专题8二次函数与矩形正方形存在性问题新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx
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专题8二次函数与矩形正方形存在性问题新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题8二次函数与矩形正方形存在性问题
【例1】(2020•吉林)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y
x2+bx
与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M是直线l上的一点,其纵坐标为﹣m
.以PQ,QM为边作矩形PQMN.
(1)求b的值.
(2)当点Q与点M重合时,求m的值.
(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值.
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.
【例2】(2020•锦州)在平面直角坐标系中,抛物线y
x2+bx+c交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,直线y
与抛物线交于A,D两点,与直线BC交于点E.若M(m,0)是线段AB上的动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点H.
①当点F在直线AD上方的抛物线上,且S△EFG
S△OEG时,求m的值;
②在平面内是否在点P,使四边形EFHP为正方形?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【例3】(2020•兰州)如图,二次函数y
x2+bx+c的图象过点A(4,﹣4),B(﹣2,m),交y轴于点C(0,﹣4).直线BO与抛物线相交于另一点D,连接AB,AD,点E是线段AB上的一动点,过点E作EF∥BD交AD于点F.
(1)求二次函数y
x2+bx+c的表达式;
(2)判断△ABD的形状,并说明理由;
(3)在点E的运动过程中,直线BD上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形,请判断此时AG与BD的数量关系,并求出点E的坐标;
(4)点H是抛物线的顶点,在(3)的条件下,点P是平面内使得∠EPF=90°的点,在抛物线的对称轴上,是否存在点Q,使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形,若存在,直接写出符合条件的所有点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【例4】(2020•烟台二模)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,﹣3).
(1)如图,过点A分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为B,C,得到矩形ABOC,且抛物线经过点C.
①求抛物线的解析式.
②将抛物线向左平移m(m>0)个单位,分别交线段OB,AC于D,E两点.若直线DE刚好平分矩形ABOC的面积,求m的值.
(2)将抛物线平移,使点A的对应点为A1(2﹣n,3b),其中n≥1.若平移后的抛物线仍然经过点A,求平移后的抛物线顶点所能达到最高点时的坐标.
【例5】(2020•碑林区校级四模)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2+bx﹣6经过点A(﹣3,0)和点(﹣1,0),顶点为D.
(1)求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标;
(2)将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2,点A、D的对应点分别为A'、D',是否存在以AD为边,且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形?
若存在,请求出抛物线C2的函数表达式,若不存在,请说明理由.
【题组一】
1.(2020•雁塔区校级模拟)已知二次函数y
x2+bx+c的图象L经过原点,与x轴的另一个交点为(8,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左边),过A,B两点作x轴的垂线,垂足分别为点D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标.
2.(2020•钟楼区校级模拟)将抛物线C1:
y=﹣x2+3沿x轴翻折,得抛物线C2.
(1)请求出抛物线C2的表达式;
(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D、E.在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?
若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
3.(2020•历下区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:
y=ax2+c与x轴相交于A、B两点,顶点C(0,2).AB=2
.点M(m,0)是x轴正半轴上一点,抛物线L关于点M对称的抛物线为L'.
(1)求抛物线L的函数表达式;
(2)点P是第一象限抛物线L上一点,点P到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线L'上的对应点为P'.设E是抛物线L上的动点,E'是点E在抛物线L'上的对应点,试探究四边形PEP'E′能否成为正方形.若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
4.(2020•武侯区模拟)已知抛物线y
x2+bx+c经过点A(4,3),顶点为B,对称轴是直线x=2.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标;
(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,连接AC,过A作AD⊥x轴于点D,E是线段AC上的动点(点E不与A,C两点重合);
(i)若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:
3的两部分,求点E的坐标;
(ii)如图2,连接DE,作矩形DEFG,在点E的运动过程中,是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上?
若存在,求出此时AE的长;若不存在,请说明理由.
【题组二】
5.(2020•犍为县二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m
,试求m的最大值及此时点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形?
如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
6.(2019•南充)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值;
②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.
7.(2019•常德)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B点的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;
(3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使△PNC的面积是矩形MNHG面积的
?
若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.
8.(2019•铜仁市)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?
说明理由.
(3)已知点P是直线y
x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.
【题组三】
9.(2018秋•镇原县期末)如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,可得矩形PQNM.如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长;
(3)当矩形PQNM的周长最大时,m的值是多少?
并求出此时的△AEM的面积;
(4)在(3)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2
DQ,求点F的坐标.
10.(2018•辽阳)如图,直线y=x﹣3与坐标轴交于A、B两点,抛物线y
x2+bx+c经过点B,与直线y=x﹣3交于点E(8,5),且与x轴交于C,D两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上有一点M,当∠MBE=75°时,求点M的横坐标;
(3)点P在抛物线上,在坐标平面内是否存在点Q,使得以点P,Q,B,C为顶点的四边形是矩形?
若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
11.(2018•铁岭)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C.点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),点C与点D关于抛物线的对称轴对称.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为抛物线对称轴上一点,连接BD,以PD,PB为边作平行四边形PDNB,是否存在这样的点P,使得▱PDNB是矩形?
若存在,请求出tan∠BDN的值;若不存在,请说明理由;
(3)点Q在y轴右侧抛物线上运动,当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时,请直接写出点Q的坐标.
12.(2018•抚顺)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒
个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?
并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
【题组四】
13.(2018•曲靖)如图:
在平面直角坐标系中,直线l:
y
x
与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PF=3PE.求证:
PE⊥PF;
(3)若
(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?
如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.
14.(2019•湘西州)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧),点C、D在抛物线上,∠BAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点,已知OA=2,且OA:
AD=1:
3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF,求四边形MNGF周长的最小值;
(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使△ODP中OD边上的高为
?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形ABCD不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L,且直线KL平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
15.(2019•宝安区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点E,F,E(3,4),且F(8,
)为抛物线的顶点,将△CEF沿着EF翻折,点C恰好落在边OB上的点D处.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为线段ED上一动点,连接PF,当PF平分∠EFD时,求PD的长度;
(3)四边形AODE以1个单位/秒的速度沿着x轴向右运动,当点E与点C重合时停止运动,设运动时间为t秒,运动后的四边形A′O′D′E′与△DEF重合部分的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式.
16.(2018春•开福区校级期末)如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示放置,点A在x轴上,点B的坐标为(n,1)(n>0),将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、A′、C′三点.
(1)求此抛物线的解析式(a、b、c可用含n的式子表示);
(2)若抛物线对称轴是x=1的一条直线,直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点D(x1,y1)、E(x2、y2)(x1<x2),当|x1﹣x2|最小时,求抛物线与直线的交点D和E的坐标;
(3)若抛物线对称轴是x=1的一条直线,如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面内一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线CM对称,连接MQ′、PQ′,当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的
时,求平行四边形APQM的面积.
【题组五】
17.(2019•鼓楼区模拟)如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(﹣2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.
(1)填空:
点D的坐标为 ,点E的坐标为 .
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒
个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.
18.(2019•临朐县一模)如图,已知直线
交坐标轴于A、B点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E.
(1)求点C、D的坐标
(2)求抛物线的解析式
(3)若抛物线与正方形沿射线AB下滑,直至点C落在x轴上时停止,求抛物线上C、E两点间的抛物线所扫过的面积.
19.(2019•宽城区一模)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与抛物线
交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为
.动点P在抛物线上运动(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线,交直线AB于点Q.当PQ不与y轴重合时,以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧,连结PM.设点P的横坐标为m.
(1)求b、c的值.
(2)当点N落在直线AB上时,直接写出m的取值范围.
(3)当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时,设正方形PQMN的周长为C,求C与m之间的函数关系式,并写出C随m增大而增大时m的取值范围.
(4)当△PQM与坐标轴有2个公共点时,直接写出m的取值范围.
20.(2019•吴兴区一模)如图所示,动点A、B同时从原点O出发,运动的速度都是每秒1个单位,动点A沿x轴正方向运动,动点B沿y轴正方向运动,以OA、OB为邻边建立正方形OACB,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点,假设A、B两点运动的时间为t秒:
(1)直接写出直线OC的解析式;
(2)当t=3秒时,求此时抛物线的解析式;此时抛物线上是否存在一点D,使得S△BCD=6?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,有一条平行于y轴的动直线l,交抛物线于点E,交直线OC于点F,若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形,求点F的坐标;
(4)在动点A、B运动的过程中,若正方形OACB内部有一个点P,且满足OP
,CP=2,∠OPA=135°,直接写出此时AP的长度.
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