新人教版八上第十一章三角形.docx
- 文档编号:16447305
- 上传时间:2023-07-13
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:207.18KB
新人教版八上第十一章三角形.docx
《新人教版八上第十一章三角形.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教版八上第十一章三角形.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
新人教版八上第十一章三角形
第十一章三角形
识记
1.由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。
三角形用符号“
”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“
”,读作“三角形ABC”.
2.三角形按边的关系分类如下:
不等边三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下:
直角三角形(有一个角为直角的三角形)
三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)
斜三角形
钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)
把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:
等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形.
3.
(1)三角形三边关系定理:
三角形的两边之和大于第三边。
推论:
三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时,可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4.
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
5.三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
如:
屋顶钢架.而四边形没有稳定性。
如:
伸缩门.
6.三角形的内角和定理:
三角形三个内角和等于180°.
推论:
①直角三角形的两个锐角互余。
②有两个角互余的三角形是直角三角形.
7.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论:
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
8.在平面内,由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
一个n边形有n个内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
如果整个多边形在它的任一条边所在直线的同一侧,那么这个多边形叫做凸多边形.如图1。
本章所讲的多边形都是指凸多边形.反之就不是,如图2.
图1图2
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
9.n边形的内角和等于(n-2)×180°.
(凸)多边形的外角和等于360°.
n边形的对角线条数等于
.
10.用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同。
实现镶嵌的条件:
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边。
只用一种正多边形可以进行镶嵌的有等边三角形、正方形、正六边形.
只用一种非正多边形(全等)可以进行镶嵌的是三角形、四边形.
典例
【例1】已知等腰三角形的两边长分别为10和5,则三角形的周长是25.
【解】若腰为10,底为5.满足5+10>10,则周长为10+10+5=25
若腰为5,底为10.不满足三角形三边关系定理,三角形不存在
故其周长为25
【例2】三条线段a=5,b=3,c的值为整数,由a、b、c为边可
组成三角形的个数为()
A、1B、3C、5D、无数
【解】根据三角形三边关系定理可得:
c的范围是:
5-3 则满足条件的c的整数值有5个,故以a,b,c为边组成三角形的个数是5. 故答案是: C 【例3】如图 ABC中,AD是BC上的中线,BE是 ABD中AD边上的中线,若 ABC的面积是24,则 ABE的面积是6。 【解】∵AD是BC上的中线, ∴S△ABD=S△ACD= S△ABC, ∵BE是△ABD中AD边上的中线, ∴S△ABE=S△BED= S△ABD, ∴S△ABE= S△ABC, ∵△ABC的面积是24, ∴S△ABE= ×24=6. 故答案为: 6. 【例4】在△ABC中,∠A﹣∠B=10°, ,则∠C=150°. 【解】在△ABC中, ∵∠A﹣∠B=10°, , ∴∠A﹣ ∠A=10°, ∴∠A=20°,∠B=10°, 又∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣10°=150°. 【例5】已知在△ABC中,∠A=400,∠B-∠C=400,则∠B=90°,∠C=50°. 【解】∵在△ABC中,∠A=40°, ∴∠B+∠C=140°①, ∵∠B﹣∠C=40°②, ∴①﹣②得,2∠C=100°,解得∠C=50°. ∴∠B=90° 故答案为: ∠B=90°,∠C=50°. 【例6】若a,b,c分别为三角形的三边,化简: |a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|. 【解】: ∵a、b、c为三角形三边的长, ∴a+b>c,a+c>b,b+c>a, ∴原式=|a﹣(b+c)|+|b﹣(c+a)|+|(c+b)﹣a| =b+c﹣a+a+c﹣b+c+b﹣a =﹣a+b+3c. 【例7】将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形,这个三角形的三边分别记为a、b、c,且a≤b≤c,请尽可能地写出满足题意的a、b、c. 【解】: ∵a+b+c=24,且a+b>c,a≤b≤c, ∴8≤c≤11,即c=8,9,10,11, 故可得(a,b,c)共12组: A(2,11,11),B(3,10,11),C(4,9,11),D(5,8,11),E(6,7,11), F(4,10,10),G(5,9,10),H(6,8,10),I(7,7,10),J(6,9,9), K(7,8,9),L(8,8,8). 【例8】正多边形的一个内角等于1440,则该多边形是正()边形。 A、8B、9C、10D、11 【解】∵正多边形的一个内角为144°, ∴外角是180﹣144=36°, ∵360÷36=10, 则这个多边形是正十边形, 故选C. 【例9】一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 这个正多边形是几边形? 【解】设正多边形的边数为n,得: 180(n-2)=360×3 解得n=8. 答: 这个正多边形是八边形. 【例10】如图所示,在△ABC中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3: 4: 5,BD、CE分别是AC、AB上的高,BD、CE相交于H,求△ABC各内角的度数及∠BHC的度数。 【解】∵在△ABC中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3: 4: 5, 故设∠A=3x,∠ABC=4x,∠ACB=5x. ∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴3x+4x+5x=180°, 解得x=15°, ∴∠A=3x=45°,∠ABC=4x=60°,∠ACB=5x=75°. ∵BD,CE分别是边AC,AB上的高, ∴∠ADB=90°,∠BEC=90°, ∴在△ABD中,∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣45°=45°, ∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°. 【例11】如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的。 (1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面? (2)像上面那样铺地砖,能否全用正十边形的材料? 为什么? (3)你能不能另外想 出一种用多边形(不一定是正多边形)的材料铺地面的方案? 把你想到的方案画成草图。 【解】 (1)每个顶点周围有6个正三角形的内角,恰好组成一个周角; (2)不能,因为正十边形的内角不能组成360°; (3)能,如图所示: 【例12】如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=20°,AD为△ABC的高,AE为角平分线.求∠EAD的度数. 【解】∵∠B=60°,∠C=20°, ∴∠BAC=180°﹣60°﹣20°=100°, ∵AE为角平分线, ∴∠BAE=100°÷2=50°, ∵AD为△ABC的高, ∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°﹣60°=30°, ∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=50°﹣30°=20°, 即∠EAD的度数是20°. 【例13】如图,P是△ABC内一点,连结PB、PC. 探究一: 当∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB时,∠P=90°+ ∠A是否成立? 并说明理由. 探究二: 当∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB时,∠P与∠A的关系如何? 请说明理由. 探究三: 当∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB时,请直接写出∠P与∠A的关系式是: 【解】 (1)成立,理由如下: ∠1+∠2= (180°﹣∠A)=90°﹣ ∠A, ∠P=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(90°﹣ ∠A)=90°+ ∠A; (2)∠P=120°+ ∠A, 理由如下: ∠1= ABC,∠2= ∠ACB, ∠1+∠2= (180°﹣∠A)=60°﹣ ∠A, ∠P=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(60°﹣ ∠A)=120°+ ∠A, (3)∠P= , 理由如下: ∠1= ABC,∠2= ∠ACB, ∠1+∠2= (180°﹣∠A), ∠P=180°﹣(∠1+∠2)= . 【例14】如图所示,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC. (1)若∠B=30°,∠C=70°,求∠DAE的度数; (2)△ABC中,若∠B=α,∠C=β(α<β),请你根据 (1)问的结果大胆猜想∠DAE与α,β间的等量关系,并说明理由. 【解】 (1)∵∠B=30°,∠C=70°, ∴∠BAC=180°﹣30°﹣70°=80°, ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE=80°÷2=40°, ∵∠AED=∠B+∠BAE=30°+40°=70°, ∴∠DAE=90°﹣70°=20°. (2)根据 (1)问的结果,猜想∠DAE与α,β间的等量关系为: , 证明: ∵∠B=α,∠C=β, ∴∠BAC=180°﹣α﹣β, ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAE=(180°﹣α﹣β)÷2=90°﹣ , ∵∠AED=∠B+∠BAE=α+(90°﹣ )=90°+ , ∴∠DAE=90°﹣(90°+ )= . 【例15】如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,若∠EBC=32°,∠AEB=70°. (1)求证: ∠BAD: ∠CAD=1: 2; (2)若点F为线段BC上的任意一点,当△EFC为直角三角形时,求∠BEF的度数. 【解】 (1)证明: ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠EBC=64°, ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∴∠BAD=90°﹣64°=26°, ∵∠C=∠AEB﹣∠EBC=70°﹣32°=38°, ∴∠CAD=90°﹣38°=52°, ∴∠BAD: ∠CAD=1: 2; (2)解: 分两种情况: ①当∠EFC=90°时,如图1所示: 则∠BFE=90°, ∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°; ②当∠FEC=90°时,如图2所示: 则∠EFC=90°﹣38°=52°, ∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°; 综上所述: ∠BEF的度数为58°或20°. 选练 1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( D ). A.1cm,2cm,3cmB.2cm,5cm,8cm C.4cm,5cm,10cmD.3cm,4cm,5cm 2.下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是(C). 3.下列说法错误的是( C ). A.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 B.钝角三角形有两条高线在三角形外部 C.直角三角形只有一条高线 D.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 4.四边形没有稳定性,当四边形形状改变时,发生变化的是( C ). A.四边形的边长B.四边形的周长 C.四边形的某些角的大小D.四边形的内角和 5.一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形是几边形? ( A ). A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形 6.在下列条件中①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B-∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( D ). A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形为( A ). A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.以上都不对 8.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( B ). A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2(∠1+∠2) 9.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角之间的关系是( C ). A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定 10.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm,则此三角形的周长是(C) A.15cmB.20cmC.25cmD.20cm或25cm 11.如图,一扇窗户打开后,用窗钩 可将其固定, 这里所运用的几何原理是( A) A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 12.已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC一定(C ) A.小于直角 B. 等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13.下列说法中正确的是( D) A.三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B.等腰三角形任何一个内角都有可能是钝角或直角 C.三角形外角一定是钝角 D.在△ABC中,如果∠AB∠C,那么∠A60°,∠C60° 14.五边形的内角和是(C) A.180°B.360°C.540°D.600° 15.不一定在三角形内部的线段是(C) A.三角形的角平分线B.三角形的中线 C.三角形的高D.以上皆不对 16.现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( A ) A.正方形和正六边形B.正三角形和正方形 C.正三角形和正六边形D.正三角形、正方形和正六边形 17.如图,已知: D,E分别是△ABC的边BC和边AC的中点,连接DE,AD,若S△ABC=24cm2,则△DEC的面积的面积为( B ) A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.12cm2 18.直角三角形的两锐角平分线相交成的角的度数是(C) A.45°B.135°C .45°或135°D.以上答案均不对 19.三角形的三边分别为3,1﹣2a,8,则a的取值范围是( B ) A.﹣6<a<﹣3B.﹣5<a<﹣2C.2<a<5D.a<﹣5或a>﹣2 20.在△ABC中,若∠A: ∠B=5: 7,且∠C比∠A大10°,那么∠C的度数为( B ) A.70°B.60°C.50°D.40° 21.一个正多边形形的内角和是1440°,则它的每个内角的度数是( B ) A.30°B.36°C.45°D.60° 22.如果一个三角形的三个外角之比为2: 3: 4,则与之对应的三个内角度数之比为(C)A、4: 3: 2B、3: 2: 4C、5: 3: 1D、4: 2: 3 23.一个五边形有三个角是直角,另两个角都等于n,则n的值为(C) A、1080B、1250C、1350D、1500 24.将一个正方形桌面砍下一个角后,桌子剩下的角的个数是(D) A、3B、4C、5D、3或4或5 25.下列图中不是凸多边形的是( A ) A. B. C. D. 26.下列属于正多边形的特征的有( B ) ①各边相等;②各个内角相等;③各个外角相等;④各条对角线相等;⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的(n﹣2)个三角形. A.2个B.3个C.4个D.5个 27.马小虎在计算一个多边形的内角和时,由于粗心少算了2个内角,其和等于830°,则该多边形的边数是( C ) A.7B.8C.7或8D.无法确定 28.如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为R的圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为( C ) A.2πR2B.4πR2C.πR2D.不能确定 29.已知一个正n边形的一个内角是它外角的5倍,则n等于( C ) A.8B.10C.12D.14 30.如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是( B ) A.140米B.150米C.160米D.240米 31.在下列条件中: ①∠A+∠B=∠C,②∠A: ∠B: ∠C=1: 2: 3,③∠A=90°﹣∠B,④3∠A=2∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( C ) A.1个B.2个C.3个D.4个 32.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠BFC=115°,则∠A的度数是( A ) A.50°B.57.5°C.60°D.65° 33.如图,点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( B ) A.180°B.360°C.540°D.720° 34.将一副三角板按如图所示摆放,图中∠α的度数是( B ) A.120°B.105°C.90°D.75° 35.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时, 则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律,你发现的规律是( B ) A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2(∠1+∠2) 36.如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为( B ) A.6B.7C.8D.10 37.若a、b、c是△ABC的三边的长,则化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|=( B ) A.a+b+cB.﹣a+3b﹣cC.a+b﹣cD.2b﹣2c 38.若a、b、c为△ABC的三边长,且满足|a﹣4|+ =0,则c的值可以为( A ) A.5B.6C.7D.8 39.长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的五条线段,若以其中的三条线段为边构成三角形,可以构成不同的三角形共有( B ) A.2个B.3个C.4个D.5个 40.如图,已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,则所得任一多边形内角和度数不可能是( A ) A.720°B.540°C.360°D.180°
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新人教版八上第十一章 三角形 新人 教版八上 第十一