人教版八年级上册知识点试题精选公因式.docx
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人教版八年级上册知识点试题精选公因式
2017年12月27日校园号的初中数学组卷公因式
一.选择题(共20小题)
1.代数式x4﹣81,x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为( )
A.x+3B.(x+3)2C.x﹣3D.x2+9
2.在m(a﹣x)(x﹣b)﹣mn(a﹣x)(b﹣x)中,公因式是( )
A.mB.m(a﹣x)C.m(a﹣x)(b﹣x)D.(a﹣x)(b﹣x)
3.多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是( )
A.a+3B.a﹣3C.a+1D.a﹣1
4.将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时,应提取的公因式是( )
A.﹣3a2b2B.﹣3abC.﹣3a2bD.﹣3a3b3
5.多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是( )
A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn2
6.多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是( )
A.xmynB.xmyn﹣1C.4xmynD.4xmyn﹣1
7.把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式,应提的公因式是( )
A.﹣8a2bcB.2a2b2c3C.﹣4abcD.24a3b3c3
8.下列多项式中,含有因式(y+1)的多项式是( )
A.y2﹣2xy﹣3x2B.(y+1)2﹣(y﹣1)2C.(y+1)2﹣(y2﹣1)D.(y+1)2+2(y+1)+1
9.多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是( )
A.﹣6ab2B.﹣6ab2cC.﹣ab2D.﹣6a3b2c
10.多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
A.x﹣1B.x+1C.x2﹣1D.(x﹣1)2
11.下面给出的四组整式中,有公因式的一组是( )
A.a+b和a2+b2B.a﹣b和a2﹣b2C.a2b2和a2+b2D.a2b2和a2﹣b2
12.把多项式(x+1)(x﹣1)﹣(1﹣x)提取公因式(x﹣1)后,余下的部分是( )
A.(x+1)B.(x﹣1)C.xD.(x+2)
13.将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时,应提取的公因式是( )
A.﹣3a2b2B.﹣3abC.﹣3a2bD.﹣3a3b3
14.多项式6xy+3x2y﹣2xyz各项的公因式是( )
A.xyB.2xzC.3xyD.3yz
15.多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是( )
A.4ab2B.4abcC.2ab2D.4ab
16.多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是( )
A.m﹣1B.m+1C.m2﹣1D.(m﹣1)2
17.多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式是( )
A.4abB.2abC.3abD.5ab
18.把2(x﹣3)+x(3﹣x)提取公因式(x﹣3)后,另一个因式是( )
A.x﹣2B.x+2C.2﹣xD.﹣2﹣x
19.多项式2x2+6x3中各项的公因式是( )
A.x2B.2xC.2x3D.2x2
20.多项式6a2bc﹣8ab2c+4abc的公因式是( )
A.8abcB.2abcC.6a2b2c2D.4a2b2c2
二.填空题(共20小题)
21.多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是 .
22.分式
中分子、分母的公因式为 .
23.多项式2ax2﹣12axy中,应提取的公因式是 .
24.多项式8a2b3+6ab2的公因式是 .
25.多项式﹣3xy2+9x2yz的公因式是 .
26.多项式2ab2﹣8a2b提出的公因式是 .
27.多项式x2﹣9,x2+6x+9的公因式是 .
28.24m2n+18n的公因式是 .
29.多项式49a3bc3+14a2b2c2在分解因式时应提取的公因式是 .
30.多项式2a2b3+6ab2的公因式是 .
31.多项式6a2c﹣8a的公因式是 .
32.多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 .
33.多项式10m2﹣25mn的公因式是 .
34.多项式﹣27x2y3+18x2y2﹣3x2y分解因式时应提取的公因式是:
.
35.多项式6a2b+9ab2﹣15ab的公因式是 .
36.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是 .
37.多项式3x2﹣6x的公因式为 .
38.多项式12a3b2c3+18a2b4c2﹣30a4bc3各项的公因式是 .
39.因式分解多项式2a2b3+6ab2,应提取的公因式是 .
40.多项式2ax2﹣6axy中,应提取的公因式是 .
三.解答题(共7小题)
41.求75,125的最大公因数.
42.指出下列多项式的公因式:
(1)3a2y﹣3ay+6y;
(2)
xy3﹣
x3y2;
(3)﹣27a2b3+36a3b2+9a2b.
43.通过因式分解求下列多项式的公因式:
a2﹣1,a2﹣a,a2﹣2a+1.
44.已知x2+bx+c(b、c为整数)是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+25的公因式,求b、c的值.
45.已知:
A=3x2﹣12,B=5x2y3+10xy3,C=(x+1)(x+3)+1,问多项式A、B、C是否有公因式?
若有,求出其公因式;若没有,请说明理由.
46.已知:
x2+bx+c(b、c为整数)是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28x+5的公因式,求b、c的值.
47.老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述,(甲):
这是一个三次四项式;
(乙):
常数项系数为1;(丙):
这个多项式的前三项有公因式;(丁):
这个多项式分解因式时要用到公式法;若这四个同学的描述都正确,请你构造两个同时满足这些描述的多项式,并将它因式分解.
2017年12月27日校园号的初中数学组卷公因式
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.代数式x4﹣81,x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为( )
A.x+3B.(x+3)2C.x﹣3D.x2+9
【分析】首先将各多项式分解因式,再观察3个多项式,都可以运用公式法进一步因式分解.
【解答】解:
x4﹣81=(x2+9)(x2﹣9),
=(x2+9)(x+3)(x﹣3);
x2﹣9=(x+3)(x﹣3);
x2﹣6x+9=(x﹣3)2.
因此3个多项式的公因式是x﹣3.
故选:
C.
【点评】本题主要考查了平方差公式,完全平方公式分解因式,先对每个多项式进行因式分解,然后即可找出两个多项式的公因式.
2.在m(a﹣x)(x﹣b)﹣mn(a﹣x)(b﹣x)中,公因式是( )
A.mB.m(a﹣x)C.m(a﹣x)(b﹣x)D.(a﹣x)(b﹣x)
【分析】首先把式子进行变形,可变为m(a﹣x)(x﹣b)+mn(a﹣x)(x﹣b),进而可得到公因式m(a﹣x)(b﹣x).
【解答】解:
m(a﹣x)(x﹣b)﹣mn(a﹣x)(b﹣x),
=m(a﹣x)(x﹣b)+mn(a﹣x)(x﹣b),
=m(a﹣x)(x﹣b)(1+n),
故选:
C.
【点评】此题主要考查了找公因式的方法,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.
3.多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是( )
A.a+3B.a﹣3C.a+1D.a﹣1
【分析】根据平方差公式分解a2﹣9,再根据提公因式法分解a2﹣3a,即可找到两个多项式的公因式.
【解答】解:
a2﹣9=(a﹣3)(a+3),
a2﹣3a=a(a﹣3),
故多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是:
a﹣3,
故选:
B.
【点评】主要考查了分解因式的实际运用,解此题的关键是把a2﹣9与a2﹣3a进行因式分解.
4.将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时,应提取的公因式是( )
A.﹣3a2b2B.﹣3abC.﹣3a2bD.﹣3a3b3
【分析】在找公因式时,一找系数的最大公约数,二找相同字母的最低次幂.同时注意首项系数通常要变成正数.
【解答】解:
系数最大公约数是﹣3,
相同字母的最低指数次幂是a2、b2,
应提取的公因式是﹣3a2b2.
故选A.
【点评】本题主要考查公因式的确定,找公因式的要点:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.当第一项的系数为负数时,应先提出“﹣”号.
5.多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是( )
A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn2
【分析】找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.
【解答】解:
多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中,
各项系数的最大公约数是5,
各项都含有的相同字母是m、n,字母m的指数最低是2,字母n的指数最低是1,
所以它的公因式是5m2n.
故选C.
【点评】本题考查了公因式的确定,熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键.
6.多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是( )
A.xmynB.xmyn﹣1C.4xmynD.4xmyn﹣1
【分析】找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.
【解答】解:
多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1.
故选D.
【点评】本题主要考查公因式的确定,找公因式的要点:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.
7.把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式,应提的公因式是( )
A.﹣8a2bcB.2a2b2c3C.﹣4abcD.24a3b3c3
【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力.本题属于基础题,在做题时首先要准确确定公因式,然后做出选择.
【解答】解:
﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3,
=﹣8a2bc(ab2﹣2bc+3ac2),
公因式是﹣8a2bc.
故选A.
【点评】本题主要考查公因式的确定,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.
8.下列多项式中,含有因式(y+1)的多项式是( )
A.y2﹣2xy﹣3x2B.(y+1)2﹣(y﹣1)2C.(y+1)2﹣(y2﹣1)D.(y+1)2+2(y+1)+1
【分析】应先对所给的多项式进行因式分解,根据分解的结果,然后进行判断.
【解答】解:
A、y2﹣2xy﹣3x2=(y﹣3x)(y+x),故不含因式(y+1).
B、(y+1)2﹣(y﹣1)2=[(y+1)﹣(y﹣1)][(y+1)+(y﹣1)]=4y,故不含因式(y+1).
C、(y+1)2﹣(y2﹣1)=(y+1)2﹣(y+1)(y﹣1)=2(y+1),故含因式(y+1).
D、(y+1)2+2(y+1)+1=(y+2)2,故不含因式(y+1).
故选C.
【点评】本题主要考查公因式的确定,先因式分解,再做判断,在解题时,仅看多项式的表面形式,不能做出判断.
9.多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是( )
A.﹣6ab2B.﹣6ab2cC.﹣ab2D.﹣6a3b2c
【分析】找出多项式各项的公因式即可.
【解答】解:
多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是﹣6ab2,
故选A
【点评】此题考查了公因式,找多项式的公因式的方法为:
系数找最大公约数;相同字母取最低次幂;只在一项中出现的字母不能作为公因式的一个因式.
10.多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是( )
A.x﹣1B.x+1C.x2﹣1D.(x﹣1)2
【分析】分别将多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1进行因式分解,再寻找他们的公因式.
【解答】解:
∵4x2﹣4=4(x+1)(x﹣1),x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是(x﹣1).
故选:
A.
【点评】本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后再确定公共因式.
11.下面给出的四组整式中,有公因式的一组是( )
A.a+b和a2+b2B.a﹣b和a2﹣b2C.a2b2和a2+b2D.a2b2和a2﹣b2
【分析】将每一组因式分解,找到公因式即可.
【解答】解:
A、a+b和a2+b2没有公因式,故本选项错误;
B、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),a﹣b和a2﹣b2有公因式(a﹣b),故本选项正确;
C、a2b2和a2+b2没有公因式,故本选项错误;
D、a2b2和a2﹣b2没有公因式,故本选项错误;
故选B.
【点评】本题考查了公因式,熟悉因式分解是解题的关键.
12.把多项式(x+1)(x﹣1)﹣(1﹣x)提取公因式(x﹣1)后,余下的部分是( )
A.(x+1)B.(x﹣1)C.xD.(x+2)
【分析】原式变形后,提取公因式即可得到所求结果.
【解答】解:
原式=(x+1)(x﹣1)+(x﹣1)=(x﹣1)(x+2),
则余下的部分是(x+2),
故选D
【点评】此题考查了公因式,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.
13.将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时,应提取的公因式是( )
A.﹣3a2b2B.﹣3abC.﹣3a2bD.﹣3a3b3
【分析】提取公因式时:
系数取最大公约数;字母取相同字母的最低次幂.
【解答】解:
﹣6a3b2﹣3a2b2=﹣3a2b2(2a+3).
所以应提取的公因式是﹣3a2b2.
故选:
A.
【点评】本题主要考查公因式的确定,注意找公因式的方法,特别不要漏掉找系数的最大公约数.
14.多项式6xy+3x2y﹣2xyz各项的公因式是( )
A.xyB.2xzC.3xyD.3yz
【分析】分别找出系数的最大公约数,相同字母的最低指数次幂,然后即可找出公因式.
【解答】解:
多项式6xy+3x2y﹣2xyz的公因式是xy.
故选:
A.
【点评】本题主要考查公因式的确定,找公因式的要点:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.
15.多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是( )
A.4ab2B.4abcC.2ab2D.4ab
【分析】根据公因式定义,对各选项整理然后即可选出有公因式的项.
【解答】解:
12ab3c+8a3b=4ab(3b2+2a2),
4ab是公因式,
故选:
D.
【点评】此题考查的是公因式的定义,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了“﹣1”.
16.多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是( )
A.m﹣1B.m+1C.m2﹣1D.(m﹣1)2
【分析】根据公因式定义,对各选项整理然后即可选出有公因式的项.
【解答】解:
m2﹣m=m(m﹣1),2m2﹣4m+2=2(m﹣1)(m﹣1),
m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是(m﹣1),
故选:
A.
【点评】此题考查的是公因式的定义,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了“﹣1”.
17.多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式是( )
A.4abB.2abC.3abD.5ab
【分析】找出多项式的公因式即可.
【解答】解:
多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式4ab,
故选A
【点评】此题考查了公因式,熟练掌握公因式的找法是解本题的关键.
18.把2(x﹣3)+x(3﹣x)提取公因式(x﹣3)后,另一个因式是( )
A.x﹣2B.x+2C.2﹣xD.﹣2﹣x
【分析】根据提公因式法,可得答案.
【解答】解:
2(x﹣3)+x(3﹣x)=2(x﹣3)﹣x(x﹣3)=(x﹣3)(2﹣x),
故选:
C.
【点评】本题考查了公因式,利用因式分解是解题关键.
19.多项式2x2+6x3中各项的公因式是( )
A.x2B.2xC.2x3D.2x2
【分析】根据因式分解,可得公因式.
【解答】解:
2x2+6x3=2x2(1+3x),
故选:
D.
【点评】本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后再确定公共因式.
20.多项式6a2bc﹣8ab2c+4abc的公因式是( )
A.8abcB.2abcC.6a2b2c2D.4a2b2c2
【分析】根据公因式的定义进行解答.
【解答】解:
多项式6a2bc﹣8ab2c+4abc的公因式是2abc.
故选:
B.
【点评】此题考查的是公因式的定义,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了“﹣1”.
二.填空题(共20小题)
21.多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是 3a2b2 .
【分析】在找公因式时,一找系数的最大公约数,二找相同字母的最低指数次幂.同时注意首项系数通常要变成正数.
【解答】解:
∵3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c=3a2b2(1﹣2ab﹣4c),
∴多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是3a2b2.
故答案为:
3a2b2.
【点评】本题主要考查公因式的确定,掌握找公因式的正确方法,特别注意通常首项系数应为正数.
22.分式
中分子、分母的公因式为 4m .
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.
【解答】解:
原式=
,
故答案为:
4m
【点评】本题考查分式的基本性质,属于基础题型.
23.多项式2ax2﹣12axy中,应提取的公因式是 2ax .
【分析】找出系数的最大公约数,相同字母的最低指数次幂,即可确定出公因式.
【解答】解:
∵2ax2﹣12axy=2ax(x﹣6y),
∴应提取的公因式是2ax.
【点评】本题主要考查公因式的确定,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)相同字母的最低指数次幂.
24.多项式8a2b3+6ab2的公因式是 2ab2 .
【分析】根据分解因式,可得答案.
【解答】解:
原式=2ab2(4ab+3),
公因式是2ab2,
故答案为:
2ab2.
【点评】此题考查的是公因式的定义,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了“﹣1”.
25.多项式﹣3xy2+9x2yz的公因式是 3xy .
【分析】根据公因式是多项式中每项都含有的因式,可得答案.
【解答】解:
多项式﹣3xy2+9x2yz的公因式是3xy,
故答案为:
3xy.
【点评】本题考查了公因式,公因式是多项式中每项都含有的因式,注意第一项的符号时公因式的符号.
26.多项式2ab2﹣8a2b提出的公因式是 2ab .
【分析】根据公因式的定义即可求出找出该多项式的公因式.
【解答】解:
原式=2ab(b﹣4a)
故答案为:
2ab
【点评】本题考查公因式,解题的关键是正确理解公因式的定义,本题属于基础题型.
27.多项式x2﹣9,x2+6x+9的公因式是 x+3 .
【分析】利用平方差公式和完全平方公式分解因式,然后再确定公因式即可.
【解答】解:
x2﹣9=(x+3)(x﹣3),
x2+6x+9=(x+3)2.
所以多项式x2﹣9,x2+6x+9的公因式是x+3.
【点评】本题主要考查公因式的确定,利用公式法分解因式是解本题的关键.
28.24m2n+18n的公因式是 6n .
【分析】当一个多项式有公因式,将其分解因式时应先提取公因式,再对余下的多项式继续分解.
【解答】解:
原式=6n•4m2+6n•3=6n(4m2+3).
所以公因式为6n.
【点评】本题考查因式分解,因式分解的步骤为:
一提公因式;二看公式.
29.多项式49a3bc3+14a2b2c2在分解因式时应提取的公因式是 7a2bc2 .
【分析】根据确定多项式中各项的公因式三“定”:
①定系数,即确定各项系数的最大公约数;
②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);
③定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂可得答案.
【解答】解:
多项式49a3bc3+14a2b2c2在分解因式时应提取的公因式是7a2bc2,
故答案为:
7a2bc2.
【点评】此题主要公因式,关键是掌握确定公因式的方法.
30.多项式2a2b3+6ab2的公因式是 2ab2 .
【分析】根据确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:
①定系数,即确定各项系数的最大公约数;
②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);
③定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂找出公因式即可.
【解答】解:
多项式2a2b3+6ab2的公因式是2ab2.
故答案为:
2ab2.
【点评】此题主要考查了找公因式,关键是掌握找公因式的方法.
31.多项式6a2c﹣8a的公因式是 2a .
【分析】根据公因式定义,整理然后即可选出有公因式的项.
【解答】解:
原式=2a(3ac﹣4),
公因式是2a,
故答案为:
2a.
【点评】此题考查的是公因式的定义,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了“﹣1”.
32.多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 ﹣3x2yz .
【分析】先找到多项式的项,再找到系数的公因数和字母部分的公因式,二者相乘即为多项式的公因式.
【解答】解:
∵多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2有三项,
∴﹣3x2y3z,9x3y3z,﹣6x4yz2中系数的公因数是﹣3,
字母部分公因式为x2yz,
故答案为﹣3x2yz.
【点评】本题考查了公因式,找到各项都具有的部分即为多项式的公因式.
33.多项式10m2﹣25mn的公因式是 5m .
【分析】根据公因式定义,对各选项整理然后即可选出有公因式的项.
【解答】解:
10m2﹣25mn=5m(2m﹣5n),
故答案为:
5m.
【点评】此题考查的是公因式的定义,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多
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- 人教版八 年级 上册 知识点 试题 精选 公因式