高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题理.docx
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高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题理
2019年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题理
一、基础小题
1.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
答案 D
解析 由题图知,甲和乙所走的路程相同且同时出发,但甲用时间少,即甲的速度比乙快.
2.如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )
答案 D
解析 根据图象可得,张大爷先是离家越来越远,后离家距离保持不变,最后慢慢回家,符合的只有D.
3.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A.7B.8
C.9D.10
答案 C
解析 由题意,当生产第k档次的产品时,每天可获利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10,k∈N),配方可得y=-6(k-9)2+864,所以当k=9时,获得利润最大.选C.
4.2003年至2015年某市电影放映场次(单位:
万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( )
A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=aex+b
C.f(x)=eax+bD.f(x)=alnx+b
答案 D
解析 由题可得,这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,f(x)=ax2+bx+c,取a>0,-<0,可得满足条件的函数;对于B,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于C,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于D,a>0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征,当a<0时,为单调递减函数,不符合图象的特征,当a=0时,显然不满足.故选D.
5.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 画出三个函数的图象,如下图所示,当x∈(4,+∞)时,指数函数的图象位于二次函数的图象的上方,二次函数的图象位于对数函数图象的上方,故g(x)>f(x)>h(x).
6.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( )
A.40万元B.60万元
C.120万元D.140万元
答案 C
解析 甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.
7.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
A.y=2x-2B.y=(x2-1)
C.y=log3xD.y=2x-2
答案 B
解析 把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).
8.某工厂6年来生产某种产品的情况是:
前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量的增长速度保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,则正确的是( )
答案 A
解析 因为前3年年产量的增长速度越来越快,可知图象的斜率随x的变大而变大,在图象上呈现下凹的情形;又因为后3年年产量的增长速度保持不变,可知图象的斜率不变,呈直线型变化.故选A.
9.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:
元)分别为L甲=-5x2+900x-16000,L乙=300x-2000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为( )
A.11000元B.22000元
C.33000元D.40000元
答案 C
解析 设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,故利润L=-5x2+900x-16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,∴当x=60时,有最大利润33000元,故选C.
10.已知某池塘中浮萍蔓延的面积y(单位:
m2)与时间t(单位:
月)的关系式为y=at,其图象如图所示,现有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是( )
A.①②B.①②③④
C.②③④⑤D.①②⑤
答案 D
解析 因为点(1,2)在图象上,所以这个指数函数的底数是2,即①正确;因为函数y=2t在R上单调递增,且当t=5时,y=32,所以②正确;当y=4时,t=2,经过1.5个月后y=23.5<12,所以③错误;由图可知,2月面积增加2m2,而3月面积增加4m2,所以④错误;因为2=2t1,3=2t2,6=2t3,所以t1=1,t2=log23,t3=log26,又1+log23=log22+log23=log26,所以⑤正确,故选D.
11.某食品的保鲜时间t(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系式t=且该食品在4℃时的保鲜时间是16小时.已知甲在某日10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;
②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;
④到了此日14时,甲所购买的食品已过了保鲜时间.
其中,所有正确结论的序号是________.
答案 ①④
解析 ∵某食品的保鲜时间t(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系式t=且该食品在4℃时的保鲜时间是16小时,∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,∴t=
二、高考小题
12.[2016·四川高考]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:
lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)
A.2018年B.2019年
C.2020年D.2021年
答案 B
解析 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1>200,则lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.
13.[2015·高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 对于A选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米,所以A错误.对于B选项,由图可知甲车消耗汽油最少.对于C选项,甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L,故行驶1小时的路程为80千米,消耗8L汽油,所以C错误,对于D选项,当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确.
14.[2015·陕西高考]如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6
C.8D.10
答案 C
解析 因为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.
15.[2014·湖南高考]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.B.
C.D.-1
答案 D
解析 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因此x=-1,故选D.
16.[2014·福建高考]要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:
元).
答案 160
解析 设底面长为xm,宽为m,造价为y元,y=4×20+2×10=80+20x+≥80+2=160,当且仅当20x=,即x=2时,等号成立,所以最低总造价为160元.
17.[2014·湖北高考]某项研究表明:
在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:
辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:
米/秒)、平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比
(1)中的最大车流量增加________辆/小时.
答案
(1)1900
(2)100
解析
(1)当l=6.05时,F=,
∴F==≤=1900,当且仅当v=,即v=11时取“=”.
∴最大车流量F为1900辆/小时.
(2)当l=5时,F==,
∴F≤=2000,
当且仅当v=,即v=10时取“=”.
∴最大车流量比
(1)中的最大车流量增加2000-1900=100辆/小时.
三、模拟小题
18.[2017·宁德期末]某商场为了解商品的销售情况,对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计,得数据如下:
x(月份)
1
2
3
4
5
Q(x)(台)
6
9
10
8
6
根据表中的数据,你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是( )
A.Q(x)=ax+b(a≠0)
B.Q(x)=a|x-4|+b(a≠0)
C.Q(x)=a(x-3)2+b(a≠0)
D.Q(x)=a·bx(a≠0,b>0且b≠1)
答案 C
解析 观察数据可知,当x增大时,Q(x)的值先增大后减小,且大约是关于Q(3)对称,故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x=3对称的,显然只有选项C满足题意,故选C.
19.[2017·深圳模拟]某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为y-y=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.
20.[2016·江苏泰州模拟]某种电子元件的成本前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的成本与原来的成本比较,变化情况是( )
A.减少7.84%B.增加7.84%
C.减少9.5%D.不增不减
答案 A
解析 设该元件原来的成本为a,则有a(1+20%)2×(1-20%)2=0.9216a,×100%=7.84%.故选A.
21.[2016·湖北八市联考]某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:
mg/L)与过滤时间t(单位:
h)之间的函数关系为P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么,至少还需过滤________才可以排放.( )
A.hB.h
C.5hD.10h
答案 C
解析 设原污染物数量为a,则P0=a.由题意有10%a=ae-5k,所以5k=ln10.设th后污染物的含量不得超过1%,则有1%a≥ae-tk,所以tk≥2ln10,t≥10.因此至少还需过滤10-5=5(h)才可以排放.
22.[2016·武昌调研]某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:
元/100kg)与上市时间t(单位:
天)的数据如下表:
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
利用你选取的函数,求得:
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________;
(2)最低种植成本是________元/100kg.
答案 120 80
解析 因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出的四个函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q=at2+bt+c描述.根据题意得Q=a(t-120)2+m,将表中数据代入可得则所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100kg.
一、高考大题
1.[2015·江苏高考]某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?
求出最短长度.
解
(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).
将其分别代入y=,
得解得
(2)①由
(1)知,y=(5≤x≤20),
则点P的坐标为,
设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,
y′=-,
则l的方程为y-=-(x-t),
由此得A,B.
故f(t)=
=,t∈[5,20].
②设g(t)=t2+,则g′(t)=2t-.
令g′(t)=0,解得t=10.
当t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;
当t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数.
从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.
故当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.
二、模拟大题
2.[2016·湖北鄂州月考]如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求出该函数的定义域;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
解
(1)作PQ⊥AF于Q,
所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.
因为△EPQ∽△EDF,所以=,即=.
所以y=-x+10.易知定义域为{x|4≤x≤8}.
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米,
则S(x)=xy=x=-(x-10)2+50,
因为当x∈[4,8]时,S(x)单调递增,
所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,所以矩形BNPM的面积的最大值为48平方米.
3.[2017·江苏无锡模拟]某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:
①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).
(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)=4,f
(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:
函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);
(3)在
(2)的条件下研究下面课题:
为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.
解
(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.
(2)对于f(x)=x(x-q)2+p,
由f(0)=4,f
(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,
又q>1,所以q=3,
所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).
(3)因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),
所以f′(x)=3x2-12x+9,
令f′(x)<0,得1 所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌. 4.[2017·河南洛阳月考]为了维持市场持续发展,壮大集团力量,某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,打入国际市场.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位: 万美元): 年固定成本 每件产品的成本 每件产品的销售价 每年可最多生产的件数 甲产品 20 a 10 200 乙产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,a为常数,且6≤a≤8.另外,当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税,假设所生产的产品均可售出. (1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式; (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润; (3)如何决定投资可使年利润最大. 解 (1)y1=(10-a)x-20(1≤x≤200,x∈N*), y2=-0.05x2+10x-40(1≤x≤120,x∈N*). (2)∵10-a>0,故y1为增函数, ∴当x=200时,y1取得最大值1980-200a,即投资生产甲产品的最大年利润为(1980-200a)万美元. y2=-0.05(x-100)2+460(1≤x≤120,x∈N*), ∴当x=100时,y2取得最大值460,即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元. (3)为研究生产哪种产品年利润最大,我们采用作差法比较: 由 (2)知生产甲产品的最大年利润为(1980-200a)万美元,生产乙产品的最大年利润为460万美元, (1980-200a)-460=1520-200a,且6≤a≤8, 当1520-200a>0,即6≤a<7.6时,投资生产甲产品200件可获得最大年利润; 当1520-200a=0,即a=7.6时,生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润;
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