二次三项式的因式分解用公式法九年级数学教案模板.docx
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二次三项式的因式分解用公式法九年级数学教案模板
二次三项式的因式分解(用公式法)_九年级数学教案_模板
一、教学目标 1.使学生理解二次三项式的意义;知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系;
2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式;
3.通过二次三项式因式分解方法的推导,进一步启发学生学习的兴趣,提高他们研究问题的能力;
4.通过二次三项式因式分解方法的推导,进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律,即由一般到特殊,再由特殊到一般;
5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式,渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:
用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点:
一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点:
一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法:
二次三项式能分解因式
二次三项式不能分解
二次三项式分解成完全平方式
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)写出关于x的二次三项式?
(2)将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①;②;③。
由③感觉比较困难,引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解
(1)引入:
观察上式①,②,③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①;
解:
原式变形为。
∴ ,
②;
解原方程可变为
观察以上各例,可以看出1,2是方程的两个根,而,……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
(2)推导出公式
设方程的两个根为,那么,
∴
这就是说,在分解二次三项式的因式时,可先用公式求出方程的两个根,然后写成
教师引导学生从具体的数字系数的例子,观察、探索结论,再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导,由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般,再由一般到特殊。
(3)公式的应用
例1 把分解因式
解:
∵ 方程的根是
教师板书,学生回答。
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的,目的是化简①。
练习:
将下列各式在实数范围因式分解。
(1);
(2)
学生板书、笔答,评价。
例2 用两种方程把分解因式。
方法一,解:
方法二,解:
,
方法一比方法二简单,要求学生灵活选择,择其简单的方法。
练习:
将下列各式因式分解。
学生练习,板书,选择恰当的方法,教师引导,注意以下两点:
(1)要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系,例如方程,可变形为;但将二次三项式分解因式时,就不能将变形为。
例如用求根公式求得的两个根是后,得出这就错了,这是因为丢掉了系数2。
(2)还要注意符号方面的错误,比如下面的例子如果写成也是错误的。
(3)一元二次方程当时,方程有两个实根。
当时,方程无实根。
这就决定了:
当时,二次三项式在实数范围内可以分解;当时,二次三项式在实数范围内不可以分解。
(二)总结、扩展
1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根,再将写成形式。
2.二次三项式因式分解的条件是:
当,二次三项式在实数范围内可以分解;时,二次三项式在实数范围内不可以分解。
3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程,培养学生的探索精神,激发学生的求知欲望,对学生进行辩证唯物主义思想教育,渗透认识事物的一般规律。
四、布置作业
教材P38A1,2。
五、板书设计
14.1确定与不确定
教学目标:
(一)知识技能目标:
1初步感受有些事件的发生是不确定的,有些事件的发生是确定的。
2会区分生活中的必然事件、不可能事件和随机事件。
3在经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程中,让学生学会合作交流。
(二)过程方法目标:
通过实际情境让学生认知生活中有确定事件和随机事件,结合合作探索活动让学生建立数学知识模型并运用于生活、服务于生活。
(三)情感态度目标:
激发学生的探索精神与创造力,建立起学习数学的信心,感受数学的无限乐趣。
教学重点:
正确理解、区分生活中与数学中的必然事件、不可能事件和随机事件。
教学难点:
区分生活中的事件类型,做出合理决策。
教学过程:
一联系实际创设情境引入新课
1教师出示乒乓球,引出下例:
2某次国际乒乓球比赛中,中国选手甲和乙进入最后的决赛,那么该项比赛的
(1)冠军属于中国吗?
(2)冠军属于外国选手吗?
(3)冠军属于中国选手甲吗?
(通过学生熟悉而又简单的问题让学生感知生活中的现象,从而激发兴趣,引入新课)
3通过学生的回答引出课题《确定与不确定》
二感知生活中的确定与不确定
说一说:
(1)生活中有哪些事情是我们确定的?
(2)生活中有哪些事情是我们不确定的?
(小组讨论,让学生联系生活,再次感知,从而进一步激发兴趣)
三建立数学知识模型(通过上述学生的举例感知生活中的确定与不确定事情,从而给出三种事件的概念,让学生更容易理解)
在特定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这样的事情是不可能事件.
在特定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这样的事情是必然事件.
在特定条件下,生活中有很多事情事先无法确定它会不会发生,这样的事情是随机事件.
四知识理解 把握本质
练习:
下列事件中哪些是不可能事件,那些是必然事件,那些是随机事件?
1.抛掷一个均匀的骰子,6点朝上。
2.打开电视,它正在播广告。
3.小明家买彩票将获得500万元彩票大奖。
4.明天一定下雨。
5.妇幼保健院,下一个出生的婴儿是女孩子。
6.1+3>2
7.三角形三个内角的和是180度。
8.如果a,b都是有理数,那么ab=ba
(对于概念的学习,要通过多次感知,不断强化,在初步感知概念后,要通过及时的辨别分析,真正认识概念的本质)
(通过第七、八两小题让学仿照再举几例,使学生认识到以前所学习的大量的公式、法则等一般来说都是必然事件。
)
五分组学习,其乐融融
1小组竞赛:
分别举出生活的必然事件、不可能事件和随机事件(将全班同学分成三组,分别举出必然事件、不可能事件和随机事件,通过活动更加深了对概念的理解,也调动了学生的兴趣)
2数学实验室:
摸球游戏:
规则:
共有15个白球,5个黑球.每次只能摸5个球,摸到5个黑球为一等奖,依次类推.
(1)学生动手摸奖,体会中奖的可能性,感受到身边的事情.
(2)设计游戏:
你能仿照上面的游戏自己设计几个游戏吗?
(一个是必然事件,一个是不可能事件,一个是随机事件)
(联系生活实际,体会生活中处处有数学,学有用的数学)
(用学生非常感兴趣的摸奖,既能加深对三种事件的理解,又能调动学生的积极性,活跃课堂气氛,同时也为下面的可能性埋下伏笔)
六六 故事:
《田忌赛马》
齐王和田忌都有上等马、中等马和下等马3种,可是田忌的各个等级的马都比齐王同等级的马差一些?
想一想:
田忌和齐王赛马是否一定会输?
为什么?
七 观察分析探究
改变开头例子中的条件:
(1)如果进入决赛的是两个外国人问题如何回答?
(2)如果进入决赛的一个中国人,一个外国人问题又如何回答呢?
通过例子发现必然事件,不可能事件,随机事件三者在一定条件下可以相互转化,让学生体会概念中的“特定条件”。
八 小结:
通过本节课的学习你有什么感受?
九 课后练习:
1用适当的语言来表示下列词语所反映的事件发生情况?
东边日出西边雨 十拿九稳 大海捞针 海枯石烂
2小名、小芳和小圆每人各买一瓶饮料,在供购买的20瓶饮料中,有两瓶已经过了保质期.请根据以上这段话,设计一个不可能事件,一个必然事件,一个随机事件?
十 板书设计:
确定与不确定
不可能事件
确定事件
必然事件
随机事件---不确定事件---可能会发生,也可能不会发生
三种事件在一定条件下可以相互转化
初三(上)第一学月考试数学试题(B)
一、选择题:
(14×3分=42分
1、Rt△ABC中,∠C=900,AC=5,BC=12,则其外接圆半径为( )
A、5 B、12 C、13 D、6.5
2、一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0所有实数根之和为( )
A、2 B、—4 C、4 D、3
3、在Rt△ABC中,∠C=900,a、b、c为三边,则下列等式中不正确的是( )
A、a=csinA B、a=bcotB C、b=csinB D、c=
4、下列语句中,正确的有( )个
(1)三点确定一个圆.
(2)平分弦的直径垂直于弦
(3)长度相等的弧是等弧.(4)相等的圆心角所对的弧相等
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
5、下列结论中正确的是( )
A、若α+β=900,则sinα=sinβ; B、sin(α+β)=sinα+sinβ
C、cot470-cot430>0
D、Rt△ABC中,∠C=900,则sinA+cosA>1,sin2A+sin2B=1
6、过⊙O内一点M的最长弦为4cm,最短弦为2cm,则OM的长为( )
A、 B、 C、1 D、3
7、a、b、c是△ABC的三边长,则方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是( )
A、没有实数根 B、有二个异号实根
C、有二个不相等的正实根 D、有二个不相等的负实根
8、已知⊙O的半径为6cm,一条弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角是( )
A、300 B、600 C、600或1200 D、300或1500
9、关于x的方程x2-2(1-k)x+k2=0有实数根α、β,则α+β的取值范围是( )
A、α+β≥1 B、α+β≤—1 C、α+β≥ D、α+β≤
10、设方程x2-x-1=0的二根为x1、x2,则x12、x22为二根的一元二次方程是( )
A、y2+3y+1=0 B、y2+3y-1=0 C、y2-3y-1=0 D、y2-3y+1=0
11、若x1≠x2,且x12-2x1-1=0,x22-2x2-1=0,则x1x2的值为( )
A、2 B、-2 C、1 D、-1
12、要使方程组 有一个实数解,则m的值为( )
A、 B、±1 C、± D、±3
13、已知cosα=,则锐角α满足( )
A、00<α<300 ;B、300<α<450;C、450<α<600;D、600<α<900
14、如图,C是上半圆上一动点,作CD⊥AB,CP平分∠OCD交⊙O于下半圆P,则当C点在上半圆(不包括A、B二点)移动时,点P将( )
A、随C点的移动而移动;B、位置不变;C、到CD的距离不变;D、等分
二、填空题(4×3分=12分)
1、某人上坡走了60米,实际升高30米,则斜坡的坡度i=_______.
2、如图,一圆弧形桥拱,跨度AB=16m,拱高CD=4m,则桥拱的半径是______m.
3、在实数范围内分解因式:
x2y-xy-y=____________________。
4、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解是
,试写出一个符合以上要求的方程组:
_______________.
三、解答题(1—4题,每题5分,5—6题,每题6分,7—8题,每题7分,总分46分)
1、(5分)如图:
在△ABC中,已知∠A=α,AC=b,AB=c.
(1)求证:
S△ABC=bcsinA.
(2)若∠A=600,b=4,c=6,求S△ABC和BC的长。
2、(5分)用换元法解分式方程:
-4x2+7=0.
3.(5分)解方程组:
4、(5分)如图,AB=AC,AB是直径,求证:
BC=2·DE.
5、(7分)如图,DB=DC,DF⊥AC.求证:
①DA平分∠EAC;②FC=AB+AF.
6、(7分)矩形的一边长为5,对角线AC、BD交于O,若AO、BO的长是方程
x2+2(m-1)x+m2+11=0的二根,求矩形的面积。
7、(7分)已知关于x的方程x2-2mx+n2=0,其中m、n是一个等腰△的腰和底边的长。
(1)求证:
这个方程有二个不相等的实数根。
(2)若方程的二根x1、x2满足丨x1-x2丨=8,且等腰三角形的面积为4,求m、n的值。
8、(5分)如果一元二次方程ax2+bx+c=0的二根之比为2:
3,试探索a、b、c之间的数量关系,并证明你的结论。
参考答案:
DDDAD,ADCAD,DBDB.
二.
1:
1;
10;
y(x-)(x-);
.
三.
1.
(1)作BD⊥AC于D,则
sinA=,
∴BD=c·sinA,
∵SΔABC=AC·BD
∴SΔABC=bcsinA.
(2)SΔABC=bcsinA
=×4×6×sin600
=6.
2.原方程变为
设=y,则原方程变为
-2y+1=0,即2y2-y-1=0.
∴y=1或y=-.
当y=1时,2x2-3=1,x=±2.
当y=-时,2x2-3=-,x=±.
经检验,原方程的根是±2,±.
3.由
(2)得(2x+y)(x-3y)=0.
∴y=2x或x=3y.
∴原方程组化为
或
用代入法分别解这两个方程组,
得原方程组的解为
,,.
4.连结AD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=900.
∵AB=AC,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD.
∴,
∴BD=DE.
∴BD=DE=DC.
∴BC=2DE.
5.
(1)∵DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠DBC=∠DAC,∠DCB=∠DAE,
∴∠DAE=∠DAC,
∴AD平分∠EAC.
(2)作DG⊥AB于G.
∵DF⊥AC,AD=AD,∠DAE=∠DAC,
∴ΔAFD≌ΔAGD,
∴AF=AG,DG=DF,
∵DB=DC,
∴ΔDBG≌ΔDCF,
∴GB=FC,
即FC=GA+AB,
∴FC=AF+AB.
6.∵矩形ABCD中,AO=BO,
而AO和BO的长是方程的两个根,
∴Δ=(2m-2)2-4(m2+11)=0
解得m=-5.
∴x2-12x+36=0,
∴x1=x2=6,即AO=BO=6,
∴BD=2BO=12,
∴AB=,
∴S矩形ABCD=5.
7.
(1)∵m和n是等腰三角形的腰和底边的长,
∴2m+n>0,2m-n>0,
∴Δ=4m2-n2=(2m+n)(2m-n)>0,
∴原方程有两个不同实根.
(2)∵丨x1-x2丨=8,
∴(x1-x2)2=64,
即(x1+x2)2-4x1x2=64,
∵x1+x2=2m,x1x2=n2,
∴4m2-n2=64. ①
∵底边上的高是
∴. ②
代入②,得n=2.
n=2代入①,得m=.
8.结论:
6b2=25ac.
证明:
设两根为2k和3k,则
由
(1)有k=- (3)
(3)代入
(2)得 6×,
化简,得 6b2=25ac.
教学设计示例1 课题:
二次函数的图象
教学目标:
1、会用描点法画出二次函数的图象;
2、根据图象观察、分析出二次函数的性质;
3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识
4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点;
5、渗透数形结合的数学思想方法,培养观察能力和分析问题的能力;
6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.
教学重点:
根据图象,观察、分析出二次函数的性质
教学难点:
渗透数形结合的数学思想方法
教学用具:
直尺、微机
教学方法:
谈话、探究式
教学过程():
1、列表、描点画出函数与的图象,引入新课
例:
画出函数与的图象
解:
列两个表
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
分别描点画图
2、根据图象发现问题,由学生探索出新知识.
提问:
你能从图象中发现抛物线是哪些性质?
这两个函数图象有何异同?
(1)这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出,时所对应的y值分别相等,如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论:
互为相反数的两个数的平方数相等,因此,这两个函数的图象都是关于y轴对称的.
(2)从图中可以看出,x可取x轴上的任意一点,而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点(0,0).这一点可以从解析式中得到很好的解释,可取
任意实数.图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索,它们是互相对应的,反映了数形结合的思想.
(3)从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数,这两个函数的图象都是直线,而抛物线是曲线,有一个拐弯,函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧,从左向右呈下坡趋势,即y随x的增大而减小;在y轴的右侧,从左向右,呈上坡趋势,即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.
(4)这两个图象除以上相同之处外,还有不同的地方.如:
离y轴近,离y轴远.从列表中可以看出:
如过点(2,2),而过点(2,8)也就是说,当x=2时,的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论.
3、画出函数的图象
与中的a都是正数,当a 我们看例2
例2、画出函数的图象
解:
列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
描点画图:
4、从函数图象入手,再次总结二次函数的性质
(1)与刚才两个图象不同的是,的图象开口向下.这是因为x是任意实数,,即,因此,开口会向下.图象有最高点(0,0)
(2)此图象仍然是关于y轴对称的
(3)在y轴的左侧,y随x的增大而增大;在y轴的右侧,y随x的增大而减小
5、得出一般的规律
一般地,抛物线的对称轴是y轴,顶点是原点,当a>0时,抛物线的开口向上,当a 6、小结:
这一节课,从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数的性质,体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具,希望大家能自觉地应用.
7、作业:
习题13.6A组1、2B组1、2
教学设计示例2
课题:
二次函数的图象
第一课时
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生知道二次函数的意义;
2.使学生会用描点法画出二次函数的图像,并结合的图像,初步理解抛物线及其有关概念。
(二)能力训练点
1.进一步培养学生用描点法画函数图像的能力;
2.向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。
(三)德育渗透点
通过对几个特殊的二次函数的讲解,向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。
(四)美育渗透点
通过本节课的教学,渗透二次函数图像的对称美,曲线的平滑美。
二、学法引导
教师采用引导发现法,观察法,讲解法
本节的主要内容是理解二次函数的定义,知道二次函数解析式中字母的意思,在画的图像时,要知道图形是抛物线,是轴对称图形、列表时,自变量x的值的选取,应以0为中心,对称地选取两对(或三对)互为相反数,最好x取整数值。
三、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:
二次函数的意义及二次函数的图像的画法。
因为它们是研究二次函数的重要基础。
2.教学难点:
正确画出二次函数的图像。
因为它的图像是一条曲线,画起来较复杂,而且学生在画图之前,尚不清楚二次函数的图像的具体形状和变化趋势,所以不易把握。
3.教学疑点:
(1);
(2)的图像的反性质。
4.解决办法:
(1)关于二次函数的定义,关键要注意:
自变量的最高次数定义,二次项系数;
(2)的图像和性质,不可死记硬背,要结合图像理解和掌握二次函数的几个主要特征,如开口方向,顶点坐标(或位置),对称轴,最大值最小值等。
四、教学步骤
(一)教学过程()
首先,我们来看两个实验问题:
(出示幻灯)
1.圆的半径是R,它的面积为S,你能否写出S与R之间的函数关系式?
这个问题由学生举手回答,可找层次较低的学生完成,培养他们的参与意识和自信心。
然后把答案写在黑板上留用。
2.已知一个矩形场地的周长是60,一边长为l,请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。
这个问题其实就是13.2中的例1,可由学生得出结论,若学生给出的是,再继续提问:
你能否把函数关系式中的括号去掉?
然后把所得的结论写在黑板上。
提问:
比较与这两个函数,都是用自变量的几次式来表示的?
用这个问题,引出二次函数,在学生回答之后,教师加以总结,板书:
一般地,如果(a、b、c是常数,),那么,y叫做x的二次函数。
提问:
1.上述概念中的a为什么不能是0?
2.对于二次函数中的b和c可否为0?
若b和c其一为0或均为0,上述函数的式子可以改写成怎样?
你认为它们还是不是二次函数?
3.由问题1和2,你能否总结:
一个函数是否是二次函数,关键看什么?
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解,也同时给出了二次函数的三个特例:
;;,使学生深刻理解:
看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0.
4.二次函数的解析式,与我们所学过的什么知识相类似?
通过这个问题,使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可,为以后的教学
做好铺垫.
练习一:
P108中1、2 口答,注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因
提问:
根据我们所学知道,一次函数的图像是条直线,那么二次函数的图像又是什么样的呢?
这个问题主要是为了引起学生的兴趣,不必回答,教师也不用给出答案.
我们研究任何问题都最好由最简单的入手,根据刚才对二次函数的介绍,你认为最简单的二次函数是什么?
这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究.另一方面也使同学认识到研
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