22综合除法大除法讲义教师版.docx
- 文档编号:16434467
- 上传时间:2023-07-13
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:71.79KB
22综合除法大除法讲义教师版.docx
《22综合除法大除法讲义教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《22综合除法大除法讲义教师版.docx(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
22综合除法大除法讲义教师版
综合除法和余数定理
;「i歯例题精讲
板块一综合除法、多项式除法
记号fx
关于x的代数式常用记号fx或gx等表示,例如,用fx表示代数式2X2•x—3,则可记为
2
fx=2xx-3.
这时f1就表示x=1时,代数式2x2・x-3的值,即f1=212-1-3=0,同样地,有
f0]=200_3-$;f-1]=2-1j亠i1-3--2等等.
用fx可以代表关于x的各种不同的代数式,但在同一个问题中,不同的代数式要用不同的字母表示,女口fx,gx,qx,rx等.
综合除法
在学习多项式除法时,我们有带余除法:
f(x)=g(x)q(x)卄(x)
(1)
其中fx表示被除式,gx表示除式,qx表示商式,rx表示余式,且余式rx的次数小于除式gx的次数.
如果gx是一次式x-a,则rx的次数小于1,因此,rx只能为常数(0或非零常数).这时,余式也叫余数,记为r,即有
f(x)=(x—a)q(x)+r
(2)
当一个多项式除以一个形如x-a的一次式时,有一种简便的运算方法一一综合除法,我们用一个例子来说明,如求fx[=3x2・5x-7除以x2所得的商式和余式.
解析:
先用一般的竖式除法计算
3x—1
x23x25x-7
3x2
6x
—x—7
x2
5
所以,商式为3x-1,余数为乃.
从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算,所以我们可以省去字母,将上面的除法用下面的简便方式来表示.
3+5-7
-2
—62
3-1|-5
商式为3x_1,余数为-5.
这种简便的除法,称为综合除法,其演算过程如下:
⑴被除式按x的降幕排列好,依次写出各项的系数,遇到缺项,必须用“0”补足.
⑵把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边,彼此用竖线隔开.
⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数;用它乘以a,加上第二个系数,得到第三行的第二个数;再
把这个数乘以a,加上第三个系数,就得到第三行的第三个数,,,依此进行运算,最后一个数即为
余数,把它用线隔开,线外就是商式的多项式系数.
【例1】⑴求2x4—3x2—x25x6除以x1所得的商式和余数.
⑵求多项式fx=3x3・5x2—2x4-5除以x-2所得的商式和余数.
【考点】综合大除法
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】⑴用综合除法计算如下:
2—3—1+5+6
-1
-25-4-1
2-541[5
所以,商式为2x3_5x2■4x1,余数为5.
⑵先将fx按降幕排列,
fx=3x35x2-2x4-5--2x43x35x20x—5
用综合除法,计算如下:
-2+3+50-5
2
-4-2612
-2-136[7
所以,商式为-2x^x23x6,余数为7.
【答案】⑴商式为2x3-5x24x1,余数为5
⑵商式为-2x3-x23x6,余数为7
【巩固】求多项式2x43x3-2x2-48除以x-2的商式和余数.【考点】综合大除法
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】商式qx=2x3亠7x2亠12x^24,余数r=0.
用余数定理可知余数为f2[=0.
【答案】商式qx=2x37x212x24,余数r=0
【例2】用综合除法计算6x4-7x3-x22x1.
【考点】综合大除法
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】
【解析】2x^2x1,先用6x^7x3-x28除以x-.I2丿2
16一7-10+8
2-35-21
6-104-2〔9
所以,我们有6x4-7x3-x28(1Y32
=rX6x-10x4x-29
\2x2;6x3T0x2*2
32
=2x13x一5x2x_1?
:
:
;9
因此,所求的商式为3x-5x2x-1,余数为9.
【答案】商式为3x3-5x22x-1,余数为9
用综合除法计算:
综合大除法
4星
计算【关键词】
fx-fb=ax-bqx,fx-fa故Ibx4-5x3-3x2-x4-19-x-
I4八2丿
数相同,这就是该解法的来历.
商式qx=3x-4x1x-3,余数r=19
7244
【例3】计算:
x4-2x3-9x2-2x•9-x2-1.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】看看此题,我们发现除式的次数不是1,我们还能用综合除法吗?
显然是不能直接使用综合除法了,
因为综合除法要求除式的次数为1,那么我们可不可以依照上例的解题思路呢?
反正,余数是一定的,
那么我们可以先求x42x3-3x2-2x•9]>[x•1的商式,然后再求
x4-2x3-9x2-2x•9「ix•1]:
j「xT的商式,不管可行不可行,先试试再说!
综合除法求x42x3-9x2-2x9i:
ix1的同式如下:
商式为xx2-10x8,余数为1
再求x3x2-10xFix-1的商式如下:
从而可知,x42x3-9x^2xix2-1的商式为x2,2x-8,余数为1.
此方法虽然可行,但我们发现比较复杂,那么有没有更好的更直接的办法呢?
有!
答案就是多项式除法,我们在做前面的例题时,发现多项式除法不如综合除法那么简单,那是在除式的最高次数为1的情况下,若除式的最高次不为1,则多项式除法更快,更准确!
如果除式不可分解,则不可行,其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同!
下面我们看看多项式除法解本题,如下:
2
x2x-8
x2
「X2
2x3_8x2-2x
2x3-2x
-8x29
2
$x8
1
x42x3—9x2—2x-9-■x2-1的商式为x2•2x_8,余数为1.
点评:
本题介绍的是除式为非1次的多项式或除法,可作为从综合除法到多项式除法的过渡.
【答案】商式为x22^—8,余数为1
【例4】计算:
x4-x3y-7x2y213xy3-6y41]:
ix-y.
【考点】综合大除法
【难度】5星
【题型】计算
【关键词】
x3-7y2x+6y3
43厂234
【解析】x—yx—yx-7yx13yx-6y1‘X4—yx3
223
-7yx13yx
-7y2x27y3x
6y3x—6y4
6y3x-by4
1
故商式为x3-7xy2亠6y3,余数为1.
【答案】商式为x3-7xy2亠6y3,余数为1
板块二余数定理和因式定理
余数定理和因式定理
由f(x)=(x_a),q(x)+r式,当x=a时,有f(a)=(a_a)q(x)+r=r,
因此,我们有以下重要定理:
余数定理:
多项式fx除以x-a所得的余数等于fa,有些时候余数定理作余式定理.如求fx=3x25x-7除以x2的余数.
2
解析:
由于x2=*仝卫,f-2=3-25-2-7=-5.所以,所求的余数为-5.
这与我们前面用综合除法求得的余数相同.
再由
(2)式知,如果fx能被x-a整除,那么必有r=0;反之,如果r=0,那么fx能被x-a整除,由此,我们有:
因式定理:
若多项式fx能被x-a整除,亦即fx有一个因式x-a,则fa=0;反之,如果fa=0,那么x-a必为多项式fx的一个因式.
【例5】求fx=3x4「8x3'5x5—x■8除以2x-4所得的余数.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】根据余数定理:
多项式fx除以x_a所得的余数等于fa,也就是说令除式为零求出的x,代入
原多项式所得的值,就是两式相除的余数.
从而可知,原式除以2x「4所得的余数为:
f2=3x24_823525_2•8=150.
【答案】150
【例6】多项式fx除以x_1,x_2所得的余数分别为3和5,求fx除以x_1x_2所得的余式.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】根据题意,由余数定理,知f1=3,f2=5.
设fx除以x-1x_2后所得商式为qx,余式为axb,(因为除式是二次的,所以余式至多是一次的),贝Uf-1x一2qx]亠[ax•b,
所以,有
由⑴,⑵解得a=2,b=1.
因此,所求的余式为2x1.
说明:
余数定理讨论的是fx除以一次式x-a的余数问题,当除式超过一次时,余式的形式就变
得复杂了,本题的方法具有普遍性,可看作是余数定理的一种推广.
【答案】2x1
【例7】多项式fx除以x_1,x_2,x-3所得的余数分别为1,2,3,试求fx除以x_1x_2x_3所得的余式.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】设fx=x-1x-2x-3qxax2bxc,则有
f1=abc=1,f2=4a2bc=2,f3=9a3bc=3
解之得,a=0,b=1,c=0,故fx=x_1x_2x_3qx!
、x,
从而可知fx除以x-1x-2x-3所得的余式为x.
【答案】x
【例8】已知fx=x32x23x2除以整数系数多项式gx所得的商式及余式均为hx,试求gx和hx,其中hx不是常数.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】设fx=gxhxi亠hx,则有fx=gxi亠1hx
又fx=x32x23x1x2•x•2=x1i[x2•xTi亠1,根据余数定理可知,hx的
次数小于gx,故gx=x2x1,hx=x1.
【答案】gx=x2x1,hx=x1
【例9】
【考点】
【难度】
【题型】
求一个关于x的二次三项式fx,它能被综合大除法
4星
计算
x_1除余2,被x_2除余8,并且它被x1整除.
【关键词】
【解析】设fx=ax2bxc,则由余数定理可知,
f1=2,f2=8,f[-1=0,故
5
a二一
3
abc=2
I
4a2bc=8二b=1,故
a-bc=0
fx=5X2‘3
【答案】fx*2—
【解析】
因为fx被x1x—2整除,所以fx被x1和x—2整除,根据因式定理,有
432
f-1=2-1-^1-1a-15-1b=ab=0,
432
f2;=22-32a252b=4ab18=0,
ra+b=o
即
4a+b+18=0.
解之得a-~6,b=6.
【答案】
a二—6,b二6
【例10】试确定a和b的值,使fx=2x4-3x3ax25xb被x1x-2整除
【考点】因式定理
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】
由题意知f七产0,亦即:
432
-33-38-3-k-311=0,
即3k•83-0,从而k=83
3
【答案】
.83
k=
3
【例11】设fx]=x4,3x38x2-kx11被x3整除,试求k的值.
【考点】因式定理
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】
【例12】已知关于x的三次多项式fx除以x2-1时,余式是2x-5;除以x2-4时,余式是-3x•4,求这
个三次多项式.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】设fx=ax3bx2cxd,则由余数定理可知
f|1=2-5--3,
f_1=2_5-_7,f2=-64=_2,
f-2=104=14
ab-cd-h故有
8a+4b+2c+d=-2
-8a4b-2cd=10
d=—8
故所求多项式为fx--5x3"3x211x-8.
33
【答案】
53211c
fxx3xx—8
33
【例13】若x5-5qx4r被x-2?
整除,求q与r的值.
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
2
【解析】(解法一)设x5-5qx■4r=x-2][x3■ax2■bx■r,则有
55432
x-5qx4r=x亠ia-4x亠ib-4a4x亠i5-4b4ax亠i4b-4rx4r
对比各项系数可知,a-4=0,b-4a4=0,r-4b4a=0,4b-4r--5q解之得,a=4,b=12,r=32,q=16故q=16,r=32.
(解法二)也可使用未知数系数含字母的多项式除法来求解本题,如下:
x3+4x2+12x+32
2—5432
x4x亠4x亠0x亠0x亠0x5qx亠4r
x5-4x4亠4x3
4x4-4x30x2
4x4-16x316x2
12x3-16x2-5qx
12x3-48x248x
2
32x—(5q48)x4r
32x2-128x128
0
故5q48=128,4r=128=q=16,r=32.
【答案】q=16,r=32
【例14】证明:
当a、b是不相等的常数时,若关于x的整式fx被x-a和x-b整除,则fx也被
x-ax-b整除.
【考点】因式定理
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设fx被x-ax-b除时,商式为qx,余式为mx•n,其中m,n为待定常数,则
fx=x-ax—bqxmxn.
因为fx能被x-a和x_b整除,由因式定理得:
fa=a_aa-bqa『:
;man=0,
fb=b—ab-bqb:
.-mbn=0,
卄man=0
(1)
即、
mbn=0
(2)
由
(1)-
(2)得a「bm=0,
又因为a丰b,所以m=0.
把n=0代入
(1),得n=0.所以mx+n=0,
因此,fx除以x-ax_b的余式为0,即fx被x-ax-b整除.点评:
本题的结论也非常有用.
【答案】见解析
【例15】整系数三次多项式fx,有三个不同的整数a1,a2,a3,使f印=fa2=fa3=1,又设b为
不同于a1,a2,a3的任意整数,试证明:
fb丰1.
【考点】因式定理
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】解法一:
由fa1=fa2=fa3=1可知,fa1-1=fa2-1=fa3-1=0.
由因式定理可知x-印,x-a?
x-a3是多项式fx:
;-1的三个因式,故
fx_1-ax-a1x-a2Ix-a3(a为非零常数)
故fb];—1二ab「atb—a2-^3
又b为不同于a1,a2,a3的任意整数,故fb工1.
解法二:
由题意可知f(x)二ax-印x-a2x-a31,其中,a为整数且a丰0,则
fb=ab1ab2][a战d(因为b不同于a1,a?
a3).
点评:
本题是经过变形的因式定理的应用,关键在于对fx-1运用因式定理.
【答案】见解析
课后练习
1.计算:
x6-5x45x3-5x7亠x31.
【考点】综合大除法
【难度】5星
【题型】计算【关键词】
【解析】显然本题应该使用多项式除法来解,过程如下:
32
x+0x-5x+4x3亠Ox2亠Ox1x6亠Ox55x4亠5x3亠Ox5x亠7
6小5小43
xOxOxx
432
-5x4xOx-5x
432
-5x—Ox—Ox-5x
32
4xOx
32
4xOx
故商式为x3-5x4,余数为3.
f1)求f'a.
【答案】商式为x3-5x4,余数为3
5432
2.设fx]=3x1Ox-15x-9x8x7,
【考点】综合大除法
【难度】4星
【题型】计算
【关键词】
【解析】先用综合除法,计算fx“x.
“I3丿
求得fxx-的余数4,根据余数定理,
'U3丿V3丿
【答案】4
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 22 综合 除法 讲义 教师版