初三数学几何综合题专题复习练习docx.docx
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初三数学几何综合题专题复习练习
—、几何综合题特点:
解证几何综合问题:
就是从逻辑推理和定量计算的角度来探求新的、未知的结论.通俗地讲就是创造条件实现由已知向未知的转化.综合题是知识、方法、能力综合型试题,具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突现数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.
纯几何综合题包括:
1.利用圆的知识可以隐含三角形,形成与直角三角形结合的问题,其中包括求线段长、求角度、求阴影部分的面积以及图形面积问题(不能排除直线形问题)
2.图形变换问题:
这是一个独立形成综合题问题的知识点.几何综合题以几何图形的位置,元素之间的关系为核心.以直线或者圆为支撑点,包括多个知识点,多种解题思想方法,多步骤等特点,多为探讨几何本质:
研究平面几何图形在运动变化过程中的不变性质和不变量,或者变化规律的问题.
二、中考对几何综合题的考查方面:
连续运动变化过程中,不变结论或者变化规律的探究,特定状态的定量计算;点的轨迹特征.
三、常见几何综合题的入手点:
1.题目的背景都是几何变换,而且不止是一种变换
2.考察学生根据文字描述准确作图的能力
3.采用“问题探究一问题解决”的模式展开问题,立意新颖,构思巧妙,设问起点低,坡度大,难点分散,各小题之间承接性强,层层深入,第一问到第二问按特殊到一般的思想融入,入手自然,深入不难
4.多以常见的全等结构为基础加以变化、引申呈现出题目,多有一定的新颖性和探究性,往往需要转化或还原成一些基本图形,所得图形都是学生做过多次、教师重点讲解过的基本图形。
探究性体现出“去模式化”的命题思路,转化和还原的基本图形和基本结构则是“模式化'的
四、在解决此类问题时,往往需要把握以下几点:
1.变换工具的运用;2.求解工具的运用;3作图工具的运用;
4.分类讨论的意识;5.轨迹的意识;6.模型的意识;
五、分析什么?
怎么分析符合学生的认知规律?
1.还原图形的生成过程,分步画图
2.确定每步的结论以及相应的可用的方法
3.判断图形或图形的元素是否需要移动
六、复习建议:
随时总结、熟练掌握一些典型图形及常用辅助线的作法及其作用;
1.提高根据文字描述准确作图的能力,加强作图的意识
2.—题多解,多题归一,体会将数学问题分解、类比、转化、及运动变化的思维过程
3.引导学生挖掘各小问之间的联系,寻找解题思路
4.不过度搜寻难题,给学生建立解题信心
5.对几何证明的常规思路、通法进行总结
七、几何中常见的辅助线做法:
1构造有角平分线、平行线、等腰三角形共存的图形
2.截长补短,证线段的和、差、倍、分
3.构造三角形中位线
4.三角形中有中线(或一边上有中点),构造“8”字型全等
5作平行线,构造相似形
6.作垂线,构造直角三角形、全等三角形或相似形
7.在角平分线、线段垂直平分线的两侧构造轴对称(或利用等腰三角形、菱形、正方形的
轴对称性)
&图中有有公共端点的等线段时,构造旋转图形
9.平移线段,构造全等三角形、构造相似形
10.构造辅助圆八、举例说明常见的几何背景:
_、以四边形为背景的几何综合题
(-)四边形+旋转
1.四边形如CD是正方形将线段CD绕点C逆时针旋转2仁(0。
〈世<45。
),得到线段恁,连接DE,过点B作BFLDE交DE的延长线于F,连接BE.
(1)依题意补全图1;
(2)直接写出/的度数;
(3)连接/尸,用等式表示线段/尸与DE的数量关系,并证明.
答案:
解:
(1)①补全图形,如图所示.
②ZFBE=45
(2)DE=s/2AF.
证明:
如图,作尸,交时的延长线于点H,设DF与交于点G,
根据题意可知,CD=
CE,ZECD=2a,ZABC=ZBCD=ZCDA=Z
D4B=90
・「ZAGD=ZFGB,「・ZFBG=a・
・.・/FBE=/FEB=45.
:
.FB=FE.
9:
AH_LAF,ZBAD=90,
・.・ZHAB=ZE4D.
:
*HAB#4FAD.
:
.HB=FD,AH=AF.
:
.HF=DE,ZH=45・
HF=^/2AF.
:
・DE=®AF.
2.如图,在正方形ABC。
中,AB=3,M是CD边上一动点(不与D点重合),点。
与点E关于AM所在的直线对称,连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF,AF.
(1)依题意补全图1;
(2)若DM=1,求线段时的长;
(3)当点M在8边上运动时,能使履砰为等腰三角形,直接写出此时tanZDAM
的值.
答案:
解:
(1)补全图形如图1所示.
(2)如图2,连接珈f.
.・•点D与点E关于AM所在的直线对称,
:
.AE=AD,ZMAD=ZMAE.
・.•四边形A8CD是正方形,
:
.AD=AB,ZD=ZABF=90°.
又•:
DM=BF,
:
.AADM^AABF.
:
.AF=AM,ZFAB=ZMAD.
・.・ZFAB=ZMAE.
:
.ZFAB+ZBAE=ZBAE+ZMAE.
・.・ZFAE=ZMAB.
:
.AFAE^AMAB(SAS).
:
.EF=BM.
1分
.••四边形旭CD是正方形,
:
.BC=CD=AB=3.
在RtABCM中,BM=^CM-+BC-=应•
•••ef=N
(3)当点M在CQ边上运动时,若使&4时为等腰三角形,则
答案:
(1)依题意补全图形,如图11分
(2)线段EF,QF,既的数量关系
为:
EF=DF+BE2分
证明:
过点A作AM^瓦)交FD的延长线于
点M,如图23分
•/?
AEF?
F?
M90°,四边形AEFM是矩形.
Z.?
3?
290°.
•.•四边形ABCD是正方形,
.I?
1?
290°,AB=AD,?
1?
3.
又V?
A£B?
M90°,
AAEB^AAMD.
:
.BE=DM,AE=AM.
矩形心肱是正方形.
:
•EF=MF.
':
MF=DF+DM,
:
.EF=DF+BE.6分
(3)5-^5.7分
二、以三角形为背景的几何综合题
(一)三角形+轴对称
4.如图,在等腰直角ZUBC中,ZACB=90°.点P在线段3C上,延长3C至点Q,使得
CQ=CP,连接AP,AQ.过点B作BDLAQ于点。
,交AP于点E,交PC于点F.K是线段AD上的一个动点(与点/,O不重合),过点K作GNLAP于点H,交AB于点G,
交于点M,交知的延长线于点N.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:
NM=NF;
(3)若AM=CP,用等式表示线段如,GN与枷之间的数量关系,并证明.
备用图
答案:
(1)补全图形,如图1.
证明:
(2)CQ=CP,ZACB=90°,
AP=AQ.
ZAPQ=ZQ.
BDLAQ,/QBD+ZQ=ZQBD+ZBFC=9G°.
・../Q=ZBFC・•.・ZMFN=ZBFC,
:
.ZMFN=ZQ.
同理,ZNMF=ZAPQ.
ZMFN=ZFMN.
:
.NM=NF.
3)连接CE,如图2.
由
(1)可得ZPAC=ZFBC,
•.・ZACB=90°,AC=BC,
:
.△AFC丝ABFC.
「・CP=CF.
■.・AM=CP,
・.・AM=CF.
•「ACAB=ACBA=45°.
「・/EAB=ZEBA.
「・AE=BE.
又..・AC=BC,
CE所在直线是如的垂直平分线.
.IZECB=ZECA=45°.
ZGAM=ZECF=45°.
由
(1)可得ZAMG=ZCFE,
:
.^AGM义ACEF.
GM=EF.
...BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN.
:
.BN=AE+GN.
7分
5.已知,如图,△/3C是等边三角形.
(1)如图1,将线段/C绕点/逆时针旋转90。
,得到AD,连接3Q,/&4C的平分线交时于点E,连接CE.
1求/的度数;
2用等式表示线段/£、CE、之间的数量关系(直接写出结果).
(2)如图2,将线段/C绕点/顺时针旋转90。
,得到,连接BQ,ABAC的平分线交DB的延长线于点E,连接CE.
1依题意补全图2;
2用等式表示线段/£、CE、之间的数量关系,并证明.
H国舌暇夏递列①:
M(3)
•分+旦。
乙=(7。
坚爰区喜暮网回NQ8'3D'戏列孚弹莘块会由(D
•o^=3va7+aav7=a3V7-:
■oS,\=a7=aav7v
•Mi\=av97'av=av-:
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0Qi=DV97-=3VQ7•:
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湖(【)
:
襄
②用等式表示线段力E、CE、BD之间的数量关系为BD=也AE-2CE.
5分
证明:
过点A作AFLAE,交ED的延长线于点尸(如图3).
*•*^ABC是等边三角形,:
.AB=AC,ZBAC=60°.
9:
AE平分ABAC,
:
.Z1=LZBAC=3O°.
2
由旋转可知:
AD=AC,ZCAD=90°.
:
.AB=AD,Z2=ZCAD-ZBAC=30°.
AZ3=Z4=75°.
.*.Z5=Z4-Z1=45O.
9:
AFLAE,
・.・ZF=45°=Z5.
:
.AF=AE.
:
.ef=-J2ae.
VZ6=Z£'y4F-Zl-Z2=30o,
.-.Z6=Z1=3O°.
又ZF=Z5=45°,AD=AB,
:
.AADF竺AABE.
:
.DF=BE.
':
AB=AC,4E平分/B4C,
.•.佬垂直平分BC.
...CE=BE.
':
BD=EF-DF-BE,
:
.BD=42AE-2CE7分
(二)三角形+旋转
6.(旋转+轴对称)
△ABC中,ZACB=9。
。
,AC=BC=也,M为BC边上的一个动点(不与点B,C重合),连接/〃,以点/为中心,将线段逆时针旋转135°,得到线段/N,连接BN.
(1)依题意补全图];
(2)求证:
ZBAN=ZAMB;
(3)点P在线段BC的延长线上,点〃关于点F的对称点为Q,写出一个PC的值,
使得对于任意的点M,总有AQ=BN,并证明.
答案:
(1)补全图形,如图.1分
(2)证明:
...ZACB=90°,AC=BC,
:
.ZABM=45°.
ZMAB+ZABM+ZAMB=180°,
/.ZAMB=135°-ZMAB.
又丁ZMAN=135°,
AZBAN=135°-ZMAB,
:
.ZBAN=ZAMB.3分
⑶性的值为1.
证明:
':
ZACB=90°,AC=BC=^2,
:
.AB=2.
如图,任取满足条件的点M,作点M关于
点C的对称点M',连接AM',
:
.AM'=AM=AN,MM'=2CM,
ZAM'C=ZAMC,
.IZAM'Q=/AMB=ZBAN.
点M关于点P的对称点为Q,
:
.MQ=2MP,
:
.M'Q=MQ-MM'=2MP-2MC=2PC=2,
:
.M'Q=AB,
/.KAM'Q^AANB,
:
.AQ=BN.
7.
4分
7分
如图27-1,在等腰RtLABC中,ZBAC=90°,AB=AC=2,点M为BC中点.点P为AB边上一动点,点D为BC边上一动点,连接DP,以点P为旋转中心,将线段PD逆时针旋转90°,得到线段FE,连接EC.
(1)当点P与点A重合时,如图27-2.
1根据题意在图27-2中完成作图;
2判断EC与3。
的位置关系并证明.
(2)连接,写出一个BP的值,使得对于任意的点D总有瑚=EC,并证明.
备用图
答案:
(1)①如右图
②判断:
ECXBC
证明:
VPD绕点P逆时针旋转90。
,得到PE.
ZDPE=90°,PD=PE.
VAB=AC,ZBAC=90°.
.\ZB=ZACB=45°,ZBPD=ZEPC
/.APBD^APCE3分
ZPCE=ZB=45°
ZECB=90°,艮PECXBC4分
3
(2)BP=~5分
证明:
如图,过点P作PSXBC于点S,过P作PS的垂线PN,并使PN=PS,6
连接NE并延长交BC于点Q.
VPD=PEZDPE=90°
/.ZDPS=ZNPE.
.'.ADPS^AEPN,
.\PN=PS,ZN=90°,ZSPN=90
四边形PSQN是正方形。
3
BP=-,ZB=45°,AB=2.
2
.•.BS=PS=|V2,BC=2很
.-.BQ=2BS=|V2,QC=^.
又5为BC中点,.・.MQ=QC=#.
.•.NQ是MC的垂直平分线7分
对于任意点D,总有EM=EC。
8.(旋转)
如图],在等腰直角△如C中,Z4=90°,AB=AC=3,在边AB上取一点D(点D不与点A,B重合),在边AC上取一点E,使AE=AD,连接DE.把△/£>£绕点A逆时针方向旋转a(0。
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