波利亚怎样解题实例分析报告.docx
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波利亚怎样解题实例分析报告
怎样解题
一、熟悉问题
1、未知是什么?
2、已知是什么?
3、你能复述它吗?
二、寻找解题方法
1、以前做过类似的题吗?
可以仿照以前的解题过程写出此题吗?
2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么?
这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗?
3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗?
4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗?
5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念,你能发现得到未知的方法吗?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗?
若不能解题,可考虑:
1、已知条件都用上了吗?
2、能不能得到一个比较特殊的情况?
三、书写过程
1、你能按步骤写出你的分析过程吗?
2、你所写的步骤都正确吗?
四、总结与回顾
1、以前做过同类型的题吗?
它与同类型的其它题有什么异同?
2、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢?
3、解题过程能简化吗?
例1、
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC
求证:
∠B=∠C
分析:
问题1、未知是什么?
你能复述它吗?
答:
∠B=∠C
问题2、已知是什么?
你能复述它吗?
答:
在三角形ABC中,AB=AC
问题3、以前做过类似的题吗?
答:
似乎没有。
问题4、与已知相关的定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
似乎没有。
不能直接用定理解出此题。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗?
答:
此题条件只有一个,似乎不能直接重新分组。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗?
答:
似乎不能。
问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念,你能发现得到未知的方法吗?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗?
答:
1、未知是求∠B=∠C,在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。
由于这些都没有出现,是不是能引入辅助元素?
观察∠B、∠C所处的位置,平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现,考虑运用全等三角形来解此题。
但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中,需要将此两角放入到两个不同的三角形中,需引入一条线将此三角形分成两个三角形,并将∠B、∠C分别处于两个三角形中,可在A点引下一条线与BC相交。
2、新问题出现了:
如何证明⊿ABD≌⊿ACD?
答:
已知中含有AB=AC,从图中可得AD=AD,尚缺少一个条件。
3、新问题:
加入什么条件就可以了?
答:
∠BAD=∠CAD,可利用角边角进行判定。
或BD=CD,可利用边边边进行判定。
或AD⊥BC,可利用直角三角形的全等的判定进行判定。
4、新问题:
如何实现?
答:
在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。
如做角A的角平分线,或做BC边上的中线,或做BC的垂线。
到此,此题可解。
问题8、如何书写过程?
答:
先写线的做法,然后写全等证明,最后得到未知求证。
问题9、解题过程能简化吗?
答:
尚无更简化方法。
问题10、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢?
答:
此题条件少,没有直接出现三角形,需要构造出三角形求解。
可得到一个结论:
利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。
要求是要将此两角放到两个三角形中,然后找全等的条件。
例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。
问题1、未知是什么?
你能复述它吗?
答:
二次函数图象的顶点坐标。
问题2、已知是什么?
你能复述它吗?
答:
二次函数解析式y=-3x2-6x+5
问题3、以前做过类似的题吗?
答:
做过。
问题4、与已知相关的定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
能直接运用公式(—
,
)求解。
问题5、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢?
答:
此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况,以及准确的计算能力。
例3、已知:
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,求AD取值范围。
问题1、未知是什么?
你能复述它吗?
答:
求AD的取值范围。
问题2、已知是什么?
你能复述它吗?
答:
在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点
问题3、以前做过类似的题吗?
答:
没有。
问题4、与已知相关的定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
我知道三角形三边关系:
三角形两边和大于第三边,两边差小于第三边。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗?
答:
条件中两条边的边长分别是AB、AC,所属三角形为△ABC,而所求AD边长所属是△ACD或△ADC。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗?
答:
已知中的边长为AB、AC,要想使用三角形三边关系,需将AB、AC和AD边联合到一个三角形中。
考虑:
需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。
移动的方法考虑使用全等三角形的方法。
延长AD至E,使AD=AE,则可出现△ACD≌△EBD,可得AC=BE,则2 问题7、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢? 答: 1、有三角形的中线,可构造全等三角形。 2、当条件分散时,可向定理集中。 例4、已知: 如图,△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,ED∥BC,求证: DE=BE+CD 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: 线段DE的长等于EF与FD的和。 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: 角平分线BF和CF,平行线DE平行于BC。 问题3、以前做过类似的题吗? 答: 没有。 问题4、与已知相关的定理有什么? 能不能直接用公式? 答: 角分线定理,平行线性质。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗? 答: 从图中可得,此题角平分线与平行线有重合部分。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗? 答: 根据角平分线性质,可得∠CBF=∠EBF,根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB,进而可得∠EFB=∠CBF,可以得到等腰三角形EBF,可得BE=EF。 根椐对称原则可得CD=FD。 进而此题可解。 问题7、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢? 答: 1、有角平分线和平行线,可得等腰三角形。 2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。 例6、已知x = 1是一元二次方程x +mx+n=0的一个根,则m +2mn+n 的值。 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: 代数式m +2mn+n 的值。 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: x = 1是一元二次方程x +mx+n=0的一个根。 问题3、以前做过类似的题吗? 答: 没有。 问题4、与已知相关的定理有什么? 能不能直接用公式? 答: 不能直接运用公式求解。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗? 答: 不能。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗? 答: 根据方程根的含义可知1 +1×m+n=0,进而可得m+n=0。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念,你能发现得到未知的方法吗? 有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗? 答: 根据因式分解的公式可将未知变形为m +2mn+n =(m+n) ,即若知m+n的值可得未知。 到此,此题可解。 例7、如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,M、N、P分别是AD,BC的中点,∠BDC=700,cos∠ABD= ,求∠NMP的度数。 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: 求∠NMP的度数。 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: AB=CD,M、N、P分别是AD,BC的中点,∠BDC=700,cos∠ABD= 。 问题3、以前做过类似的题吗? 答: 没有。 问题4、与已知相关的定理有什么? 能不能直接用公式? 答: 相关的定理有中点现的中位线,由三角函数可求出相应的角的值;不能直接运用公式求解。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗? 答: 1、由中位线定理可知,AB=2MP;cos∠ABD= 可知∠ABD=300;进而可得∠MPD=300; 2、由中位线定理可知DC=2NP;由∠BDC=700,可知∠BPN=700;进而可得∠NPD=1100;进而可得∠MPN=1400; 3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP=NP;进而可知MP=NP;进而可得∠PMN=∠PNM。 综合以上因素,可得∠NMP=∠MNP=200。 到此,此题可解。 问题5、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢? 答: 1、利用一切机会将已知重新分组与组合,可得新的结论,将新结论与其它已知相结合可得更新的结论,可能能到达终点。 2、有中位线,可寻找相等的线段。 例8、如图所示: 已知∠xOy=900,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动,∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C,求∠ACB的度数。 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: 求∠ACB的度数 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: ∠xOy=900,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动,∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C 问题3、以前做过类似的题吗? 答: 似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么? 能不能直接用公式? 答: 三角形内角和定理,三角形外角定理,角平分线定理。 不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗? 答: ∠ABO的外角的度数与∠BAO是有关联的,但这中间似乎很乱。 清理一下: ∠ABO的外角∠ABE在度数上等于(900+∠OAB),则外角的一半∠EDB应等于 (900+∠OAB),而∠ABO应等于(900-∠OAB),则∠ABC应等于二者之和: ∠ABC= (900+∠OAB)+(900-∠OAB)=(1350- ∠OAB)。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗? 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念,你能发现得到未知的方法吗? 有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗? 答: 1、未知是求∠ACB的度数,利用三角形内角和定理,将未知转化成求式子1800—∠CBA—∠BAC的度数。 2、根据以上所得,则有∠ACB=1800—∠CBA—∠BAC=1800—(1350- ∠OAB)— ∠OAB=450。 原题得解。 即无论A、B如何运动,只要角平线不改,∠ACB永远等于450。 问题8、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢? 答: 例9、如图,△ABC为正三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD。 求证: DB=DE。 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: 求证: DB=DE。 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: △ABC为正三角形,BD是中线,CE=CD。 问题3、以前做过类似的题吗? 问题4、与已知相关的定理有什么? 能不能直接用公式? 答: 等腰三角形性质和判定。 不能直接用定理证明。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗? 答: 根据已知中△ABC为正三角形,BD是中线可得∠DBC= ∠ABC= ∠ACB。 。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗? 答: 根据已知中CE=CD,可得∠CED=∠CDE。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念,你能发现得到未知的方法吗? 有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗? 答: 1、未知是求证DB=DE,如何能出现? 答: 在以前学过的定理中等腰三角形的判断,只要∠DBC=∠CDE即可; 2、新问题: 与此相关联的角有那些? 答: 与∠DBC相关联的角是∠ACB,而∠ACB又是△DCE的外角,这似乎可行; 3、有新进展吗? 答: 由三角形外角定理可得∠CED= ∠ACB,进而可得∠DBC=∠CDE。 原题得证。 问题8、如何书写过程? 问题9、解题过程能简化吗? 答: 尚无更简化方法。 问题10、以前没有解过同类型的题,这种类型的题有什么特点呢? 答: 1、证同一三角形中的边相等时,可考虑等腰三角形的判定。 2、在同一三角形中有等边就有等角。 例10.AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证: AD垂直平分EF。 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: AD垂直平分EF 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 问题3、以前做过类似的题吗? 答: 做过。 解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。 问题4、与已知相关的定理有什么? 能不能直接用公式? 答: 角平分线定理。 垂直平分线定理。 不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗? 答: AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,联和可得DE=DF。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗? 答: 似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念,你能发现得到未知的方法吗? 有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗? 答: 未知是求AD垂直平分EF,在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理,只要能证明DE=DF即可。 原题得证。 例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子,遗嘱上说,老大应比老二多分200克朗,老二比老三多分100克朗,问他们各分了多少? 问题1、未知是什么? 你能复述它吗? 答: 求兄弟三人各分多少钱。 问题2、已知是什么? 你能复述它吗? 答: 共有1600克朗,老大比老二多分200克朗,老二比老三多分100克朗。 问题3、你能表示出所有的量吗? 答: 可设小儿子得x克朗,则有以下量出现: 小儿子: x克朗 二儿子: (x+100)克朗 大儿子: [(x+100)+200]克朗 总钱数: 1600克朗 问题4、你能用不同的式子表示出同一个量吗? 答: 1、小儿子钱数+二儿子钱数+大儿子钱数=总钱数 2、小儿子钱数+二儿子钱数=总钱数-大儿子钱数 3、小儿子钱数=总钱数-大儿子钱数-大儿子钱数-二儿子钱数 4、3×小儿子钱数=总钱数-100-(100+200) 5、3×大儿子钱数=总钱数+100+(100+200) 原题得解。 问题5、从中可以借鉴那些经验? 答: 分量和等于总量。
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