学习三角函数的单调性的基本方法.docx
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学习三角函数的单调性的基本方法
求三角函数的单调性的基本方法:
函数yAsin(x)k的单调区间的确定,首先要看A、®是否为正,若①为负,则先应用诱导公式化为正,然后将看作一个整体,化为最简式,再结合A的正负,
3
在2kx2k,kz和2kx2k,kz两个区间内分别确定函数的
2222
单调增减区间。
1、求函数ysin(32X)在区间[-2n,2n]的单调增区间。
解:
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数
(yAsin(x),A
0,0)的形式:
ysin
丄x)sin』x)
223
⑵把标准函数转化为最简函数
yAsinx)的形式:
原函数变为
1
ysin(—x)
23
sinz
⑶讨论最简函数
sin
z的单调性:
从函数y
sinz
像可以看出,y
sin
单调增区间为
[2k2,2k
所以2K-z
2K
即2K
2K
•4K
⑷计算
5
3
k=0,k=
4K
11
3
±1时的单调增区间:
当k=0时,
11
3
当k=1时,
22
3
23
3
当k=-1时,
⑸在要求的区间内[-2n,2n]确定函数的最终单调增区间:
因为x[2,2],所以该函数的单调增区间为
数
求函
y2sin(S2x)在区间[0,n]的单调增区间。
解:
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAsin(x),A0,0)的形式:
2x)
sin(2x-)
⑵把标准函数转化为最简函数(yAsinx)的形式:
z2xysin(2x)sinz
令6,原函数变为6
⑶讨论最简函数
y
sinZ的单调性:
y
sin
z“
ry
sinz
从函数
J
的
图像可以看
出,丫
的单调增区间
[2k—,2k
3
]
K
。
所以2K
z2K
3
,K
2
2
2
2
即2K
2x
2K§
K
2
6
2,
15
K—xK—K
36,
⑷计算k=O,k=±1时的单调增区间:
1
11
当k=0时,
当k=1时,
当k=-1时,
⑸在要求的区间内
[0,n]确定函数的最终单调增区间:
因为x[0,],所以该函数的单调增区间为
25
-2.S
3、求函数ysingx-)在区间[-2n,2n]的单调增区间
解:
⑴把标准函数转化为最简函数(
yAsinx)的形式:
sin』x
2
sinz
1
x
23,原函数变为
从函数
sinz
的图像可以看出,
sinz
的单调增区间为
⑵讨论最简函数ysinz的单调性:
2K
z
2K
K。
2
2,
沖2K
1
x—
2K—K
即
2
23
2,K
4K
5
x4K
1
-K
3
3,
⑶计算
k=O,k:
=±1时的单调
增区间:
5
1
当k=0时,
x-
3
3
7
13
当k=1时,
x
3
3
17
11
当k=-1时,
x
3
3
⑷在要求的区间内
[-2n,2n]确定函数的最终单调增区间
又因为X
[2,2
],所以该函数的单调增区间为
5
1
——
x-
3
3
4、求函数y2COS(52x)1在区间[-n,n]的单调增区间
解:
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAcos(x),A0,0)的形
式:
y2cos(2x)12cos(2x)1
33
yAcosxK
⑵把标准函数转化为最简函数()的形式:
z2xy2cos(2x)12cosz1
令3,原函数变为3
⑶讨论最简函数y2cosz1的单调性:
y
从函数
2cosz
1
的图像可以看出,
y
2cosz
1
的单调增区间为
[2k,2k
]K
;单调减区间为[2k
2k
]K
。
所以,单调增区
间:
2K
z2K
,K
即2K
2x-
3
2K,K
K—
xK
-K
3
6,
①计算k=O,k=±1时的单调增区间:
11
当k=0时,;x-
36
27
当k=1时,x-
36
45
当k=-1时,x-
36
②在要求的区间内[-n,n]确定函数的最终单调增区间:
因为x[,],所以该函数的单调增区间为
单调减区间:
2Kz2K
即2K
2x-
3
2K
①计算
6
k=O,k=
3,
±1时的单调减区间:
12
当k=0时,x-
63
75
当k=1时,x-
63
51
当k=-1时,二x-
63
②在要求的区间内[-n,n]确定函数的最终单调减区间:
因为x[,],所以该函数的单调减区间为
5112
/1\Ucy(1\igcosx
区间,因此是函数y
(二)的减区间。
由于cosx0,所以函数y(二\的单
22
调减区间为[2k,2k\,单调减区间为(2k,2k]。
sin(2x-\
6、求函数ylog丄的单调区间
2
解:
令U
sin(2x
4),函数y
log*的增区间是函数u
2
sin(2x;)的减区间且
使usin(2x;\0
函数ylog,的减区间是函数usin(2x\的增区间且使
24
usin(2x-\0。
所以,
4
函数y
sin(2x
log丄
2
的单调减区间为
2k2x—2k—(kz),即k-xk—(kz);单调增区间为4288
2k
2x-
4
2k
(kz),即k
3
8(kZ)
Yl=sin(2x+3.14/4)
7、求函数y3tan(f)的单调区间。
64
解:
⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAtan(x),A0,0)的形式:
y3tan(x)3tan(—x)
6446
yAtanx
⑵把标准函数转化为最简函数(')的形式:
11
z-xy3tan(—x)3tanz
令46,原函数变为46
⑶讨论最简函数y3tanz的单调性:
y3tanzy3tanz
从函数的图像可以看出,的单调区间(递减)为
(k
。
所以K
8
4
4K
4K
x
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