青海省中考数学五年中考荟萃第4章 图形的初步认识与三角形四边形 第6节 矩形菱形正方形.docx
- 文档编号:16694616
- 上传时间:2023-07-16
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:166.77KB
青海省中考数学五年中考荟萃第4章 图形的初步认识与三角形四边形 第6节 矩形菱形正方形.docx
《青海省中考数学五年中考荟萃第4章 图形的初步认识与三角形四边形 第6节 矩形菱形正方形.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《青海省中考数学五年中考荟萃第4章 图形的初步认识与三角形四边形 第6节 矩形菱形正方形.docx(20页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
青海省中考数学五年中考荟萃第4章图形的初步认识与三角形四边形第6节矩形菱形正方形
第六节 矩形、菱形、正方形
青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
解答
23
(2)
菱形的判定
以梯形为背景判定菱形
5
解答
27
探究规律
以正方形和等腰直角三角形为背景,探究线段之间的关系
11
16
2016
填空
11
菱形的性质
已知菱形的两条对角线长,求菱形的高
2
解答
27
探究规律
由三角形外作正三角形、正四边形、正五边形、正n边形探究规律
10
12
2015
解答
24
菱形的判定
以梯形为背景判菱形
8
8
2014
解答
27
探究规律
以正方形与直尺为背景,探究线段之间的关系或求线段比
8
8
2013
解答
27
探究规律
以正方形为背景探究规律
8
8
命题规律
纵观青海五年中考,矩形、菱形、正方形为常考内容,最多设2道题,题型以解答题为主,且每年都有与之相关的探究的综合应用,题目难度中等偏上.预计2018年青海省中考,特殊四边形的探究规律为必考题型,除此之外,还有可能另外设置特殊四边形的计算与证明问题,应加强训练.
青海五年中考真题)
菱形
1.(2015青海中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=__
__.
2.(2015青海中考)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AC平分∠BAD,CE∥DA交AB于点E.
求证:
四边形ADCE是菱形.
证明:
∵AB∥CD,CE∥DA.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AC是∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠CAB.
∵DC∥AE,∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,
∴平行四边形ADCE是菱形.
矩形
3.(2012青海中考)已知,如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
(1)求证:
CD=AN;
(2)若∠AMD=2∠MCD,求证:
四边形ADCN是矩形.
证明:
(1)∵CN∥AB,
∴∠DAC=∠NCA.
在△AMD和△CMN中,
∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN.
又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,∴CD=AN;
(2)∵∠AMD=2∠MDC,∠AMD=∠MCD+∠MDC.
∴∠MCD=∠MDC,∴MD=MC.由①知四边形ADCN是平行四边形,
∴MD=MN=MA=MC,∴AC=DN,
∴四边形ADCN是矩形.
正方形
4.(2014西宁中考)如图,G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.若AB=
,AG=1,则EB=__
__.
5.(2017青海中考)请完成如下探究系列的有关问题:
探究1:
如图①,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D为BC上一动点,连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.则线段CF,BD之间的位置关系为__CF⊥BD__,数量关系为__CF=BD__;
探究2:
如图②,当点D运动到线段BC的延长线上,其余条件不变,探究1中的两条结论是否仍然成立?
为什么?
(请写出证明过程)
解:
当点D在线段BC的延长线上时,
(1)中的结论仍成立.
证明:
∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD,即∠DAB=∠FAC.又∵AB=AC,AD=AF,∴△DAB≌△FAC,∴CF=BD,∠ACF=∠B.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BD.
探究3:
如图③,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA仍然保留为45°,点D在线段BC上运动,请你判断线段CF,BD之间的位置关系,并说明理由.
解:
当∠BCA=45°时,CF⊥BD.
证明:
过点A作AM⊥AC交BC于点M,则∠AMC+∠ACM=90°.∵∠ACM=45°,∴∠AMC=∠ACM=45°,∴AC=AM.∵∠MAC=∠FAD=90°,∴∠MAD+∠CAD=∠FAC+∠CAD,即∠MAD=∠FAC,∵AD=AF,∴△DAM≌△FAC(SAS),∴∠ACF=∠AMD=45°,∴∠BCA+∠ACF=90°,即CF⊥BD.
6.(2016青海中考节选)如图①,分别以△ABC的边AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形,BE和CD相交于点O.
(1)在图①中,求证:
△ABE≌△ADC;
(2)由
(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图①中∠BOC=120°.请你探索在图②中∠BOC的度数,并说明理由或写出证明过程.
图①
解:
(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
∴△ABE≌△ADC(SAS);
图②
(2)∠BOC=90°.证明如下:
设AD与BE交于点G.
∵∠BAD=90°,
∴∠ABE+∠AGB=90°.
∵△ABE≌△ADC,∴∠ADC=∠ABE,∴∠ADC+∠AGB=90°.
又∵∠AGB=∠DGO,∴∠DGO+∠ADC=90°,
∴∠DOG=90°,∴∠BOC=90°.
7.(2014青海中考)请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.
(1)如图①,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:
EF=EG;
(2)如图②,移动角尺,使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:
EF________(选填“=”或“≠”)EG;
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:
如图③,将
(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G,A重合),其余条件不变,若AB=4,DG=3,求
的值.
解:
(1)∵∠AEF+∠AEG=90°,∠AEF+∠CEF=90°,∴∠AEG=∠CEF.
又∵∠GAE=∠C=90°,EA=EC,∴△EAG≌△ECF(ASA),∴EG=EF;
(2)=;
(3)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N.则∠MEN=90°,EM∥BC,EN∥AB,∴
=
=
.∴
=
=
.又∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,∴∠FEN=∠GEM,
∴Rt△GME∽Rt△FNE,则
=
=
.
中考考点清单)
矩形的性质与判定
1.定义:
把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图①.
2.性质
文字描述
字母表示[参考图①]
(1)对边平行且相等
AD
瘙綊BC,AB
瘙綊CD
(2)四个内角都是直角
__∠DAB__=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
(3)两条对角线相等且互相平分
AC=__BD__,OA=OC=OB=OD
(4)矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形
3.判定
文字描述
字母表示[参考图①]
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
若四边形ABCD是平行四边形,且∠BAD=90°,则四边形ABCD是矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形
若∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,则四边形ABCD是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形
若AC=__BD__,且四边形ABCD是平行四边形,则四边形ABCD是矩形
菱形的性质与判定
图②
4.定义:
把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图②.
5.性质
文字描述
字母表示[参考图②]
(1)菱形四条边都相等
AB=__BC__=CD=DA
(2)对角相等
∠DAB=∠DCB,
∠ADC=__∠ABC__
(3)两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角
__AC__⊥BD,∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ACB,∠ADB=∠BDC=∠ABD=∠DBC
(4)菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形
6.判定
文字描述
字母表示[参考图②]
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形
若四边形ABCD是平行四边形,且AD=AB,则四边形ABCD是菱形
(2)四条边相等的四边形是菱形
若AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形
(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
若AC⊥BD,且四边形ABCD是平行四边形,则四边形ABCD是菱形
正方形的性质与判定
7.定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图(3)
8.性质
文字描述
字母表示[参考图③]
(1)四条边都相等
即AB=BC=CD=DA
(2)四个角都是90°
即∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°
(3)对角线互相垂直平分且相等
即AC⊥__BD__,AO=OC=OD=OB
(4)对角线平分一组对角
∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ACB=∠ADB=∠BDC=∠ABD=∠DBC=45°
(5)正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形
9.判定
文字描述
字母表示[参考图③]
(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
若四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,∠ADC=90°,则四边形ABCD是正方形.
(2)有一角是直角的__菱形__是正方形.
若∠ABC=90°且四边形ABCD是菱形,则四边形ABCD是正方形.
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形.
若AB=BC,且四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD是正方形.
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
若四边形ABCD中,AC⊥BD,AC平分BD,BD平分AC,AC=BD,则四边形ABCD是正方形.
对特殊的平行四边形的判定理解不透彻
【例】如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:
△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?
【错解】
(1)在矩形ABCD中,AD=BC,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=
AD,CN=
BC,∴AM=CN,在△MAB和△NCD中,
∴△MAB≌△NCD;
(2)四边形MPNQ是平行四边形.
【错因分析】由于对特殊四边形的判定方法理解不透彻,所以不能对问题进行深入的探究和挖掘.
【正解】
(1)在矩形ABCD中,AD=BC,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=
AD,CN=
BC,∴AM=CN,在△MAB和△NCD中,
∴△MAB≌△NCD;
(2)四边形MPNQ是菱形,理由如下:
连接AP,易证A,P,N三点共线,且△ABN≌△BAM,∴AN=BM,∵△MAB≌△NCD,∴BM=DN,∵P,Q分别是BM,DN的中点,∴PM=NQ,DQ=BP,又易知DM=BN,∠MDQ=∠NBP,∴△MQD≌△NPB,∴MQ=NP,∴四边形MPNQ是平行四边形,∵M是AD的中点,Q是DN的中点,∴MQ=
AN,∴MQ=
BM,∵MP=
BM,∴MP=MQ,∴四边形MQNP是菱形.
中考重难点突破)
矩形的判定与性质
【例1】如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?
【解析】
(1)先由对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形,再由对角相等及已知其和等于180°可得∠ABC=90°,即可得出结论;
(2)由∠ADF∶∠FDC=3∶2,∠ADC=90°,可求出∠FDC的度数,再由DF⊥AC可求得∠DCO的度数,又由OC=OD可得∠ODC的度数,从而利用∠BDF=∠ODC-∠FDC求解即可.
【答案】解:
(1)∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
(2)∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-36°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,∴∠ODC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.
1.(2017绵阳中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2
,∠AEO=120°,则FC的长度为( A )
A.1B.2C.
D.
(第1题图)
(第2题图)
2.(2017随州中考)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,E为CD边的中点,将△ADE绕点E顺时针旋转180°,点D的对应点为C,点A的对应点为F,过点E作ME⊥AF交BC于点M,连接AM,BD交于点N,现有下列结论:
①AM=AD+MC;②AM=DE+BM;③DE2=AD·CM;④点N为△ABM的外心,其中正确的个数为( B )
A.1个B.2个C.3个D.4个
菱形的相关计算
【例2】如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.求∠DEC的大小.
(例2题图)
(例2题答图)
【解析】连接BD,由菱形的性质及∠A=60°,得到△ABD为等边三角形,P为AB的中点,利用三线合一得到DP为角平分线,得到∠ADP=30°,∠ADC=120°,∠C=60°,进而求出∠PDC=90°,由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数.
【答案】解:
如答图,连接BD.∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°.∵P为AB的中点,∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,∴∠PDC=90°,∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°.
3.(2017营口中考)在矩形纸片ABCD中,AD=8,AB=6,E是边BC上的点,将纸片沿AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为__3或6__.
4.(2017襄阳中考)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠ADB=30°,BD=6,求AD的长.
解:
(1)∵AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.又∵BD平分∠ABF,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.同理:
AB=BC,∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=6,∴AC⊥BD,OD=OB=
BD=3.∵∠ADB=30°,∴cos∠ADB=
=
,∴AD=
=2
.
正方形的相关计算
【例3】(2018中考预测)如图,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,求CH的长.
(例3题图)
(例3题答图)
【解析】解:
如答图,连接AC,CF,延长AD交FE于M点,根据正方形的性质求出AM=4,FM=2,∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=
AF,根据勾股定理求出AF即可.
【答案】解:
如答图,连接AC,CF,则在正方形ABCD和正方形CEFG中,∠ACG=∠FCG=45°,∴△ACF是直角三角形,AF为斜边.又∵H是AF的中点,∴CH=
AF.延长AD交FE于M点,在Rt△AMF中,AM=1+3=4,MF=3-1=2,根据勾股定理,得AF=2
,∴CH=
.
5.(广东中考)如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( B )
A.
B.2
C.
+1D.2
+1
(第5题图)
(第6题图)
6.(2017泰安中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:
①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为( D )
A.1B.2C.3D.4
7.(天津中考)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则
的值等于__
__.
(第7题图)
(第8题图)
8.(2017义乌中考)如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为__4__600__m.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 青海省中考数学五年中考荟萃第4章 图形的初步认识与三角形四边形 第6节 矩形菱形正方形 青海省 中考 数学 年中 荟萃 图形 初步 认识 三角形 四边形 矩形 菱形 正方形