天津市河北区学年高三上学期期末数学试题含答案解析.docx
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天津市河北区学年高三上学期期末数学试题含答案解析
天津市河北区2021-2022学年高三上学期期末数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知全集
,集合
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.“x,y为无理数”是“xy为无理数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,长分别为a,b,c,则这个三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
4.某公司决定每个月给推销员确定一个具体的销售目标,对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性,为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位:
万元),并绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图中数据,月销售额在
内的频率为( )
A.0.18B.0.12C.0.10D.0.06
5.函数
的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知双曲线C:
)过点
,且渐近线方程为
,则双曲线C的方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.若
,
,
,则
、
、
的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
8.将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象,则下列结论正确的是( )
A.
是最小正周期为
的偶函数B.
在
上单调递减
C.
是最小正周期为
的奇函数D.
在
上的最小值为
9.已知函数
=
有三个不同零点,则
的范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题
10.i虚数单位,则
的值为___________.
11.二项式
的展开式中常数项为___________.
12.已知过点
的直线与圆C:
相切,且与直线
垂直,则实数a的值为___________.
13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为
,乙每轮猜对的概率为
.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.
14.已知
,
,且
,则
的最大值为___________.
15.P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点,且
,则
的值为___________.
三、解答题
16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
.
(1)求角A的大小;
(2)若
,求
的值;
(3)若
,
,求边c和△ABC的面积.
17.如图,在正四棱柱
中,
,
,E,F分别为
,
的中点.
(1)求直线
与平面BDE所成角的正弦值;
(2)求平面
与平面BDE的夹角的余弦值;
(3)求点F到平面BDE的距离.
18.已知公比大于1的等比数列
的前6项和为126,且
,
,
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
),求数列
的前n项和
;
(3)若数列
满足
(
且
),且
,证明
.
19.已知图
:
,圆
:
,动圆C与圆
和圆
均内切.
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程
(2)点
(
)为轨迹E上的点,过点P作两条直线与轨迹E交于AB两点,直线PA,PB的斜率互为相反数,则直线AB的斜率是否为定值?
若是,求出定值:
若不是,请说明理由.
20.已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数
的单调区间和极值;
(3)若
,
对任意的
恒成立,求m的最大值.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算,然后进行补集运算即可.
【详解】
由题意可得:
,则
.
故选:
A.
2.D
【解析】
【分析】
对充分性和必要性分别取特殊值进行否定即可.
【详解】
充分性:
取
符合“x,y为无理数”,但是
不符合“xy为无理数”,故充分性不满足;
必要性:
当“xy为无理数”时,可以取
,但是不符合“x,y为无理数”,故必要性不满足.
故“x,y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.
故选:
D
3.B
【解析】
【分析】
直接利用锥体的体积公式即可求解.
【详解】
因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,长分别为a,b,c,
所以这个三棱锥的体积为
.
故选:
B
4.B
【解析】
【分析】
利用频率分布直方图可直接求出月销售额在[14,16)内的频率.
【详解】
月销售额在[14,16)内的频率为:
,
故选:
B
5.D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性,可排除B;由
时可排除C,取特殊值可排除A选项.
【详解】
函数
则
即
为奇函数,所以结合图像可排除B.
当
时,
结合图像可排除C.
当
时,
结合图像可排除A.
综上可知,D为正确选项
故选:
D
【点睛】
本题考查了根据解析式判断函数图像,应用奇偶性、单调性、极限思想或特殊值法排除选项即可,属于基础题.
6.A
【解析】
【分析】
由点
代入双曲线和渐近线方程,联立得到
的方程组,求解即可.
【详解】
点
代入双曲线,焦点在
轴上,渐近线方程为
,所以
解得
,故双曲线的方程为
.
故选:
A.
7.D
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性,结合中间值法可判断
、
、
的大小关系.
【详解】
因为
,
,因此,
.
故选:
D.
8.D
【解析】
【分析】
先利用恒等变形及平移变换得到
的解析式,进而判断出
的最小正周期,判断出AC选项,利用代入检验单调性,判断B选项,利用三角函数单调性及整体法求出
在
上的最小值,判断D选项.
【详解】
则
,则最小正周期
,故AC错误;
时,
,故
在
上不单调,故B错误;
,
,则
,则
在
上的最小值为
,D正确.
故选:
D
9.C
【解析】
【详解】
试题分析:
当
时,
要使
有三个不同零点,则当x≤1,
单调递增只有一个零点,所以
当
时,
必有两个零点,所以
综上
故选C.
考点:
1、函数的零点;2、指数函数3、二次函数.
【方法点晴】本题主要考查的是指数函数与二次函数图像,属于难题,由题意可知需使指数函数部分与x轴有一个交点,抛物线部分与x轴有两个交点,由函数图像平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式组,解之最后取交集,才能保证指数函数部分与x轴有一个交点,抛物线部分与x轴有两个交点.
10.
【解析】
【分析】
方法一:
利用复数运算法则及模长公式即可求得
方法二:
利用
及模长公式即可求得
【详解】
方法一:
由题意
方法二:
由题意
故答案为:
11.
##0.9375
【解析】
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式,再令
的次为零,求出
,从而可求出展开式中的常数项
【详解】
二项式
的展开式的通项公式为
,
令
,得
,
所以二项式
的展开式中常数项为
,
故答案为:
12.
【解析】
【分析】
先根据直线与圆的相切关系求出过点
的直线的斜率,再根据垂直关系求出实数a的值.
【详解】
当过点
的直线斜率不存在时,直线方程为
,此时圆心
到直线
的距离为
,不相切,舍去
当斜率存在时,设直线为
,则由
,解得:
,又与直线
垂直,所以
,解得:
故答案为:
13.
【解析】
【分析】
两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.
【详解】
解:
设
分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,
分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则
且
与
互斥,
与
与
分别相互独立,
所以
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
.
故答案为:
14.
【解析】
【分析】
利用基本不等式,结合“1”的代换求解.
【详解】
解:
因为
,
,且
,
所以
,
,
当且仅当
,即
时,等号成立,
所以
,则
的最大值为
故答案为:
15.
【解析】
【分析】
用
表示出
,直接计算可得.
【详解】
因为P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点,
.
所以
,所以
所以
=
.
故答案为:
.
16.
(1)
(2)
(3)
,面积为
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简已知条件,求得
,由此求得
的大小.
(2)先求得
,由此求得
.
(3)利用余弦定理求得
,进而求得三角形
的面积.
(1)
∵
,
由正弦定理得
.
∵
,
∴
,
∴
.
又
,
∴
.
(2)
由
,
,得
.
∴
,
.
∴
.
(3)
由
(1)知
,又
,
由余弦定理得
,
.
解得
(负根舍去).
∴△ABC的面积
.
17.
(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)以D为原点,DA,DC,
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,求得向量
和向量
的法向量,结合向量的夹角公式,即可求解;
(2)求得平面
的法向量,结合
(1)中平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解;
(3)由
(1)知,平面BDE的一个法向量为
和向量
,结合距离公式,即可求解.
(1)
解:
以D为原点,DA,DC,
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
可得
,
,
,
设平面BDE的法向量为
,则
,即
,
取
,可得
,所以
,
设直线
与平面BDE所成的角为
.
则
,
即直线
与平面BDE所成角的正弦值为
.
(2)
解:
因为
,
,
设平面
的法向量为
,
则
,即
,取
,可得
,所以
,
设平面
与平面BDE的夹角为
,
则
,
即平面
与平面BDE的夹角的余弦值为
.
(3)
解:
由
(1)知,平面BDE的一个法向量为
,
又由
,所以点F到平面BDE的距离
,
即点F到平面BDE的距离为
.
18.
(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件求得等比数列
的首项和公比,由此求得数列
的通项公式.
(2)利用错位相减求和法求得
.
(3)利用累加法求得
,结合裂项求和法证得不等式成立.
(1)
设等比数列
的公比为
,前n项和为
.
由题意
,得
,即
解得
,或
(舍).
由
,得
,解得
.
∴
.
(2)
由
(1)可得,
.
∴
.
两式相减得,
.
∴
.
(3)
由
(1)可得,
,即
.
∴
,
,…,
.
以上各式相加得,
.
又
,∴
.
当
时,
适合上式.
故
.
∴
.
∴
.
19.
(1)
;
(2)是定值,定值为
.
【解析】
【分析】
(1)利用椭圆的定义即得;
(2)由题可得直线PA的方程,联立椭圆方程可得点A、B横坐标,进而利用斜率公式即得.
(1)
由题意得
,
.
设动圆圆心C的坐标为
,半径为r,
则
,
.
从而
.
∴动圆圆心C的轨迹E是焦点为
,
,长轴长等于4的椭圆,且
,
.
又
,得
,
∴动圆圆心C的轨迹E的方程为
.
(2)
由
(1)可得
.
设直线PA的方程为
则直线PB的方程为
.
设
,
.
由
消去y,整理得
,
则
,即
.
(1)
同理可得
.
(2)
∴
.
将
(1)
(2)代入上式,化简得
.
故直线AB的斜率为定值
.
20.
(1)
(2)函数
的递增区间为
,递减区间为
,
在
时取极小值,极小值为
,没有极大值
(3)3
【解析】
(1)
∵
,
∴
,∴
,
由导数的几何意义可得曲线
在点
处的切线斜率为2,又
,
∴ 曲线
在点
处的切线方程为
,即
;
(2)
函数
的定义域为
,
由
(1)
,令
可得
,
当
时,
,函数
在
上单调递减,
当
时,
,函数
在
上单调递增,
∴ 函数
的递增区间为
,递减区间为
,
函数
在
时取极小值,极小值为
,函数
没有极大值
(3)
当
时,不等式
可化为
,
设
,由已知可得
,
又
,
令
,则
,
∴
在
上为增函数,又
,
,
∴存在
,使得
,即
当
时,
,函数
在
上单调递减,
当
时,
,函数
在
上单调递增,
∴
,
∴
,
∴m的最大值为3.
【点睛】
对于恒成立问题,常用到以下两个结论:
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
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- 天津市 河北区 学年 高三上 学期 期末 数学试题 答案 解析