《单元滚动检测卷》高考数学文人教A版全国通用精练检测十二 推理与证明算法复数.docx
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《单元滚动检测卷》高考数学文人教A版全国通用精练检测十二推理与证明算法复数
单元滚动检测十二 推理与证明、算法、复数
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分150分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z满足(z+i)(1-i)=2+i,则z等于( )
A.+iB.+iC.+iD.+i
2.如图是2016年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )
3.已知某程序框图如图所示,当输入的x的值为5时,输出的y的值恰好是,则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是( )
A.y=x3B.y=x
C.y=3xD.y=3-x
4.要证:
a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0
5.(2016·安徽“江淮十校”第三次联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定x=2,则1+等于( )
A.B.
C.D.
6.(2016·宝鸡质检)定义某种运算s=a
b,运算原理如程序框图所示,则2
ln+2
()-1的值为( )
A.12B.11C.8D.4
7.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )
A.n+1B.2n
C.D.n2+n+1
8.(2016·陕西质检二)若足球比赛的计分规则是胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,则一个队打了14场比赛共得19分的情况种数为( )
A.7B.6C.5D.4
9.(2016·西安地区八校联考)执行如图所示的程序框图,若输出的值是13,则判断框内应为( )
A.k<6?
B.k≤6?
C.k<7?
D.k≤7?
10.(2016·陕西第三次质检)已知整数按如下规律排一列:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( )
A.(4,8)B.(5,7)C.(6,6)D.(7,5)
11.(2016·湖南长郡中学月考二)某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有n类(n∈N*),分别编号为1,2,…,n,买家共有m名(m∈N*,m<n),分别编号为1,2,…,m.若aij=1≤i≤m,1≤j≤n,则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )
A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2m
B.a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2
C.a11a12+a21a22+…+am1am2
D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m
12.(2016·陕西质检二)小明用电脑软件进行数学解题能力测试,每答完一道题,软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率=已答对题目数÷已答题目总数).小明依次共答了10道题,设正确率依次相应为a1,a2,a3,…,a10.现有三种说法:
①若a1<a2<a3<…<a10,则必是第一题答错,其余题均答对;
②若a1>a2>a3>…>a10,则必是第一题答对,其余题均答错;
③有可能a5=2a10.
其中正确的个数是( )
A.1B.0C.3D.2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知i为虚数单位,a∈R.若a2-1+(a+1)i为纯虚数,则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点位于第________象限.
14.(2016·济南一模)执行如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间[,]内,则输入的实数x的取值范围是________.
15.(2016·湖南长郡中学月考)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:
23=33=43=….
依此,若m3的“分裂数”中有一个是2015,则m=________.
16.《孙子算经》卷下第二十六题:
今有物,不知其数(shù),三三数(shǔ)之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
________.(只写出一个答案即可)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)
(1)已知复数z=,是z的共轭复数,求z·的值;
(2)求满足=i(i为虚数单位)的复数z;
(3)计算()2016+()6(i是虚数单位).
18.(12分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:
给出如下变换公式:
x′=
将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q;
如5→=3,即e变成c.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
(1)按上述规定,将明文good译成的密文是什么?
(2)按上述规定,若将某明文译成的英文是shxc,那么原来的明文是什么?
19.(12分)如图的程序可产生一系列随机数,其工作原理如下:
①从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入;②从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算;③输出函数值y.若D={1,2,3,4,5},f(x)=3x+1,g(x)=x2.
(1)求y=4的概率;
(2)将程序运行一次,求输出的结果是奇数的概率.
20.(12分)
(1)如果a,b都是正数,且a≠b,求证:
a6+b6>a4·b2+a2b4;
(2)设a,b,c为△ABC的三边长,求证:
(a+b+c)2<4(ab+bc+ca).
21.(12分)某城区一中学生的数学学分由数学成绩决定,数学成绩由数学考试成绩和平时成绩两部分构成,且各占50%.若数学成绩大于或等于60分,获得2学分;否则不能获得学分,即0学分.设计一个算法,通过数学考试成绩和平时成绩计算学分,并画出程序框图(数学成绩、考试成绩与平时成绩均为百分制).
22.(12分)已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx).
(1)求证:
向量a与向量b不可能平行;
(2)若f(x)=a·b,且x∈[-,],求函数f(x)的最大值及最小值.
答案精析
1.A [∵z(1-i)+i-i2=2+i,∴z==,故选A.]
2.A [观察可知:
该五角星对角上的两花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一个角闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.故选A.]
3.C [由程序框图可知,当输入的x的值为5时,第一次运行,x=5-2=3;第二次运行,x=3-2=1;第三次运行,x=1-2=-1,此时x≤0,退出循环,要使输出的y的值为,只有C中的函数y=3x符合要求.]
4.D [要证a2+b2-1-a2b2≤0,即证a2b2-a2-b2+1≥0,
只要证(a2-1)(b2-1)≥0.]
5.C [设1+=x,则1+=x,即x2-x-1=0,解得x=(x=舍).故1+=,故选C.]
6.A [由程序框图知s=a
b=
∴2
ln=2
=3,2
()-1=2
3=9,
∴2
ln+2
()-1=12,故选A.]
7.C [1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,故选C.]
8.D [设胜x场,平y场,负z场,则由题意得
由0≤3x≤19得0≤x≤,
当x=0时,y=19>14,不符合题意;
当x=1时,y=16>14,不符合题意;当x=2时,y=13,x+y>14,不符合题意;当x=3时,y=10,z=1,符合题意;当x=4时,y=7,z=3,符合题意;当x=5时,y=4,z=5,符合题意;当x=6时,y=1,z=7,符合题意.综上所述,共有4种可能的情况,故选D.]
9.A [依题意,执行题中的程序框图,进行第一次循环时,k=1,c=2,a=1,b=2;进行第二次循环时,k=2,c=3,a=2,b=3;进行第三次循环时,k=3,c=5,a=3,b=5;进行第四次循环时,k=4,c=8,a=5,b=8;进行第五次循环时,k=5,c=13,a=8,b=13;进行第六次循环时,k=6,因此当输出的值是13时,判断框内应为“k<6?
”.]
10.B [由已知数对得数对中两个数的和为2的有1对,和为3的有2对,和为4的有3对,…,和为n的有n-1对,且和相等的数对的第一个数以1为公差递增,从n=2到n=11共有数对1+2+3+…+10=55,n=12时有11个数对,分别是(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,故第60个数对是(5,7),故选B.]
11.C [因为aij=1≤i≤m,1≤j≤n,所以若第i名买家同时购买第1类和第2类商品,则ai1ai2=1,否则ai1ai2=0,所以同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+am1am2,故选C.]
12.C [对于①,若第一题答对,则a1=1,a1≥a2,与题意不符,所以第一题答错,若剩余的9道题有答错的,不妨设第k(k≥2)道题答错,则ak≤ak-1,与题意不符,所以剩余的题均答对,①正确;对于②,若第一道题答错,则a1=0,a1≤a2,与题意不符,所以第一题答对,若剩余的9道题有答对的,不妨设第k(k≥2)道题答对,则ak≤ak-1,与题意不符,所以剩余的题均答错,②正确;对于③,设前5道题答对x道题,后5道题答对y道题,则由a5=2a10得=2·,解得y=0,即当后5道题均答错时,a5=2a10,③正确.综上所述,正确结论的个数为3,故选C.]
13.四
解析 因为a2-1+(a+1)i为纯虚数,所以a=1.所以z=1-i对应的点在第四象限.
14.[-2,-1]
解析 若x∉[-2,2],则f(x)=2∉[,],不合题意;当x∈[-2,2]时,f(x)=2x∈[,],得x∈[-2,-1].
15.45
解析 由题意不难找出规律,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,m增加1,累加的奇数个数便多1,我们不难计算2015是第1008个奇数,若它是m的分解,则1至m-1的分解中,累加的奇数一定不能超过1008个.
∴1+2+3+…+(m-1)<1008,1+2+3+…+(m-1)+m≥1008,即<1008,≥1008,解得m=45.
16.23(23+105(n-1),n∈N*均可)
解析 由题意可得物体的个数为3m+2=5n+3=7k+2,m,n,k∈N*,所以物体的个数可以是23.
17.解
(1)∵z=====
=-+i,
∴=--i,
∴z·=(-+i)(--i)=+=.
(2)由已知得,z+i=zi,则z(1-i)=-i,
即z====-.
(3)原式=[()2]1008+()6=()1008+i6=i1008+i6=i4×252+i4+2=1-1=0.
18.解
(1)g→7→=4→d;
o→15→=8→h;
d→4→+13=15→o.
则明文good的密文为dhho.
(2)逆变换公式为
x=
则有s→19→2×19-26=12→l;
h→8→2×8-1=15→o;
x→24→2×24-26=22→v;
c→3→2×3-1=5→e.
故密文shxc的明文为love.
19.解
(1)∵D={1,2,3,4,5},f(x)=3x+1,g(x)=x2.
∴第一步:
从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入,共有5种方法,
第二步:
从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算,共有2种方法,
∴该运算共有f
(1),f
(2),f(3),f(4),f(5),g
(1),g
(2),g(3),g(4),g(5),10种方法,
而满足y=4的有f
(1),g
(2)两种情况,
∴由古典概型概率公式得y=4的概率P==.
(2)输出结果是奇数有以下几种情况:
f
(2),f(4),g
(1),g(3),g(5),共5种,
∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率
P==.
20.证明
(1)a6+b6-(a4b2+a2b4)=a4(a2-b2)-b4(a2-b2)
=(a2-b2)2(a2+b2).
因为a,b都是正数,且a≠b,
所以(a2-b2)2(a2+b2)>0,
所以a6+b6>a4b2+a2b4.
(2)要证原不等式成立,只需证4(ab+bc+ca)-(a+b+c)2>0,
即证a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0,
即证a2+b2+c2-a(b+c)-b(c+a)-c(a+b)<0,
只需证a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立.
因为a,b,c为△ABC的三边长,所以a-(b+c)<0,b-(c+a)<0,c-(a+b)<0,
从而a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立,
所以原不等式得证.
21.解 算法如下:
第一步:
输入数学考试成绩a和平时成绩b.
第二步:
计算数学成绩S=.
第三步:
若S≥60,则学分c=2;否则,学分c=0.
第四步:
输出c.
程序框图如图所示.
22.
(1)证明 假设a∥b,则a=kb(k≠0,k∈R),
有
将②代入①,整理得cosx(1+2k)=kcosx(1-2k),
即cosx(-2k2-k-1)=0,
∵-2k2-k-1<0恒成立,
∴cosx=0,代入②得sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾.
∴向量a与向量b不可能平行.
(2)解 由题知f(x)=a·b=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x
=(cos2x+sin2x)=sin(2x+),
∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,
∴当2x+=,即x=时,f(x)有最大值;
当2x+=-,即x=-时,f(x)有最小值-1.
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