准差: 二维随机变量的数字特征 (1)期望 根据二维随机变量期望的定义构造函数计算。 下面分别就离散和连续的情况举例说明。 例设(X,Y)的联合分布为 XY -1 1 2 -1 5/20 2/20 6/20 2 3/20 3/20 1/20 Z=X-Y,求EZ。 程序: >>X=[-12]; >>Y=[-112]; >>fori=1: 2 forj=1: 3 Z(i,j)=X(i)-Y(j); end end >>P=[5/202/206/20;3/203/201/20]; >>EZ=sum(sum(Z.*P))%将Z与P对应相乘相加 运行结果显示如下: EZ=-0.5000 (2)协方差 Matlab提供了求协方差的函数: cov(X)%X为向量时,返回此向量的方差;X为矩阵时,返回此矩阵的协方差矩阵 cov(X,Y)%返回X与Y的协方差,X与Y同维数 cov(X,0)%返回X的样本协方差,置前因子为1/(n-1) cov(X,1)%返回X的协方差,置前因子为1/n (3)相关系数 Matlab提供了求相关系数的函数。 corrcoef(X,Y)%返回列向量X,Y的相关系数 corrcoef(X)%返回矩阵X的列向量的相关系数矩阵 4.参数估计 点估计 样本数字特征法 样本均值: mx=1/n*sum(x) 样本方差: ss=1/(n-1)*sum((x-mx).^2) 5.假设检验 在Matlab中,假设检验问题都提出两种假设: 即原假设和备择假设。 对于正态总体均值的假设检验给出了检验函数: ztest已知,检验正态总体均值; ttest未知,检验正态总体均值; ttest2两个正态总体均值比较。 对于一般连续型总体一致性的检验,给出了检验方法—秩和检验,由函数ranksum实现。 (1)单个正态总体N()的假设检验 已知,对期望的假设检验—Z检验法 调用函数H=ztest(X,m,sigma) H=ztest(X,m,sigma,alpha) [H,sig,ci]=ztest(X,m,sigma,alpha,tail) 说明: X: 样本;m: 期望值;sigma: 正态总体标准差;alpha: 经验水平; tail: 备择假设的选项,若tail=0(缺省),则; 若tail=1,则;若tail=-1,则。 即tail=0(缺省)为双边检验,其余为单边检验问题。 H: 检验结果,分两种情况: 若H=0,则在水平下,接受原假设;若H=1,则在水平下,拒绝原假设。 sig为当原假设为真时(即成立),得到观察值的概率,当sig为小概率时,则对原假设提出质疑。 Ci: 均值的1-alpha置信区间。 未知,对期望的假设检验—t检验法 调用函数: H=ttest(X,m,sigma) %在水平=sigma下检验是否成立。 说明: X: 样本;m: 期望值;alpha: 经验水平; tail: 备择假设的选项,若tail=0(缺省),则备择假设为;若tail=1,则;若tail=-1,则。 即tail=0(缺省)为双边检验,其余为单边检验问题。 H: 检验结果,分两种情况: 若H=0,则在水平下,接受原假设;若H=1,则在水平下,拒绝原假设。 sig为当原假设为真时(即成立),得到观察值的概率,当sig为小概率时,则对原假设提出质疑。 Ci: 均值的1-alpha置信区间。 例某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布,均未知,现测得16只元件寿命如下: 159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解: 未知,在水平=0.05下检验假设: 程序: >>X=[159280101212224379179264222362168250149260485170]; >>[H,SIG]=ttest(X,225,0.05,1) 运行后显示结果如下: H=0 SIG=0.2570 结果表明: H=0,说明在水平=0.05下,应接受原假设,即认为元件的平均寿命不大于225小时。 (2)两个正态总体均值差的检验(t检验) 调用函数[h,sig,ci]=ttest(X,Y) [h,sig,ci]=ttest(X,Y,alpha) [h,sig,ci]=ttest(X,Y,alpha,tail) 说明: 原假设为: 当tail=0时,表示(缺省);当tail=1时,表示;当tail=-1时,表示。 为X,Y的期望,h,sig,ci与前面相同。 三、作业 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一平炉上进行的。 每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同。 先用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼10炉,其得率分别为 标准方法: 78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3 新方法: 79.181.077.379.180.079.177.380.282.1 设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体 N()和N(),均未知。 问建议的新方法能否提高得率? (取=0.05)
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- 实验