线性代数重要知识点讲解.docx
- 文档编号:16801183
- 上传时间:2023-07-17
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:20.59KB
线性代数重要知识点讲解.docx
《线性代数重要知识点讲解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数重要知识点讲解.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
线性代数重要知识点讲解
线性代数重要知识点讲解
1、行列式
1.n行列式共有2n个元素,展开后有!
n项,可分解为2n行列式;
2.代数余子式的性质:
①、ijA和ija的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:
(1)
(1)ijijijijijijMAAM++=-=-
4.设n行列式D:
将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D,则
(1)2
1
(1)
nnDD-=-;将D顺时针或逆时针旋转90
所得行列式为2D,则
(1)2
2
(1)nnDD-=-;
将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D,则3DD=;
将D主副角线翻转后,所得行列式为4D,则4DD=;5.行列式的重要公式:
①、主对角行列式:
主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:
副对角元素的乘积
(1)2
(1)
nn-⨯-;
③、上、下三角行列式(=◥◣):
主对角元素的乘积;④、◤和◢:
副对角元素的乘积
(1)2
(1)nn-⨯-;
⑤、拉普拉斯展开式:
AOACA
B
CBOB==、
(1)mnCAOA
ABBOBC
==-⑥、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;
6.对于n阶行列式A,恒有:
1
(1)n
n
knkkkEASλλλ-=-=+-∑,其kS为k阶主子式;
7.证明0A=的方法:
①、AA=-;②、反证法;
③、构造齐次方程组0Ax=,证明其有非零解;④、利用秩,证明()rAn<;⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵:
⇔0A≠(是非奇异矩阵);⇔()rAn=(是满秩矩阵)⇔A的行(列)向量组线性无关;⇔齐次方程组0Ax=有非零解;⇔nbR∀∈,Axb=总有唯一解;⇔A与E等价;
⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
⇔A的特征值全不为0;⇔TAA是正定矩阵;
⇔A的行(列)向量组是nR的一组基;
⇔A是nR某两组基的过渡矩阵;
2.对于n阶矩阵A:
**AAAAAE==无条件恒成立;
3.
1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA----===***
111()()()TTT
ABBAABBAABBA---===
4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
5.关于分块矩阵的重要结论,其均A、B可逆:
若12
sAAAA⎛⎫⎪
⎪=⎪⎪⎝
⎭
则:
Ⅰ、12sAAAA=;Ⅱ、1111
2
1sAAAA----⎛⎫⎪
⎪=⎪⎪⎪⎝
⎭
;②、1
11AOAOOBOB---⎛⎫
⎛⎫
=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
;(主对角分块)③、1
11OAOBBOA
O---⎛⎫
⎛⎫=⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
;(副对角分块)④、1
1111ACAACBOBO
B-----⎛⎫
-⎛⎫=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
;(拉普拉斯)⑤、1
111
1AOAOCBBCA
B-----⎛⎫
⎛⎫
=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个mn⨯矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:
r
mn
E
OFO
O⨯⎛⎫
=⎪⎝⎭;等价类:
所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵A、B,若()()rArBAB=⇔;2.行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3.初等行变换的应用:
(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、若(,)(,)r
AEEX,则A可逆,且1XA-=;
②、对矩阵(,)AB做初等行变化,当A变为E时,B就变成1AB-,即:
1(,)(,)c
ABEAB-~;
③、求解线形方程组:
对于n个未知数n个方程Axb=,如果(,)(,)r
AbEx,则A可逆,且1xAb-=;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、12
n⎛⎫
⎪
⎪Λ=⎪⎪⎝
⎭
λλλ,左乘矩阵A,iλ乘A的各行元素;右乘,i
λ乘A的各列元素;
③、对调两行或两列,符号(,)Eij,且1(,)(,)EijEij-=,例如:
1
111111-⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
;
④、倍乘某行或某列,符号(())Eik,且1
1
(())
(())EikEik-=,例如:
11
11
(0)11kkk-⎛⎫⎛⎫⎪
⎪⎪=≠⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
;⑤、倍加某行或某列,符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk-=-,如:
1
11
11(0)11kkk--⎛⎫⎛⎫⎪⎪
=≠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
;
5.矩阵秩的基本性质:
①、0()min(,)mnrAmn⨯≤≤;
②、()()TrArA=;
③、若AB,则()()rArB=;
④、若P、Q可逆,则()()()()rArPArAQrPAQ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB≤≤+;(※)⑥、()()()rABrArB+≤+;(※)⑦、()min((),())rABrArB≤;(※)
⑧、如果A是mn⨯矩阵,B是ns⨯矩阵,且0AB=,则:
(※)Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX=解(转置运算后的结论);
Ⅱ、()()rArBn+≤
⑨、若A、B均为n阶方阵,则()()()rABrArBn≥+-;
6.三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:
一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如101001acb⎛⎫⎪
⎪⎪⎝⎭
的矩阵:
利用二项展开式;
二项展开式:
0111
1110
()n
n
n
nmnm
m
nnnn
mmnm
n
n
n
n
n
nmabCaCabCabC
ab
CbCab-----=+=++++++=∑;
注:
Ⅰ、()nab+展开后有1n+项;
Ⅱ、0
(1)
(1)!
1123!
()!
--+==
==-mnnnnnnnmnCCCmmnm
Ⅲ、组合的性质:
11
1
1
2---+-===+==∑n
m
nmm
mmrn
rrn
n
nnn
n
nnrCCC
CC
C
rCnC;③、利用特征值和相似对角化:
7.伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:
*()()1
()10()1
n
rAnrArAnrAn=⎧⎪
==-⎨⎪<-⎩
;②、伴随矩阵的特征值:
*1*(,)A
A
AXXAAAAXXλλ
λ
-==⇒=
;
③、*1AAA-=、1
*nAA
-=
8.关于A矩阵秩的描述:
①、()rAn=,A有n阶子式不为0,1n+阶子式全部为0;(两句话)
②、()rAn<,A有n阶子式全部为0;③、()rAn≥,A有n阶子式不为0;
9.线性方程组:
Axb=,其A为mn⨯矩阵,则:
①、m与方程的个数相同,即方程组Axb=有m个方程;
②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb=为n元方程;10.线性方程组Axb=的求解:
①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;③、特解:
自由变量赋初值后求得;
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
①、11112211211222221122nnnnmmnmnn
axaxax
baxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩;②、111211121
222221
2
nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxb
aaax
b⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪=⇔=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(向量方程,A为mn⨯矩阵,m个方程,n个未知数)
③、()121
2
nnxxa
aaxβ
⎛⎫
⎪⎪=⎪
⎪
⎝⎭
(全部按列分块,其12nbbbβ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭);④、1122nnaxaxaxβ+++=(线性表出)
⑤、有解的充要条件:
()(,)rArAnβ=≤(n为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A:
12,,,mααα构成nm⨯矩阵12(,,,)mA=ααα;m个n维行向量所组成的向量组B:
12,,,TTT
mβββ构成mn⨯矩阵12TTTmBβββ⎛⎫
⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭
;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2.①、向量组的线性相关、无关0Ax⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出Axb⇔=是否有解;(线性方程组)③、向量组的相互线性表示AXB⇔=是否有解;(矩阵方程)
3.矩阵mnA⨯与lnB⨯行向量组等价的充分必要条件是:
齐次方程组0Ax=和0Bx=同解;(101P例14)
4.()()TrAArA=;(101P例15)
5.
n维向量线性相关的几何意义:
①、α线性相关⇔0α=;
②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);
③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面;
6.线性相关与无关的两套定理:
若12,,,sααα线性相关,则121,,,,ssαααα+必线性相关;
若12,,,sααα线性无关,则121,,,sααα-必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r维向量组A的每个向量上添上nr-个分量,构成n维向量组B:
若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:
无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs≤;
向量组A能由向量组B线性表示,则()()rArB≤;向量组A能由向量组B线性表示
AXB⇔=有解;
()(,)rArAB⇔=
向量组A能由向量组B等价()()(,)rArBrAB⇔==
8.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lPPP,使12lAPPP=;
①、矩阵行等价:
~r
ABPAB⇔=(左乘,P可逆)0Ax⇔=与0Bx=同解
②、矩阵列等价:
~cABAQB⇔=(右乘,Q可逆);③、矩阵等价:
~ABPAQB⇔=(P、Q可逆);9.
对于矩阵mnA⨯与lnB⨯:
①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;
②、若A与B行等价,则0Ax=与0Bx=同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;④、矩阵A的行秩等于列秩;10.
若mssnmnABC⨯⨯⨯=,则:
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,TA为系数矩阵;(转置)
11.
齐次方程组0Bx=的解一定是0ABx=的解,考试可以直接作为定理使用,而无需证明;①、0ABx=只有零解0Bx⇒=只有零解;
②、0Bx=有非零解0ABx⇒=一定存在非零解;
12.设向量组12:
,,nrrBbbb⨯可由向量组12:
,,nssAaaa⨯线性表示为:
1212(,,,)(,,,)rsbbbaaaK=(BAK=)
其K为sr⨯,且A线性无关,则B组线性无关()rKr⇔=;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:
()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr==≤≤∴=;充分性:
反证法)
注:
当rs=时,K为方阵,可当作定理使用;
13.①、对矩阵mnA⨯,存在nmQ⨯,mAQE=()rAm⇔=、Q的列向量线性无关;
②、对矩阵mnA⨯,存在nmP⨯,nPAE=()rAn⇔=、P的行向量线性无关;14.12,,,sααα线性相关
⇔存在一组不全为0的数12,,,skkk,使得11220sskkkααα+++=成立;(定义)
⇔1212(,,,)0ssxxxααα⎛⎫⎪
⎪=⎪⎪⎝⎭
有非零解,即0Ax=有非零解;
⇔12(,,,)srsααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15.设mn⨯的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组0Ax=的解集S的秩为:
()rSnr=-;16.若*η为Axb=的一个解,12,,,nrξξξ-为0Ax=的一个基础解系,则*12,,,,nrηξξξ-线性无关;
5、相似矩阵和二次型
1.正交矩阵TAAE⇔=或1TAA-=(定义),性质:
①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0
Tijij
aaijnij
=⎧==⎨
≠⎩;②、若A为正交矩阵,则1TAA-=也为正交阵,且1A=±;③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:
求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;2.施密特正交化:
12(,,,)raaa
11ba=;
1222111[,][,]bababbb=-
121
121
112211[,][,][,][,][,][,]rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb----
=----;3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B;
⇔=PAQB,P、Q可逆;()()⇔=rArB,A、B同型;
②、A与B合同⇔=TCACB,其可逆;
⇔TxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数;
③、A与B相似1-⇔=PAPB;
5.相似一定合同、合同未必相似;
若C为正交矩阵,则TCACB=⇒AB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6.A为对称阵,则A为二次型矩阵;7.n元二次型TxAx为正定:
A⇔的正惯性指数为n;
A⇔与E合同,即存在可逆矩阵C,使TCACE=;A⇔的所有特征值均为正数;A⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0iiaA⇒>>;(必要条件)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 重要 知识点 讲解