高中数学 第一章集合与简易逻辑教案3.docx
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高中数学第一章集合与简易逻辑教案3
2019-2020年高中数学第一章集合与简易逻辑教案3
本章安排的是“集合与简易逻辑”,这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容.集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容,这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系.简易逻辑知识则是新增加的内容,这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识
集合概念及其基本理论,称为集合论,是近代数学的一个重要的基础.一方面,许多重要的学科,如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.
逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学,需要全面地理解概念,正确地进行表述、推理和判断,这就离不开对逻辑知识的掌握和运用.更广泛地说,在日常生活、学习、工作中,基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具,是人们文化素质的组成部分.
在高中数学中,集合的初步知识与简易逻辑知识,与其他内容有着密切联系,它是学习、掌握和使用数学语言的基础,这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点.
本章共编排了8小节,教学时间约需22课时:
11集合
约2课时
12子集、全集、补集
约2课时
13交集、并集
约2课时
14绝对值不等式的解法
约2课时
15一元二次不等式的解法
约4课时
16逻辑联结词
约2课时
17四种命题
约2课时
18充分条件与必要条件
约2课时
小结与复习
约4课时
说明:
本章是高中数学的起始章,课时安排得相对宽松一些,像小结与复习部分安排4课时,其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素.
一内容与要求
大体上按照集合与逻辑这两个基本内容,第一章编排成两大节.
第一大节是“集合”.学生在小学和初中数学中,已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(圆)等,都有了一定的感性认识.在此基础上,这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念,并介绍了集合的表示方法.然后,从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手,给出子集的概念,此外,还给出了与子集相联系的全集与补集的概念.接着,又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识.鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组,考虑到集合知识的运用与巩固,又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要,第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法.此外,在这一大节之后,还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料.
这一大节的重点是有关集合的基本概念.学习集合的初步知识,可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言,可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题,并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题,这里,起重要作用的就是有关集合的基本概念.
这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系.学生是从本章才正式开始学习集合知识的,这部分包含了比较多的新概念,还有相应的新符号,有些概念、符号还容易混淆,这些因素都可能造成学生学习的障碍.
第二大节是“简易逻辑”.学生在初中数学中,学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识,掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解).由此,这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义,介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法.接下来,讲述四种命题及其相互关系,并且在初中的基础上,结合四种命题的知识,进一步讲解反证法.然后,通过若干实例,讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识.
这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件.学习简易逻辑知识,主要是为了培养学生进行简单推理的技能,发展学生的思维能力,在这方面,逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的.
这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断.初中阶段,学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉,并且,相关的技能和能力,主要还是通过几何课的学习获得的,初中代数侧重的是运算的技能和能力,因此,像对代数命题的证明,学生还需要有一个逐步熟悉的过程.
根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》的规定,本章的教学要求是:
⒈ 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合;掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法.
⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;进一步了解反证法,会用反证法证明简单的问题;掌握充要条件的意义.
二本章的特点
⒈注意初中与高中的衔接
近年来,在与本章有关的内容上,按照教学大纲,初中的教学要求有哪些变化呢?
先看有关集合的部分.初中适当渗透一些集合思想,这一点基本没有变化.此外,初中去掉了一元二次不等式与绝对值不等式的内容.
再看有关逻辑的部分.1996年以前的初中毕业生,应该达到以下要求:
⑴了解命题的概念;⑵初步掌握逆命题和逆定理的概念,能正确叙述题设与结论都是简单命题的命题的逆命题,了解正确命题的逆命题的逆命题不一定正确;⑶了解四种命题及其相互关系;⑷理解用反证法证明命题的思路,能用反证法证明一些比较简单的几何题.从1996年起,对于高一新生,初中的要求又有进一步调整.上述⑵改为:
了解逆命题和逆定理的概念,原命题成立它的逆命题不一定成立,会识别两个互逆命题.⑶删去.⑷改为:
了解反证法.
基于以上情况,考虑到学习高中数学的需要,新教材一方面补充了一些必要的知识点,例如关于一元二次不等式与绝对值不等式的解法;另一方面对一些初中相对薄弱的内容,适当予以加强,例如关于反证法等.
例如,关于交集、并集的概念,教科书先从图形表示入手,让学生有一个直观的认识,然后给出定义,再用实例加以说明,并且,引出概念的图形也只是采用了一种简明的形式,而没有画出全部可能出现的情况.
又如,本章是对比初中学过的一元一次不等式,并且借助二次函数的图象,讲述一元二次不等式解法的.
⒉重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用
本章是高中数学的基础,学习本章,主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言,会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题,进而解决这些问题.像对一些性质、定理的理解,对函数的定义域、值域的描述,对推理方法的掌握,等等.
本章在集合与逻辑内容的编排上,既考虑到知识的系统性,又照顾到学生的可接受性,并且始终围绕着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本出发点.
在集合这部分,有关集合运算的内容,就注意在解方程和不等式方面的应用,在数学概念的分类方面的应用.
在逻辑这部分,有关命题的内容,突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的认识,而不过多地涉及对一个语句是不是命题的判断.此外,像关于复合命题的否定,对近期学习影响不大,学生学习又比较困难,本章基本未涉及.
为了帮助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”,教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”,这是两个应用的实例.实际上,计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础进行设计的
三教学中应注意的问题
⒈教学要求的把握要适时、适度
本章是高中数学的起始章,适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题.
集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识,学习这些内容,主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言、基本方法的准备,相应地,对知识系统性、严谨性的要求一定要适度.
学习有关集合的初步知识,其目的主要在于应用.具体说,就是在学习其他知识时,能读懂其中的简单的集合概念和符号;在处理简单的实际问题时,能根据需要,运用集合语言进行表述.在安排训练时,要把握一定的分寸,不要搞偏题、怪题.集合有关性质的证明,一般不要求学生掌握.有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系,就不必故意编排在一起,让学生去一一进行辨析.
本章安排的是集合与逻辑的初步知识,这些知识的讲述,是以初中数学的内容为基础的.从引出有关知识的实例,到具体应用的问题,基本都属于初中数学的范围,这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响.随着后续章节的学习,对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入,相应地,对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了.因此,本章的教学要求,应该避免一步到位.
关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表,在开始时,教学重点还是借助三个真值表,加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解,而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断.
关于充分条件、必要条件与充要条件,本章对教学要求的尺度,还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜.
⒉提高集合与逻辑的教学效益
目前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高.具体表现在:
一方面,学生用在数学上的时间比较多,像与美国比,是美国学生的好几倍;另一方面,学生在考试中表现良好,但创造性能力和应用能力有一定欠缺,个性发展也存在着不足之处.
为了后续章节的学习,在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础,限于学生的预备知识与接受能力,在本章又不能过多地追求理论的完整,只有处理好这个关系,才能提高教学效益.因此,在实际教学时,一定要抓住重点.怎样把握本章的教学重点呢?
一是要有助于对初中数学的理解,二是要能为高中数学的学习扫除障碍.换句话说,学习集合与逻辑,要着眼于用集合与逻辑的知识解决数学学习中的问题,而不要在概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力.像逻辑中有不少问题,在学术界内部都有争论,在高一数学课上,就完全没有必要去涉及了.
⒊使用数学符号要规范
本章教材有不少集合与逻辑的数学符号,这些符号的采用,依据的是新的国家标准,其中有些符号与原教科书不同,在教学时应该注意.
2019-2020年高中数学第一章集合与简易逻辑教案4
教学目的:
(1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法
(2)使学生初步了解“属于”关系的意义
(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点:
集合的基本概念及表示方法
教学难点:
运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示
一些简单的集合
授课类型:
新授课
课时安排:
1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在
教具:
多媒体个结论,他写成论文提交给法国科、实物投影仪
内容分析:
当时的数学家S.K.泊松为了理
1.集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中,就渗透了集合的初步概念,到了初议科学院否定它1832年5月30日中,更进一步应用集合的语言表述一些问题例如,在代数中用到的有数集、解忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶集等;在几何中用到的有点集至于逻辑,可以说,从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用,基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中,也是认识,他死后14年,法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义,也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础
把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如,下一章讲函数的概念与性质,就离不开集合与逻辑
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣,使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念
集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集”这句话,只是对集合概念的描述性说明
教学过程:
一、复习引入:
1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数;
2.教材中的章头引言;
3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);
4.“物以类聚”,“人以群分”;
5.教材中例子(P4)
二、讲解新课:
阅读教材第一部分,问题如下:
(1)有那些概念?
是如何定义的?
(2)有那些符号?
是如何表示的?
(3)集合中元素的特性是什么?
(一)集合的有关概念:
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说,每一组对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义:
一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合.
1、集合的概念
(1)集合:
某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)
(2)元素:
集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
(1)非负整数集(自然数集):
全体非负整数的集合记作N,
(2)正整数集:
非负整数集内排除0的集记作N*或N+
(3)整数集:
全体整数的集合记作Z,
(4)有理数集:
全体有理数的集合记作Q,
(5)实数集:
全体实数的集合记作R
注:
(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括
数0
(2)非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它
数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0
的集,表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
(1)属于:
如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:
如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
4、集合中元素的特性
(1)确定性:
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,
或者不在,不能模棱两可
(2)互异性:
集合中的元素没有重复
(3)无序性:
集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写
三、练习题:
1、教材P5练习1、2
2、下列各组对象能确定一个集合吗?
(1)所有很大的实数(不确定)
(2)好心的人(不确定)
(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)
3、设a,b是非零实数,那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
4、由实数x,-x,|x|,所组成的集合,最多含(A)
(A)2个元素(B)3个元素(C)4个元素(D)5个元素
5、设集合G中的元素是所有形如a+b(a∈Z,b∈Z)的数,求证:
(1)当x∈N时,x∈G;
(2)若x∈G,y∈G,则x+y∈G,而不一定属于集合G
证明
(1):
在a+b(a∈Z,b∈Z)中,令a=x∈N,b=0,
则x=x+0*=a+b∈G,即x∈G
证明
(2):
∵x∈G,y∈G,
∴x=a+b(a∈Z,b∈Z),y=c+d(c∈Z,d∈Z)
∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)
∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z
∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z
∴x+y=(a+c)+(b+d)∈G,
又∵=
且不一定都是整数,
∴=不一定属于集合G
四、小结:
本节课学习了以下内容:
1.集合的有关概念:
(集合、元素、属于、不属于)罗华的手稿1831年1月伽罗华在
2.集合元素的性质:
确定性,互异性,无序性个结论,他写成论文提交给法国科
3.常用数集的定义及记法当时的数学家S.K.泊松为了理
五、课后作业:
已证明的一个结果可以表明伽罗华
六、板书设计(略)罗华的手稿1831年1月伽罗华在议科学院否定它1832年5月30日
七、课后记:
个结论,他写成论文提交给法国科忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶
八、附录:
康托尔简当时的数学家S.K.泊松为了理介造福人类1832年5月31日离开了
发疯了的数学家康已证明的一个结果可以,他死后14年,法国数学家刘维表明伽罗华托尔(GeorgCantor,1845-1918)是德于刘维尔主编的《数学杂志》上国数学家,议科学院否定它1832年5月30日集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡,忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶1918年1月6日病逝于哈雷造福人类1832年5月31日离开了
康托尔11岁时移居,他死后14年,法国数学家刘维德国,在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世大于刘维尔主编的《数学杂志》上学,翌年入柏林大学,主修数学,1866年曾去格丁根学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在1874—1876年期间,不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突,遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说,康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院
真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放光彩1897年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日,康托尔在一家精神病院去世
集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础
康托尔创立了集合论作为实数理论,以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿(I.Newton,1642-1727)与莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)创立微积分理论体系之后,在近一二百年时间里,微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始,柯西(A.L.Cauchy,1789-1857)、魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815-1897)等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克(L.Kronecker,1823-1891),康托尔的老师,对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言,粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒(H.Poi-ncare,1854-1912):
我个人,而且还不只我一人,认为重要之点在于,切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病理学的情形”,后一代将把(Cantor)集合论当作一种疾病,而人们已经从中恢复过来了
德国数学家魏尔(C.H.Her-mannWey1,1885-1955)认为,康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯.克莱因(F.Klein,1849-1925)不赞成集合论的思想数学家H.A.施瓦兹,康托尔的好友,由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起,康托尔患了严重的忧郁症,极度沮丧,神态不安,精神病时时发作,不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很自卑,甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化,1918年,他在哈勒大学附属精神病院去世
流星埃.伽罗华(E.Galois,1811-1832),法国数学家伽罗华17岁时,就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题许多数学家为之耗去许多精力,但都失败了直到1770年,法国数学家拉格朗日对上述问题的研
究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上,利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想,即把预解式的构成同置换群联系起来,并在阿贝尔研究的基础上,进一步发展了他的思想,把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论,数学发展史上作出了重大贡献1829年,他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而,第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时,并未介绍伽罗华的著作1830年2月,伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选,论文寄给当时科学院终身秘书J.B.傅立叶,但傅立叶在当年5月就去世了,在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上,又得到一个结论,他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家S.K.泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的,但最后他还是建议科学院否定它1832年5月30日,临死的前一夜,他把他的重大科研成果匆忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶保存下来,从而使他的劳动结晶流传后世,造福人类1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年,他死后14年,法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后,首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上
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