高考数学复习点拨 直线与圆小结与复习.docx
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高考数学复习点拨直线与圆小结与复习
直线与圆小结与复习
1.知识网络结构.
2.重点及难点
(1)直线的方程
直线的倾斜角可确定直线的方向,斜率k是倾斜角α(α≠90°)的函数,对直线斜率的考查,也变换了对倾斜角及其范围的考查.
(2)直线与直线的位置关系
在两条直线的位置关系中讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置关系,掌握了最基本的关系,则这两条直线的夹角也不难解决了.
3.对称问题
对称问题有点与点关于点成中心对称,点与点关于直线或轴对称.从曲线是动点运动的轨迹来看,曲线的对称问题实际上都可以转化为以上两类对称问题.
4.线性规划问题
线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用,常通过二元一次不等式组表示的平面区域来确定实际问题的解,应用极为广泛,应予以足够重视.
常用的数学思想方法:
数形结合法.
5.应用坐标法研究问题
解析几何中用代数方法来研究几何图形的基本思想方法,是通过建立直角坐标系而得以实现,在直角坐标系下的长度公式则是基础的基础.
6.直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系
判断方法
利用判别式法:
把直线方程代入圆方程,得到一元二次方程,再求判别式
利用圆心到直线的距离d与半径r的关系
相离
Δ<0
d>r
相切
Δ=0
d=r
相交
Δ>0
d<r
例1如图,圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=
时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程.
解:
(1)当α=
时,直线AB的斜率为k=tan
=-1.
直线AB的方程为:
y-2=-(x+1),即y=-x+1①
把①式代入x2+y2=8,得x2+(-x+1)2=8,即2x2-2x-7=0,
解此方程得x=
所以,|AB|=
=
|x1-x2|=
×
.
[或由2x2-2x-7=0得(x1-x2)2=15则|AB|=
]
(2)当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB,直线OP0的斜率为-2,所以直线AB的斜率为
.直线AB的方程为:
y-2=
(x+1)即x-2y+5=0.
例2求证:
到圆心距离为a(a>0)的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线.
证明:
建立平面直角坐标系,设圆O以原点O为圆心,r为半径,圆A以点A(a,0)为圆心,半径为R.过点P(x,y)的直线PB与圆O相切于点B,直线PC与圆A相切于点C,且PB=PC
圆O的方程为x2+y2=r2.
圆A的方程为(x-a)2+y2=R2.∵PB=PC∴PB2=PC2
由PO2-OB2=PA2-AC2,即x2+y2-r2=(x-a)2+y2-R2,
得x=
(a>0).这就是点P的轨迹方程,它表示一条垂直于x轴的直线.
例3求经过A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆方程.
解:
∵圆心在直线y=-2x上,∴设圆心坐标为(a,-2a)
由已知得:
∴(a-2)2+(1-2a)2=
(1+a)2解得a=1.∴圆心为(1,-2),半径为
.
∴圆方程为(x-1)2+(y+2)2=2,即x2+y2-2x+4y+3=0.
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