备战高考物理计算题专题复习《万有引力定律》解析版.docx
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备战高考物理计算题专题复习《万有引力定律》解析版
《万有引力定律》
一、计算题
1.2019年1月3日,嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面,并通过“鹊桥”中继卫星
传回了第一张近距离拍摄月球背面的图片。
此次任务实现了人类探测器首次在月球
背面软着陆、首次在月球背面通过中继卫星与地球通讯,因而开启了人类探索月球
的新篇章。
探测器在月球背面着陆的难度要比在月球正面着陆大很多。
其主要原
因在于:
由于月球的遮挡,着陆前探测器将无法和地球之间实现通讯。
2018年5
月,我国发射了一颗名为“鹊桥”的中继卫星,在地球和月球背面的探测器之间搭
了一个“桥”,从而有效地解决了通讯问题。
为了实现通讯和节约能量,“鹊桥”的理想位置就是围绕“地一月”系统的一个拉格朗日点运动,如图1所示。
所谓
“地一月”拉格朗日点是指空间中的某个点,在该点放置一个质量很小的天体,该
天体仅在地球和月球的万有引力作用下保持与地球和月球的相对位置不变。
设地球质量为M,月球质量为m,地球中心和月球中心间的距离为L,月球绕地心运动,图1中所示的拉格朗日点到月球球心的距离为「。
推导并写出r与M、m和L之间的关系式。
地球和太阳组成的“日一地”系统同样存在拉格朗日点,图2为“日一地”系统示意图,请在图中太阳和地球所在直线上用符号"”标记出几个可能拉格朗日
点的大概位置。
2.利用万有引力定律可以测量天体的质量.
测地球的质量
比较精确地测量出了引
已知月球的公转周
中提供的信息,求月
英国物理学家卡文迪许,在实验室里巧妙地利用扭秤装置,力常量的数值,他把自己的实验说成是“称量地球的质量”.已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为
若忽略地球自转的影响,求地球的质量.
测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”,是指在相互间引力的作用下,绕连线
上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B,如图所示.已知A、B间距离为L,A、B绕。
点运动的周期均为T,引力常量为G,求A、B的总质量.
测月球的质量
若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成“双星系统”
期为,月球、地球球心间的距离为你还可以利用、
球的质量.
3.
如图所示是“月亮女神”、“嫦娥1号”绕月做圆周运行时某时刻的图片,用、
、、、分别表示“月亮女神”和“嫦娥1号”的轨道半径及周期,用R表示月亮的半径.
月亮♦-翳T嫦娥1号
一』/
4s
.
请用万有引力知识证明:
它们遵循一一其中k是只与月球质量有关而与
卫星无关的常量
经多少时间两卫星第一次相距最远;
请用所给“嫦娥1号”的已知量.估测月球的平均密度.
4.2014年10月8日,月全食带来的“红月亮”亮相天空,引
起人们对月球的关注。
我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在
环月圆轨道绕行n圈所用时间为t,如图所示。
已知月球半
径为R,月球表面处重力加速度为月,引力常量为试求:
月球的质量M;
月球的第一宇宙速度;
“嫦娥三号”卫星离月球表面高度ho
5.由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:
三颗
星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共
同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动图示为A、B、C三颗
星体质量不相同时的一般情况。
若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,
三角形的边长为a,求:
星体所受合力大小
星体所受合力大小
星体的轨道半径
三星体做圆周运动的周期To
6.
某行星质量为M,半径为R,自转对地面物体重力的影响不可忽略,两与赤道面
共面的卫星A、B在距地面高分别为和
圆形轨道做匀速圆周运动,其
m的人站在赤道地面上的C点
绕行方向相同,其中B卫星是同步卫星,一质量为观察两卫星的运动,万有引力常数为G,求:
地面对人的支持力N;
人观察到A卫星相邻两次经过头顶的时间间隔t。
在发射地球同步卫星,可先将卫星发射至距地面一定高度的圆形近地轨道上,在卫
星经过A点时点火喷气发动机工作实施变轨进入椭圆轨道,椭圆轨道的近地点为
A,远地点为B;在卫星沿椭圆轨道运动经过B点时再次点火实施变轨,将卫星送入同步轨道远地点B在同步轨道上,如图所示。
两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速,并且点火时间很短。
已知同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,
地球表面重力加速度为go
求同步轨道距地面的高度。
若同步卫星距地面的高度已知,卫星在椭圆轨道上从A点运动到B点所用的时间为t,求A点到地面的高度。
火星如图所示是太阳系中与地球最为类似的行星,人
类对火星生命的研究在今年因“火星表面存在流动的
液态水”的发现而取得了重要进展.若火星可视为均匀
球体,火星表面的重力加速度为g火星半径为R,火星自转周期为T,万有引力常量为求:
火星的平均密度
火星的同步卫星距火星表面的高度h.
9.
空间站是一种在近地轨道长时间运行,可供多名航天员巡访、长期工作和生活的载
人航天器。
如图所示,某空间站在轨道半径为R的近地圆轨道I上绕地球运行,一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离,分离后空间站仍在轨道I上围绕地
球运行,分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很短的距离内加速,进入椭圆轨道n
上运行。
已知椭圆轨道的远地点到地心的距离为,地球质量为M,引力常量为
Go则分离后飞船在椭圆轨道上至少运行多长时间才有机会与空间站第二次对接
10.由于通讯和导航等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,我国的“北斗
卫星导航系统”中也有同步卫星的存在。
若在同步轨道上等间距分布三颗卫星就可
实现全球大部分地区通讯,但无论同步卫星数目增到多少,地球两级附近总有一部
分面积覆盖不到。
已知地球自转周期为T,半径为R,表面重力加速度为go球冠
的表面积公式为,R为球体半径,h为球冠高度,如图所示。
求:
同步卫星的轨道半径r;
地球不能够被覆盖的总面积。
计算涉及到同步卫星轨道半径时,可直接用r表
示
11.2003年10月15日,我国宇航员杨利伟乘坐我国自行研制的“神舟”五号飞船在酒泉卫星发射中心成功升空,这标志着我国已成为世界上第三个载人飞船上天的国家。
“神舟”五号飞船是由长征一运载火箭将其送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,实施变轨后,进入预定圆轨道,如图所示。
已知近地点A距地面高度为
h,飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,求:
飞船在近地点A的加速度为多少?
飞船在预定圆轨道上飞行的速度为多少?
12.人民网北京7月6日电据中国航天科技集团公司官网消息,6月19日,长征三号乙
遥二十八火箭发射中星9A卫星过程中运载火箭出现异常,未能将卫星送入预定轨
道。
中航科技集团公司在西安卫星测控中心的密切配合下,通过准确实施10次轨
道调整,卫星于7月5日成功定点于东经赤道上空的预定轨道。
目前,卫
星各系统工作正常,转发器已开通,后续将按计划开展在轨测试工作。
J11
如图所示,卫星圆轨道I通过椭圆轨道n调整至圆轨道出,P点是圆轨道I和椭圆轨道n的切点,Q点椭圆轨道n调和圆轨道出的切点。
已知中星9A卫星的质量为
,地球质量为,地球表面重力加速度,
地球半径为,圆轨道I的轨道半径为,圆轨道m的轨道半径为
地面附近物体所受重力等于万有引力,—,一,一,
地球同步卫星的轨道半径为、环绕周期为。
求:
卫星在圆轨道I、出上运行的速度、各是多大?
将卫星从圆轨道I送到圆轨道出,至少要对卫星做多少功?
以距离地球无限远处为势能零点,质量为m卫星距离地心为R时,其引力势能
为——,且卫星在P点和Q点时,,则卫星在椭圆轨道P
点、Q点的速度各是多大?
13.
如图所示,曲线I是一颗绕地球做圆周运动的卫星轨道的示意图,其半径为R;
曲线n是一颗绕地球做椭圆运动的卫星轨道的示意图,。
点为地球球心,AB为椭
圆的长轴,两轨道和地心都在同一平面内,已知在两轨道上运动的卫星的周期相等,
引力常量为G,地球质量为M,下列说法正确的是
A.椭圆轨道的长轴长度为2R
B.卫星在I轨道的速度为卫星在n轨道B点的速率为,则
C.卫星在I轨道的加速度大小为,卫星在n轨道A点加速度大小为,则
D.若,则卫星在B点的速率
E.若,则卫星在A点的速率
某仪器在地面上受到的重力为160N,将它置于宇宙飞船中,当宇宙飞船以
的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90N,取地球表面处重
力加速度,地球半径求:
此处的重力加速度的大小g;
此处离地面的高度H;
在此高度处运行的卫星速度v.
14.
我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动,在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。
如图所示,假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g,飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道I上运动,到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道n,到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道出绕月球做圆周运动
飞行器在轨道I、n、
出上运行的周期大小关系如何?
最大周期为多少?
飞行器在轨道I、n、出上运行的机械能大小关系如何?
飞行器在轨道I、出上运行的速度大小关系如何?
15.假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同一平面内.己
知地球表面处的重力加速度,地球半径,月球质
量,月球半径,引力恒量
,月心地心间的距离约为
月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天?
地球上的观察者相继两次看到满月需多少天?
若忽略月球绕地球的运动,设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球,试
估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少结果要求两位数字
16.据新华社报道,为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空,2002年3月25日22
时15分,我国成功地发射了一艘无人试验飞船。
在完成预定任务后,飞船于4月1
日16时51分安全着陆,共绕地球飞行108圈。
飞船的名称是什么?
飞船在运行期间,按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作,包
括从椭圆轨道变换成圆轨道等.假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当
作圆周运动处理,试粗略估计飞船离地面的平均高度.已知地球半径
,地球表面处的重力加速度
17.如图所示,两颗人造卫星M和N围绕地球做匀速圆周运动,卫星N的质量是卫星
M的质量的2倍,观测到卫星M的周期是卫星N的周期的8倍,求:
卫星M与卫星N的轨道半径之比。
卫星M与卫星N的动能之比。
卫星M与卫星N的向心力之比。
18.天文学家在冥王星以外的遥远空间发现了一个新的天体,又一次界定了太阳系边
沿.而这颗新天体的存在,或能证明在冥王星外还存在一个更大的行星,
这颗行星甚至比地球还大.假设球状行星的确存在,设想发射一颗该行星
的卫星来估测它的平均密度,已知行星的半径为R,万有引力常量为Go
若卫星贴近行星表面做匀速圆周运动的周期为,求该行星的平均密
度;
若卫星距行星表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T,
求该行星的平均密度。
19.阅读如下资料,并根据资料中有关信息回答问题.
平均半径
地
日地球
地
日地球
平均密度
地
日地球
自转周期
1天
赤道附近26天,两极附近大于30天
以下是地球和太阳的有关数据:
万有引力常量
已知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为,光速
大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球,直径为
太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它,其逃逸速度大于
真空中的光速逃逸速度为第一宇宙速度的一倍,这一奇怪的星体就叫作黑洞.
在下列问题中,把星体包括黑洞看作是一个质量分布均匀的球体.的计算
结果用科学计数法表达,且保留一位有效数字;的推导结论用字母表达
试估算地球的质量;
试估算太阳表面的重力加速度;
已知某星体演变为黑洞时的质量为M,求该星体演变为黑洞时的临界半径R.
20.从玉兔登月到对月球背面探测。
近几年我国探月工程取得很大的突破,假设质量为
m的玉兔号探测器进入绕月球飞行的轨道,先在半径为R的圆形轨道I上绕月球飞
行,运行速度大小为为了进一步探测月球表面的情况,当探测器运行到A点时
发动机向前喷出质量为的气体,探测器速度大小减为,进入一个椭圆轨道n,
运行到B点时再一次改变速度,然后进入离月球更近的半径为r的圆轨道m,如图
所示.设探测器仅受到月球的万有引力,探测器在A点喷出的气体速度大小为求:
探测器在轨道出上的运行速率和加速度的大小.
探测器在A点喷出的气体质量
21.开普勒1609年—1619年发表了著名的开普勒行星运行三定律,其中第三定律的内
容是:
所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。
万
有引力定律是科学史上最伟大的定律之一,它于1687年发表在牛顿的《自然哲学
的数学原理中》。
请从开普勒行星运动定律等推导万有引力定律设行星绕太阳的运动可视为匀
速圆周运动;
万有引力定律的正确性可以通过“月地检验”来证明:
如果重力与星体间的引力是同种性质的力,都与距离的二次方成反比关系,那么,由于月心到地心的距离是地球半径的60倍;月球绕地球做近似圆周运动的向心加
速度就应该是重力加速度的——。
试根据上述思路并通过计算证明:
重力和星体间的引力是同一性质的力已知地球
半径为,月球绕地球运动的周期为28天,地球表面的重力加速度为
22.中国空间站将于2022年建成,我国科研人员在模拟空间站运行时发现,质量为的
空间站由于受到微弱阻力的作用而沿螺旋轨道向地球运行,因阻力极微小,可认为
在一圈内空间站作匀速圆周运动。
若开始时其轨道半径为R,经过较长时间T后其
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轨道半径减小了远小于。
如果规定物体在离地球无穷远处势能为零,则质量为
m的物体离地心距离为r时,具有的万有引力势能可表示为
引力常量,M为地球质量。
求空间站在半径为R的轨道上运行时的机械能E;
估算空间站受到的微弱阻力F的大小。
23.2010年10月我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射.“嫦娥二号”卫星开始绕地球
做椭圆轨道运动,经过若干次变轨、制动后,最终使它绕月球在一个圆轨道上运
行.设“嫦娥二号”距月球表面的高度为h,绕月圆周运动的周期为已知月球半
径为R,引力常量为G.
求月球的质量M;
求月球的密度;
若地球质量为月球质量的k倍,地球半径为月球半径的n倍,求地球与月球的
第一宇宙速度之比:
.
24
.如图,地球赤道上有一通讯站A,赤道上空有一颗圆轨道通讯卫星B,运行方向与
求卫星B的离地高度。
求卫星B连续两次到达A站正上空的时间间隔。
25.2016年1月5日上午,国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的嫦娥三号探测
器着陆点周边区域命名为“广寒宫”,附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天
市”、“太微”此次成功命名,是以中国元素命名的月球地理实体达到22个.己
知地球半径为R,表面重力加速度为g,质量为m的嫦娥三号卫星在地球上空的万
有引力势能为——以无穷远处引力势能为零,r表示物体到地心的距
离.求:
质量为m的嫦娥三号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做匀速圆周运动,求
此时卫星距地球地面高度?
要使嫦娥三号卫星上升,从离地高度此问可以认为为已知量再增加h的轨道
上做匀速圆周运动,卫星发动机至少要做的功W为多少?
答案和解析
1.【答案】解:
则对物体病:
设图中拉格朗日点有质量为排的物体(JH《刈
八Mm”一口心
(j^+心一「=也3弋A+『)对月球m:
一
(Lr)2强
联立可得:
———
对于“日一地”系统,在日地连线上共有3个可能的拉格朗日点,其大致位置如图:
嘛I拉搭尚口点
-----f—*-iU---
太阳
的H拉格网H户.
一▼一■---^jr-一.—f
毡填定用工希朗日3
【解析】设在图中的拉格朗日点有一质量为的物体则月球对其的万有引
力E=以丝,地球对其的万有引力为民=与一,质量为的物体以地球为中
r2(L+
心做圆周运动,向心力由和的合力提供,得到r与M、m和L之间的关系式;
对于“日地”系统,在太阳和地球连线上共有3个可能的拉格朗日点,得到大概位置。
本题考查环绕天体运动参量的分析与计算。
难度较大。
2.【答案】解:
设地球的质量为M,地球表面某物体质量为m,忽略地球自转的影
响,则有——
解得:
一
设A的质量为,人到O的距离为,设B的质量为,B到O的距离为,
根据万有引力提供向心力公式得:
又因为
解得:
——
设月球质量为,由可知,
由可知,——
解得:
——一
答:
地球的质量为——;
、B的总质量为;
月球的质量为
【解析】根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力——,可解得地球的
质量M;
双星问题,它们之间的万有引力提供向心力,它们两颗星的轨道半径的和等于它们
之间的距离.代入公式即可解答;
根据地问的结论求出地球和月球的总质量,再减去中求出的地球质量即为月球
质量.
本题要掌握两个关系:
星球表面的物体受到的重力等于万有引力;环绕天体绕中心天体
做圆周运动所需要的向心力由万有引力提供.这两个关系可以解决天体运动的一切问题,
双星问题,要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离,不能把它们的
距离当成轨道半径.
3.【答案】解:
环绕天体绕月球圆周运动万有引力提供圆周运动向心力有:
——,——,由两式可得:
一一——,式中M
为月球质量,G为万有引力常量故一,其中k为与月球质量有关的常数,与卫星无
关;
月亮女神运动比嫦娥1号运动快,当它们转过的角度差等于时相距最远,从相距最
近到第一次相距最远,所用时间:
根据万有引力定律提供圆周运动向心力有:
——可得月球质量
根据密度公式可得月球的密度
【解析】绕月球做匀速圆周运动的天体圆周运动的向心力由万有引力提供,据此求
得半径的三次方与周期的二次方的比值,从而得出结论;
某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方,当两颗卫星转动角度相差时,
相距最远;
根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体月球的质量,再根据密度公式求得月球的密度。
环绕天体圆周运动的向心力由万有引力提供,据此根据圆周运动的半径和周期可以求得
中心天体的质量,掌握万有引力公式和球的体积公式是解题的关键。
4.【答案】解:
月球表面处引力等于重力,——月
得人
得一一
所以月球第一宇宙速度一~
卫星做圆周运动,由万有引力提供向心力
得一一
卫星周期-
轨道半径
解得J—
答:
月球的质量为二;
月球的第一宇宙速度为月;
“嫦娥三号”卫星离月球表面高度为
【解析】在月球表面的物体受到的重力等于万有引力——月,化简可得月球的质
量。
根据万有引力提供向心力一一,可计算出近月卫星的速度,即月球的第一宇宙
速度。
根据万有引力提供向心力————,结合周期和轨道半径的关系,可计算出卫星
的高度。
本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系,要能够根据题
意选择恰当的向心力的表达式。
5.【答案】解:
由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为
方向如图则合力大小为
同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为
一,方向如图。
合力大小
可得——
通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,
可得二
三星体运动周期相同,对C星体,由
可得一
答:
星体所受合力大小为
星体所受合力大小为一
星体的轨道半径为-
三星体做圆周运动的周期为
【解析】【分析】该题借助于三星模型考查万有引力定律,其中B与C的质量相等,则运行的规律、运动的半径是相等的。
画出它们的受力的图象,在结合图象和万有引力定律即可正确解答。
由万有引力定律,A星受到B、C的引力的合力充当A星体圆周运动的向心力,分别求出单个力,然后求出合力;
同理可求出B星所受合力;
根据几何关系求出C的轨道半径;
三星体的运动周期相同,根据合力提供向心力,求出周期。
6.【答案】解:
地面上的人受万有引力和支持力,其全力提供自转向心力,即
对于同步卫星有:
代入得
联立得——_
答:
地面对人的支持力N为
人观察到A卫星相邻两次经过头顶的时间间隔t为一———。
【解析】不能忽略地球自转,物体的自转向心力为万有引力的一个分力,万有引力
产生两个效果,一是随地球自转,二是产生对地面的弹力,建立赤道物体的向心力方程,求解No
卫星相遇问题的解决方法是,周期小的卫星比周期大的卫星多转一圈,A、B卫星满
足开普勒第三定律。
可以根据B同步卫星,万有引力充当向心力,可求B的周期。
7.【答案】解:
设地球质量为M,卫星质量为m,引力常量为G,有:
——
可认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力,即:
——由以上两式解得:
根据题意,椭圆轨道的半长轴:
则根据开普勒第三定律,有:
-
解得:
一
答:
求同步轨道距地面的高度——;
若同步卫星距地面的高度已知,卫星在椭圆轨道上从A点运动到B点所用的时间为
t,则A点到地面的高度一。
【解析】求解此题的关键是能够根据卫星运动时万有引力提供向心力和在地球表面重力等于万有引力分析相关问题,能够应用开普勒第三定律求解椭圆轨道半长轴与周期之间的关系。
由万有引力提供向心力和在地球表面重力等于万有引力列式求解同步轨道距地面的高度;
根据开普勒第三定律列式求解A点到地面的高度。
8.【答案】解:
在火星表面,对质量为m的物体有——
联立两式解得——.
同步卫星的周期等于火星的自转周期T
万有引力提供向心力,有————
联立解得——.
答:
火星的平均密度为.
火星的同步卫星距火星表面的高度h为——
【解析】根据万有引力等于重力求出火星的质量,结合火星的体积求出火星的密度.
根据万有引力提供向心力求出火星同步卫星的轨道半径,从而得出距离火星表面的
高度.
解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论:
1、万有引力等于重力,2、万有引
力提供向心力,并能灵活运用.
9.【答案】解:
设空间站在轨道I上运行周期为,万有引力提供空间站做圆周运动的
向心力,则:
—空一
解得:
一
航天飞船所在椭圆轨道的半长轴:
设航天飞船在轨道II上运动的周期为,由开普勒第三定律:
一-
解得:
一
要完成对接,飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点,故至少所需时间t应为、
的最小公倍数:
解得:
一
答:
分离后飞船在椭圆轨
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