完整版概率经典例题及解析近年高考题50道带答案doc.docx
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完整版概率经典例题及解析近年高考题50道带答案doc
【经典例题】
【例1】(2012湖北)如图,在圆心角为直角的扇形
OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形
OAB内
随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
2
1
1
2
1
A.1-π
B.2-π
C.π
D.π
【答案】A
【解析】令OA=1,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为S1,围成OC为S2,作对称轴OD,则过C点.S2即为以OA
2
π121
11π-2
S
2
(2)-2×2×2=
1
为直径的半圆面积减去三角形
OAC的面积,S=
8
.在扇形OAD中2为扇形面积减去三角
S2
S11
21S2
π-2
π-2
π
形OAC面积和2
,2=8π×1-8-2=
16
,S1+S2=
4
,扇形OAB面积S=4,选A.
【例2】(2013湖北)如图所示,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为
125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,
从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为
X,则X的均值E(X)=(
)
126
6
168
7
A.
125
B.5
C.125
D.
5
【答案】B
27
54
36
8
27
【解析】X的取值为
0,1,2,3且P(X=0)=125,P(X=1)=125,P(X=2)=125,P(X=3)=125,故E(X)=0×125
+1×
54
36
8
6
+2×
+3×
=,选B.
125
125
125
5
【例3】(2012
四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通
电后的
4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以
4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪
亮的时刻相差不超过
2秒的概率是(
)
1
1
3
7
A.
4
B.2
C.
4
D.
8
【答案】C
【解析】设第一串彩灯在通电后第
x秒闪亮,第二串彩灯在通电后第
y秒闪亮,由题意
0≤x≤4,
满足条件的关系式
0≤y≤4,
为-2≤x-y≤2.
1
根据几何概型可知,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位,
12
3
故概率为16=4.
【例4】(2009
江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:
m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取
2根竹竿,则它们的长度恰好相差
0.3m的概率为
.
【答案】0.2
【解析】从5根竹竿中一次随机抽取
2根的可能的事件总数为
10,它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是:
2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2
【例5】(2013
江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数
m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的
概率为________.
20
【答案】
【解析】基本事件共有7×9=63种,m可以取1,3,5,7,n可以取1,3,5,7,9.所以m,n都取到奇数共有20
20
种,故所求概率为63.
【例6】(2013山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为________.
【答案】
1
3
【解析】当x<-1时,不等式化为-x-1+x-2≥1,此时无解;当-1≤x≤2时,不等式化为x+1+x-2≥1,解之得x≥1;当x>2时,不等式化为x+1-x+2≥1,此时恒成立,∴|x+1|-|x-2|≥1的解集为[1,+∞).在[-3,3]
上使不等式有解的区间为[1,3],由几何概型的概率公式得
P=
3-1
1
.
3-(-3)
=
3
【例7】(2013北京)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于
100表示空气质量优良,
空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择
3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?
(结论不要求证明)
【答案】132;1213;3月5日
【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,,13).
1
(i≠j).
根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=
13
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则
B=A5∪A8.
2
所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=.
13
(2)由题意可知,X的所有可能取值为
0,1,2,且
2
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)
4
=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=13,
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)
4
=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=13,
5
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=13.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
5
4
4
13
13
13
5
4
4
12
故X的期望E(X)=0×+1×+2×
=.
13
13
13
13
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
【例8】(2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为
2,中奖可以
3
获得2分;方案乙的中奖率为
2,中奖可以获得
3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中
5
奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为
X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:
他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【答案】1115;方案甲.
22
【解析】方法一:
(1)由已知得,小明中奖的概率为3,小红中奖的概率为5,且两人中奖与否互不影响.记“这2
人的累计得分X≤3”的事件为A,
则事件A的对立事件为“X=5”,
22411
因为P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=,
351515
11
即这两人的累计得分X≤3的概率为15.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽
奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
22
由已知可得,X1~B2,3,X2~B2,5,
2424
所以E(X1)=2×3=3,E(X2)=2×5=5,
812
从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.
35
因为E(2X1)>E(3X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
3
方法二:
(1)由已知得,小明中奖的概率为
2,小红中奖的概率为
2,且两人中奖与否互不影响.
3
5
记“这两人的累计得分
X≤3”的事件为A,
则事件A包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件,
2
2
1
2
2
2
2
2
2
,
因为P(X=0)=1-
×1-
=,P(X=2)=
×1-
=,P(X=3)=1-
×=
15
3
5
5
3
5
5
3
5
11
所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)
+P(X=3)=15,
11
即这两人的累计得分
X≤3的概率为15.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为
X1,都选择方案乙所获得的累计得分为
X2,则X1,X2的分
布列如下:
X1
0
2
4
X2
0
3
6
P
1
4
4
P
9
12
4
9
9
9
25
25
25
1
4
4
8
所以E(X1)=0×9+2×9+4×9=3,
E(X2)=0×9+3×
12+6×
4=
12.
25
25
25
5
因为E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
【例9】(2013浙江)设袋子中装有
a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:
取出一个红球得
1分,取出一个黄球得
2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取
(有放回,且每球取到的机会均等
)2个球,记随机变量
ξ为取出此2
球所得分数之和,求
ξ的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等
)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=5,Dη=5,求a∶b∶c.
3
9
【答案】3∶2∶1
【解析】
(1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6.
P(ξ=2)=
3×31
=,
6×6
4
P(ξ=3)=
2×3×2=
1,
6×6
3
2×3×1+2×25
P(ξ=4)=
6×6
=18.
P(ξ=5)=
2×2×1
1
6×6=
9,
P(ξ=6)=
1×1
1
,
=
36
6×6
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
1
1
5
1
1
4
3
18
9
36
4
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
a
b
c
a+b+c
a+b+c
a+b+c
a
2b
3c
5
所以Eη=a+b+c+a+b+c+a+b+c=3,
5
a
5
b
5
c5
Dη=1-32·a+b+c+2-32·a+b+c+3-32·a+b+c=9,
2a-b-4c=0,
解得a=3c,b=2c,
化简得
a+4b-11c=0,
故a∶b∶c=3∶2∶1.
【例10】(2009北京理)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的
概率都是1,遇到红灯时停留的时间都是2min.
3
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.
【答案】4
;3
27
8
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础
知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件
A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二
个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件
A的概率为PA11
11
1
4
.
3
3
3
27
(2)由题意,可得
可能取的值为0,2,4,6,8(单位:
min).
事件“
2k”等价于事件“该学生在路上遇到
k次红灯”(k
0,1,2,3,4),
k
4k
∴P
2k
Ck41
2
k0,1,2,3,4,
3
3
∴即
的分布列是
0
2
4
6
8
P
16
32
8
8
1
81
81
27
81
81
∴
的期望是E
16
32
8
8
1
8
0
2
4
6
8
.
81
81
27
81
81
3
5
【课堂练习】
1.(2013广东)已知离散型随机变量
X的分布列为
X
1
2
3
P
3
3
1
5
10
10
则X的数学期望E(X)=(
)
3
5
A.2
B.2
C.
2
D.3
2.(2013陕西)如图,在矩形区域
ABCD
的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区
域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常
).若在该矩形区域内随机地选一地点,则
该地点无信号的概率是(
)
.
A.1-
π
π
π
D.
π
4
B.-1
B.2-
4
2
2
3.在棱长分别为
1,2,3的长方体上随机选取两个相异顶点,若每个顶点被选的概率相同,则选到两个顶点的距离
大于3的概率为()
4
3
2
3
A.7
B.7
C.7
D.14
4.(2009安徽理)考察正方体6个面的中心,甲从这
6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这
6个点中任意选两
个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
1
2
3
4
?
B
A.
B.
C.
D.
75
75
75
75
?
F
?
C
?
D
?
E
?
A
5.(2009江西理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了
3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐
3
种卡片可获奖,现购买该种食品
5袋,能获奖的概率为(
)
31
33
C.
48
50
A.
B.
81
D..
81
81
81
6.(2009辽宁文)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形
ABCD内随机取一点,取到的点到
O的距离大于
1的概率为
A.
B.1
C.
8
D.1
8
4
4
7.(2009上海理)若事件E与F
相互独立,且
PE
PF
1
的值等于
,则PEIF
4
A.0
1
C.
1
1
B.
4
D.
16
2
6
8.(2013广州)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为
a,b,则方程
x2
y2
2+
b
2=1表示焦点在x轴上且离心率小
a
于3的椭圆的概率为(
)
2
C.17
1
15
31
A.2
B.
32
32
D.
32
1,2,3,
9.已知数列{a}满足a=a
+n-1(n≥2,n∈N),一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为
n
nn-1
4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次,得到的点数分别记为
a,b,c,则满足集合{a,b,c}={a1,a2,a3}(1≤ai≤6,
i=1,2,3)的概率是(
)
1
B.
1
C.1
D.
1
A.72
36
24
12
10.(2009湖北文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是
0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率
是
,三人中至少有一人达标的概率是
。
11.(2013新课标全国Ⅱ)从n个正整数
1,2,3,,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于
5的概率
为1,则n=________.14
12.(2013福建)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1>0”发生的概率为________.
13.(2013辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取
5个班级,把每个班级参加该小组的
人数作为样本数据.已知样本平均数为
7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为________.
14.在长为10cm的线段AB上任取一点C,并以线段AC为边作正方形,这个正方形的面积介于
25cm2与49cm2
之间的概率为________.
15.(2013全国)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在
下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为
1,各局比赛的结果相互独立,第
1局甲当裁判.
2
(1)求第4局甲当裁判的概率;.
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求
X的数学期望.
16.(2013辽宁)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取
3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是
3
5,答对每道乙类题的概
率都是4,且各题答对与否相互独立.用
X表示张同学答对题的个数,求
X的分布列和数学期望.
5
17.(2013江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:
以
O为起点,再从
A1,
A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图1-5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为
X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列和数学期望.
图1-5
18.(
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