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函数初步知识
一次函数和反比例函数
变量与函数
(1)
1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念;
2.了解表示函数关系的三种方法:
解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系.
问题1如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答:
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?
任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.
(2)这一天中,最高气温是多少?
最低气温是多少?
(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?
什么时段的气温在逐渐降低?
问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:
观察上表回答:
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?
(2)波长l越大,频率f就________.
问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系:
S=_________.
利用这个关系式,试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积,并将结果填入下表:
由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就_________.
在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable).
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量(independentvariable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x的函数(function).
表示函数关系的方法通常有三种:
(1)解析法,如问题3中的
,问题4中的S=πr2,这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表.
(3)图象法,如问题1中的气温曲线.
问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量(constant),如问题3中的300000,问题4中的π等.
例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?
其中哪个是自变量?
哪个是因变量?
解
(1)平均身高是146.1cm;
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速;
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.
例2写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
(1)圆的周长C与半径r的关系式;
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
解
(1)C=2πr,2π是常量,r、C是变量;
(2)s=60t,60是常量,t、s是变量;
(3)S=(n-2)×180,2、180是常量,n、S是变量.
1.函数概念包含:
(1)两个变量;
(2)两个变量之间的对应关系.
2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常量.例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量.
3.函数关系三种表示方法:
(1)解析法;
(2)列表法;(3)图象法.
练习题:
1、分别指出下列各关系式中的变量与常量:
(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是
;
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90-α;
(3)若某种报纸的单价为a元,x表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:
y=ax.
2.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量:
(1)每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系;
(2)计划购买50元的乒乓球,求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.
3.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数,y表示纵向的乘数,试写出y关于x的函数关系式.
变量与函数
(2)
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制;
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
问题1填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.
解如图能发现涂黑的格子成一条直线
函数关系式:
y=10-x.
问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.
解y与x的函数关系式:
y=180-2x.
问题3如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式.
解y与x的函数关系式:
.
思考
(1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?
如果有,写出它的取值范围.
(2)在上面问题1中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?
当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?
上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如:
s=60t,S=πR2.
在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.例如,函数解析式S=πR2中自变量R的取值范围是全体实数,如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系,那么自变量R的取值范围就应该是R>0.
对于函数y=x(30-x),当自变量x=5时,对应的函数y的值是
y=5×(30-5)=5×25=125.
125叫做这个函数当x=5时的函数值.
例1求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=3x-1;
(2)y=2x2+7;(3)
; (4)
.
归纳四个小题代表三类题型.
(1),
(2)题给出的是只含有一个自变量的整式;(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子;(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.
例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:
(1)某市民用电费标准为每度0.50元,求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式;
(2)已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式;
(3)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2),求S关于r的函数关系式.
例3求下列函数当x=2时的函数值:
(1)y=2x-5;
(2)y=-3x2;
(3)
; (4)
.
1.求函数自变量取值范围的两个依据:
(1)要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;
②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.
(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.
2.求函数值的方法:
把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值.
练习题:
1.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:
(1)一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少xcm后,得到的新正方形周长为ycm.求y和x间的关系式;
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式;
(3)矩形的周长为12cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积.
2.求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=-2x-5x2;(3)y=x(x+3);
(3)
;(4)
.
3.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下式给出:
s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒,试问坡长为多少?
4.当x=2及x=-3时,分别求出下列函数的函数值:
(1)y=(x+1)(x-2);
(2)y=2x2-3x+2;(3)
.
函数的图像
(1)
1.掌握平面直角坐标系的有关概念;
2.能正确画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标;
3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义
问题1例如你去过电影院吗?
还记得在电影院是怎么找座位的吗?
解因为电影票上都标有“×排×座”的字样,所以找座位时,先找到第几排,再找到这一排的第几座就可以了.也就是说,电影院里的座位完全可以由两个数确定下来.
问题2在教室里,怎样确定一个同学的座位?
解例如,××同学在第3行第4排.这样教室里座位也可以用一对实数表示.
在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴(如图),这就建立了平面直角坐标系(rightangledcoordinatessystem).通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点.
在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如,图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点M在x轴上对应的数为3,称为点P的横坐标(abscissa);点N在y轴上对应的数为2,称为点P的纵坐标(ordinate).依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P的坐标(coordinates).这时点P可记作P(3,2). 在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
例1写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标.观察你所写出的这些点的坐标,回答:
(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征?
(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征?
解A(-1,2)、B(2,1)、C(2,-1)、D(-1,-1)、E(0,3)、F(-2,0).
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;
(2)x轴上点的纵坐标等于零;
y轴上点的横坐标等于零.
说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示,反之,任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应.也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的.
例2在直角坐标系中描出点A(2,-3),分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点,并写出这些点的坐标.观察上述写出的各点的坐标,回答:
(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系?
(2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系?
(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系?
解
(1)关于x轴对称的两点:
横坐标相同,纵坐标绝对值相等,符号相反;
(2)关于y轴对称的两点:
横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标相同;
(3)关于原点对称的两点:
横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标也绝对值相等,符号相反.
例3在直角坐标平面内,
(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点?
(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点?
分析 如图,P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点,作PM⊥x轴于M,在Rt△PMO中,∠1=∠2=45°,所以|OM|=|MP|,则P点的横坐标,纵坐标绝对值相等,又因为P点位于第一象限内,OM为正值,MP也为正值,所以P点横坐标与纵坐标相同.同样若P点位于第三象限内,则OM为负值,MP也为负值,所以P点横坐标与纵坐标也相同.若P点为第二、四象限角平分线上任一点,则OM与MP一正一负,所以P点横坐标与纵坐标互为相反数.
解
(1)第一、三象限角平分线上点:
横坐标与纵坐标相同;
(2)第二、四象限角平分线上点:
横坐标与纵坐标互为相反数.
函数的图象
(2)
1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象;
2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.
例画出函数y=x+1的图象.
分析要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.解取自变量x的一些值,例如x=-3,-2,-1,0,1,2,3…,计算出对应的函数值.为表达方便,可列表如下:
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对:
…,(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),…在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点,如图所示.
通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象,如图所示.
这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法.
练习题:
在草稿纸上画出函数
的图象.
总结一下:
由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行:
1.列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值;
2.描点:
以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
3.连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来.
描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函数的近似的图象.
函数的图象(3)
1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象;
2.使学生能从图形中分析变量的相互关系,寻找对应的现实情境,预测变化趋势等问题.
例题:
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时).
问:
1、图中有一个直角坐标系,它的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么?
2、如图,线段上有一点P,则P的坐标是多少?
表示的实际意义是什么?
3、小强让爷爷先上多少米?
4、山顶离山脚的距离有多少米?
谁先爬上山顶?
练习题:
1、小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.
2、已知等腰三角形的周长为12cm,若底边长为ycm,一腰长为xcm.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)画出这个函数的图象.
一次函数
(1)
1.理解一次函数和正比例函数的概念;
2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.
问题1:
小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.
问题2:
小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是
s=570-95t.
说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.
总结一下:
上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)叫正比例函数(directproportionalfunction).正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
练习题:
1、下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm);
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm);
(3)食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨;
(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
2、已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求k的值.若它是一次函数,求k的值.
一次函数
(2)
1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线;
2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握k与b的取值对直线位置的影响.
例题1:
根据画图象的步骤:
列表、描点、连线,在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)
;
(2)
;
(3)y=3x; (4)y=3x+2.
有图像总结得到:
上面四个函数的图象,发现它们都是直线.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,这条直线通常又称为直线y=kx+b(k≠0).特别地,正比例函数y=kx(k≠0)是经过原点的一条直线.
注意:
由于两点可以确定一条直线,那么今后画一次函数图象时只要取两点,过两点画一条直线就可以了.
例题2:
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象,并观察特点。
(1)y=-x、y=-x+1与y=-x-2;
(2)y=2x、y=2x+1与y=2x-2.
通过观察发现:
(1)第一组三条直线互相平行,第二组的三条直线也互相平行.为什么呢?
因为每一组的三条直线的k相同;还可以看出,直线y=-x+1与y=-x-2是由直线y=-x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的;而直线y=2x+1与y=2x-2是由直线y=2x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的.
(2)y=-x与y=2x、y=-x+1与y=2x+1、y=-x-2与y=2x-2的交点在同一点,为什么呢?
因为每两条直线的b相同;而直线与y轴的交点纵坐标取决于b.
所以,两个一次函数,当k一样,b不一样时(如y=-x、y=-x+1与y=-x-2;y=2x、y=2x+1与y=2x-2),有
共同点:
直线平行,都是由直线y=kx(k≠0)向上或向下移动得到;
不同点:
它们与y轴的交点不同.
而当两个一次函数,b一样,k不一样时(如y=-x与y=2x、y=-x+1与y=2x+1、y=-x-2与y=2x-2),有
共同点:
它们与y轴交于同一点(0,b);
不同点:
直线不平行
练习题:
1、直线
分别是由直线
经过怎样的移动得到的?
2、说出直线y=3x+2与
;y=5x-1与y=5x-4的相同之处.
一次函数(3)
1.可以熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标;
2.会作出实际问题中的一次函数的图象.
例题1:
求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.
一次函数y=kx+b,当x=0时,y=b;当y=0时,
.所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是
;
例题2:
求函数
与x轴、y轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
例题3:
旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李.如果所带行李超过了规定的重量,就要按超重的千克收取超重行李费.已知旅客所付行李费y(元)可以看成他们携带的行李质量x(千克)的一次函数为
.画出这个函数的图象,并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李?
练习题:
今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0≤x≤5时,y=0.72x,当x>5时,y=0.9x-0.9.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.
一次函数(4)
1.掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
例题1:
在同一坐标系中,画出函数y=x+2和
的图象,观察特点。
一次函数y=kx+b有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;
(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降.
特别地,当b=0时,正比例函数也有上述性质.
当b>0,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,直线与y轴交于正半轴.
下面,我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为:
例2、已知一次函数y=(2m-1)x+m+5,当m是什么数时,函数值y随x的增大而减小?
例3、已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.
例4、已知一次函数y=(3m-8)x+1-m图象与y轴交点在x轴下方,且y随x的增大而减小,其中m为整数.
(1)求m的值;
(2)当x取何值时,0<y<4?
一次函数(5)
1、理解待定系数法;
2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题.
例题:
已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.
解设所求函数的关系式是y=kx+b(k≠0),由题意,得
解这个方程组,得
所以所求函数的关系式是y=0.3x+6.(其中自变量有一定的范围)
讨论1.本题中把两对函数值代入解析式后,求解k和b的过程,转化为关于k和b的二元一次方程组的问题.
2.这个问题是与实际问题有关的函数,自变量往往有一定的范围.
这种先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.
练习题:
已知两条直线y1=2x-3和y2=5-x.
(1)在同一坐标系内作出它们的图象;
(2)求出它们的交点A坐标;
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积;
(4)k为何值时,直线2k+1=5x+4y与k=2x+3y的交点在第四象限.
反比例函数
(1)
1.理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式;
2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式.
两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,如果两个数的积一定,这两个数的关系叫做反比例关系.
例题:
学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与
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