既不离散也不连续的随机变量.docx
- 文档编号:16439118
- 上传时间:2023-07-13
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:94.80KB
既不离散也不连续的随机变量.docx
《既不离散也不连续的随机变量.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《既不离散也不连续的随机变量.docx(20页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
既不离散也不连续的随机变量
中文摘要1…
英文摘要1…
一、引言3..
二、随机变量及其分布3..
(一)随机变量及其分布3..
1.随机变量的概念3..
2.分布函数的定义4..
3.分布函数的性质4..
(二)离散型随机变量4..
1.离散型随机变量及其分布的定义4..
2.分布列的基本性质5.
3.用分布函数判别离散型随机变量的一种方法7..
(三)非离散型随机变量8..
1.连续型随机变量及密度函数的定义&‘
2.密度函数的性质9..
3.连续型随机变量分布函数的特征1.0.
4.非离散非连续的随机变量1.0..
三、既不离散也不连续的随机变量及其判别1.1.
(一)随机变量的判别1.1…
(二)既不离散也不连续的随机变量的判别1.2
(三)考研中常见的非离散非连续的随机变量示例13
四、结束语16
参考文献1.6
既不离散也不连续的随机变量
彭惠敏
摘要:
通过对随机变量进行分类,借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性质、数字特征及其必要条件的讨论,给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法,即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别,文中给出了大量例证,并给出了近几年考研中遇到的此类题目,使初学者对随机变量的分类有更为深刻的理解。
关键词:
离散型随机变量;连续型随机变量;既不离散也不连续的随机变量;
分布函数
NeitherDiscreteNorContinuousRandomVariable
PengHui-min
Abstract:
Throughthestudyoftheclassificationofrandomvariablesand
thediscussionofthedistributionfunction,thenature,thedigital
characteristics,aswellasthenecessaryconditionsofbothdiscreteand
continuousrandomvariable,thispaperdemonstratesthemeansof
discriminatingtheneitherdiscretenorcontinuousrandomvariable,thatis,byvirtueoftheconverse-negativepropositionofthenecessaryconditionsofthe
twovariables'distributionfunction.Alargenumberofexamplesandexaminationquestionsofthiskindappearedintherecentfewyearsof
postgraduateentranceexamsaregivensoastorenderanin-depth
understandingoftheclassificationoftherandomvariablestothebeginners.
Keywords:
discreterandomvariable;continuousrandomvariable;neitherdiscretenorcontinuousrandomvariable;distributionfunction
一、引言
除了离散型随机变量和连续型随机变量之外,还有既不离散也不连续的随机变量,有的教科书上称“由于这种情况比较复杂,一般不对这种情况加以讨论”,所以很多教
科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量,以至于初学者认为只有离散型和连续型两类随机变量,造成很大的误解。
应该说,随机变量分为离散型和非离散型随机变量,在非离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量,除此之外还有既不离散也不连续的随机变量。
在我们所研究的随机变量中,主要有两类,这就是离散型随机变量和连续型随机变量。
二、随机变量及其分布
(1)随机变量及其分布
1•随机变量的概念
设E是随机试验,它的样本空间是{},如果对于每一个都有一个实数和
它相对应,这样就得到一个上的实值函数X(),称X()为随机变量⑴。
随机变量按其取值情况可分为两类:
离散型随机变量和非离散型随机量[2]。
如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个,则称X为离散型随机变量。
非离散型随机变量的情况比较复杂,它的所有可能取值不能—列举出来,其中的一种对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。
X是一个随机变量,如
x果存在(,)上的非负可积函数f(x),使X的分布函数F(x)f(t)dt,则称X为连续型随机变量,f(x)是X的概率密度函数。
既不离散也不连续的随机变量,一般教科书都不详细介绍。
这种随机变量不常用,概率分布不易表达,用分布列只能表示其离散的部分,用密度函数只能表示其连续的部分,只有通过其分布函数F(x)PXx才能将分布表达清楚,而分布函数是初学者的难点。
2.分布函数的定义
设X()为随机变量,对任意实数x,称
F(x)P(X()x)
为随机变量X()的分布函数。
3.分布函数的性质
任意分布函数F(x)都有如下三条基本性质:
(1)单调性Fx是定义在整个实轴(,)上的单调非递减函数,即对任
意的为X2,有F(xJF(X2).
(2)有界性对任意的x,有0F(x)1,且
F()JimF(x)0,
F()limF(x)1.
x
(3)右连续性Fx是x的右连续函数,即对任意的X。
,有
limF(x)F(x。
)
Xx0
即
F(xo0)F(xo)
这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。
(2)离散型随机变量
1.离散型随机变量及其分布的定义
假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值,则称其为离散随机变量。
设X是一个离散随机变量,如果X的所有可能取值是N,X2,,Xn,,则称X取Xj
的概率
PippXXj,i1,2,,n
为X的概率分布列或简称分布列,记为X:
Pi.
分布列也可用如下列表方式来表示:
X
X
X2
…
Xn
…
P
P(xJ
P(X2)
…
p(Xn)
…
或记成
x1x2LxnL
p(xjp(X2)Lp(Xn)L
2•分布列的基本性质
(1)非负性p(Xi)0,i1,2,3L
(2)正则性p(Xi)1.
i1
以上两条基本性质是分布列必须具有的性质,也是判别某个数列是否能成为分布
列的充要条件。
由离散型随机变量X的分布列很容易写出X的分布函数
F(x)p(Xi)
X
它的图形是有限级(或无穷极)的阶梯函数。
FX是一个跳跃函数,它在Xi处有跳跃度p(Xi).可见FX可以唯一决定Xi和
P(x).
例1、设随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.25
0.5
0.25
试求X的概率分布列及P(X0.5),P(1.5X2.5),并写出X的分布函数。
解:
P(X0.5)PX10.25,P(1.5X2.5)PX20.5.
0,x1,
0.25,1x2,
F(x)
0.250.50.75,2x3,
0.250.50.251,x3.
Fx的图形如图所示,它是一条阶梯型的曲线,在X可能取值-1,2,3处有右
连续的跳跃点,其跳跃度分别为X在其可能取值点的概率:
0.25,0.5,0.25.
1y
•
•
0
1li1a
-10123
点分布或退化分布,它的分布
C,
C函数是
八F(X)
单点分布函数图
以上例子可以得出这样一个结论:
离散型随机变量的分布函数Fx总是阶梯函数
结论1若随机变量为离散型,那么其分布函数Fx为阶梯函数
证明Q为离散型随机变量
的分布列为
xii,
i1,2,3,KK
(不妨这里设
x
X2
KKxi
xi1KK)
下证
(1)当
x
X1时,Fx
0;
(2)当
Xi
X
Xi1,i
1,2,3,KK时,F
Xci(常数),且
0ci
Ci11.
事实上,
(1)
当
X
X1时,
Fx
Xk
0;
(2)
当
Xi
XXi1,
i1,2,3,KK时,
F
X
i
Xk
Xk.
XkX
k1
Q这是
取i
(有限)个值对应概率相加
其和一定存在,记为C,即
当Xxx1,i1,2,3,KK时,Fxc
ii1
显然,0GXkXkCi11.
k1k1
综上可知,的分布函数Fx为阶梯函数。
3•用分布函数判别离散型随机变量的一种方法
我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。
结论2设随机变量的分布函数为Fx•若Fx是阶梯型函数,则为离散
型随机变量。
证明QFx是的分布函数
Fx一定是右连续
QFx是阶梯函数
Fx是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大
的顺序排列起来的顺序为
K
K
xixi1KK
0,
x
x
Ci,
x
x2
则Fx
C2,
x
x
X3
KK
Ci,
x
x
x1
KK
其中,
C,
i1,2,3,KK为常数,0G
1
下证
xF人0
Fx
,i
1,2,3,KK为的分布列。
(1)
QF
x是单调不减的函数
xF<
0F
xG
Ci10
(2)
QF
xi0Fxi
1
i1
Xi
i1
Fx
0F
x
lim
n
n
Fx0
i1
Fx
limF
n
x11
综合
(1)、
(2)可知:
xFxi1
0Fx
i,i
1,2,3,KK是的分布列
(三)非离散型随机变量
由于非离散型随机变量的情况比较复杂,它的所有可能取值不能一一列举出来,
但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。
1•连续型随机变量及密度函数的定义
假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b),则称其为连续随机变
量。
定义设随机变量X的分布函数为Fx),如果存在实轴上的一个非负可积函数
p(x),使得对任意实数x有
F(x)
P(t)dt
则称p(x)为X的概率密度函数,简称密度函数,或称密度。
2•密度函数的性质
(1)非负性p(x)0
(2)正则性p(x)dx1(含有p(x)的可积性)。
以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质,也是确定或判别某个函数是否成为密度函数的充要条件。
例:
向区间(0,a)上任意投点,用X表示点的坐标。
设这个点落在(0,a)中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比,而与小区间的位置无关。
求X得分布函
数和密度函数。
解:
记X的分布函数为F(x),贝U
当x0时,因为Xx是不可能事件,所以F(x)P(Xx)0;
当xa时,因为Xx是必然事件,所以F(x)P(Xx)1;
当0xa时,有F(x)P(Xx)P(0Xx)kx,其中k为比例系数。
因为
1
1F(a)ka,所以得k-.
a
于是X的分布函数为
0,x0,
x
F(x),0xa,
a
1,xa.
下面求X的密度函数p(x).
当x0或xa时,p(x)F'(x)0;
1
当0xa时,p(x)F'(x)
a
而在x0和xa处,p(x)可取任意值,一般就近取值为宜,这不会影响概率的计算,因为它们是几乎处处相等的密度函数。
于是X的密度函数为
1c,0xa,
p(x)a
0,其他.
(b)F(x)的图形
这个分布就是区间(0,a)上的均匀分布,记为U(0,a),其密度函数p(x)和分布函数的图形如下。
(a)p(x)的图形
(0,a)上的均匀分布
3•连续型随机变量分布函数的特征
结论3设为连续型随机变量,F(x)是其分布函数,则F(x)是连续函数证明TFx)是连续型随机变量的分布函数
由定义,存在非负可积函数p(x),对x,有
x
Fxtdt
又由变动积分上限函数的性质可知,Fx)连续
故Fx)是R上的连续函数。
4.非离散非连续的随机变量
除了离散型和连续型分布之外,还有既非离散又非连续的分布,见下例。
例:
以下函数确是一个分布,它的图形如图所示。
F(x)
2
1,
x0,
0x1,
x1.
01x
既非离散又非连续的分布函数示例
从图上看出,它既不是阶梯函数,又不是连续函数,所以它既是非离散的又是非
连续的分布。
这类分布函数Fx)常可分解为两个分布函数的凸组合,如上例中的分布
函数可分解为
11
F(x)-F1(x)-F2(x)
22
其中
0,x0,
0,x0,
F1(x)F2(x)x,0x1,
1,x0.
1,x1.
而Fi(X)是(离散)单点分布函数,F2(x)是(连续)均匀分布U(0,1)的分布函数
三、既不离散也不连续的随机变量及其判别
(一)随机变量的判别
由结论1的逆否命题可得,
结论4若随机变量的分布函数Fx)不是阶梯函数,则一定是非离散型随机变量。
由结论3的逆否命题可得,
结论5若随机变量的分布函数Fx)不是连续函数,则一定是非连续型随机
变量。
(二)既不离散也不连续的随机变量的判别
既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分
布函数的特点⑶
(1)分布函数是右连续,但却不是在每一个分段区间内是常函数,这一点区别于离散型随机变量的分布函数。
(2)分布函数不是连续函数,在某些点处有跳跃性,这一点区别于连续型随机变量的分布函数。
综上,我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。
结论6若随机变量的分布函数Fx)既不是阶梯函数又不是连续函数,则
定是既不离散也不连续的随机变量
例4已知函数
0,x0
Fx0.5(x1),0x1
1,x1
证明:
Fx)是既不离散也不连续的某个随机变量的分布函数
证:
先证Fx)是的分布函数
(1)单调性:
设X1X2,
若咅、X2
0,
则
Fx1
F
X2
0
J
若%0,
X2
0
,则0
F
X
F
X2;
若0
X2
1,
则Fx2
F
X1
0.5x2
10.5x10.5x2x10,
故F为FX2;
若0为
1,
X2
1,则
F
X1
1
FX2,
故Fx-!
Fx2;
若咅、x
1,
则
Fx1
F
X2
1;
综上,F
X
F
X2.
(2)有界性:
F
lim
X
F
X
0,
F
limFx1;
X
(3)右连续性:
只需考虑间断点01处的连续性。
QF(00)F(0)0,F(10)F
(1)1,
F(x0)F(x),故Fx右连续。
F(x)可作为某随机变量的分布函数。
再证Fx)是非离散非连续随机变量的分布函数。
易见Fx)是以x0为间断点的非连续函数,同时也非阶梯函数。
故由结论6,是既不离散也不连续的随机变量。
例5设随机变量的分布函数为
10•1^0.
FCjt)=^L—*0V上M2・
L-工>2・
问随机变量是离散型,还是连续型?
证:
利用分布函数的性质来判断此函数在x2处不连续,
•••不是连续型随机变量。
•••此分布函数在区间(0,2]上不是常函数,
•••不是离散型随机变量,
故为既非离散又非连续的随机变量。
(3)考研中常见的非离散非连续的随机变量示例
在研究生入学考试中,对单纯的连续性和离散型随机变量的考查越来越少,反而对这种既不离散也不连续的随机变量考察加重,更注重考生们对知识点综合应用的能力,下面给出几个近几年考研中出现的此种类型的例子。
11
1.(1997,11):
假设随机变量X的绝对值不大于1,PX1-,PX1-,
84
在事件1X1出现的条件下,X在1,1内任一子区间上取值的条件概率与该
子区间的长度成正比。
试求
(1)X的分布函数F(x)PXx;
(2)X取负值的概率p.
11
由于PX1-,PX1-,在X1和X1这两点可以作为离散型的情况
84
来处理。
在其它情况下可作为连续型的情况来处理,且在1,1内服从均匀分布,X
115
在此区间内取值的概率为P1X11---.
848
因此,X的分布函数为
0,16(x1)
1,
易见,Fx既非阶梯函数又不是连续函数,所以由结论6可知,X是既不离散
也不连续的随机变量
2.(2002)假设以设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为-小时。
设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情
况下工作两小时便关机。
试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).
11
解:
设X的分布参数为,由于EX—-,可知-•易见丫minX,25
当y0时,F(y)0;当y2时,F(y)1;
_y
当0y2时,F(y)PYyPmin(X,2)yPXy1el
0,y0,
_y
丫的分布函数F(y)=1e可0y2,
1,y2.
3.(99,4,3分)假设随机变量X服从指数分布,则随机变量YminX,2的
分布函数()
(A)是连续函数
(B)至少有两个间断点
(C)是阶梯函数
(D)恰好有一个间断点
【分析】首先求出
Y的分布函数为(参见上题)
0,y0,
Fy(y)1ey,0y2,由于Y的分布函数恰好在y2处有一个间断点,因此
1,y2.
应选(D).
1
4.设随机变量的绝对值不大于1,且PX0—,已知当X0时,X在其他
4
取值范围内服从均匀分布,求X分布函数F(x).
证:
写出已知条件的数量关系。
依题意
P{X1}P{1X1}1,PX0
0点的子区间
又除0点外,X在其他取值范围内服从均匀分布,其落在不包含
x1时,
是常函数,所以X是既不离散也不连续的随机变量
考研中常遇到已知一个随机变量X的分布,又知另一个随机变量Y与X的函数关系Yg(X),求随机变量Y的分布。
这属于求随机变量函数的分布问题。
如果Y是既不离散也不连续的随机变量混合型随机变量,则一般是求其分布函数。
既不离散也不连续的随机变量是一类特殊的随机变量,一般形式比较复杂,但只
要对其正确理解,求出其分布也就不难了。
四、结束语
本文总结了分布函数和离散型及连续型随机变量的相关知识,给出离散型和连续型随机变量的判别方法并证明,在此基础上讨论既不离散也不连续的随机变量,并通过对离散型和连续型随机变量判别方法逆命题的证明给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法,运用实例加以说明,使初学概率统计者加深对随机变量的理解。
本文举出了近几年考研中常见的既不离散也不连续的随机变量的题型,可以在此基础上进一步洞悉考研中随机变量的发展方向,总结此种类型问题的一般解题方法,使初学者对以后随机变量的学习有更深一层的了解。
参考文献
[1]茆诗松•概率论与数理统计教程第二版
.北京:
高等教育出版社,2011.
[C].大学数学,2003.
[A].高等数学研究.2014.
[2]杨桂元•既不离散也不连续的随机变量
[3]宁丽娟•既非离散也非连续的随机变量
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 既不 离散 也不 连续 随机变量