常用逻辑用语知识点.docx
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常用逻辑用语知识点.docx
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常用逻辑用语知识点
精解常用逻辑用语
目标认知:
话.
考试大纲要求:
盅
1.理解命题的概念;了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义•
2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题,分析四种命题相互关系•
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义•
4.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定重点:
鬲^充分条件与必要条件的判定
难点:
血•根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理:
:
盒
知识点一:
命题:
俭
1.定义:
層
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.
(1)命题由题设和结论两部分构成•命题通常用小写英文字母表示,如p,q,r,m,n等.
(2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题
(3)命题“」”的真假判定方式:
1若要判断命题“「一』”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如:
一定推出$.
2若要判断命题“「一*”是一个假命题,只需要找到一个反例即可注意:
不一定等于3”不能判定真假,它不是命题.
2.逻辑联结词:
:
宓
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题
(2)复合命题的构成形式:
1p或q;②p且q;③非p(即命题p的否定).
(3)复合命题的真假判断(利用真值表):
P
非尹
戸或勺
真
真
假
真
真
真假假真假
假
真
真
真
假
假假真假假
1当p、q同时为假时,“p或q”为假,其它情况时为真,可简称为"一真必真”;
2当p、q同时为真时,“p且q”为真,其它情况时为假,可简称为"一假必假”。
3“非p”与p的真假相反•
注意:
(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p或q”为例:
一是p成立
且q不成立,二是p不成立但q成立,三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“巴三--或"E”.
(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:
“p或q”的否定是“一p且一q”;“p且q”的否定是“一p或一>q”•
(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。
典型例题
1.判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真假,若不是,说明理由。
(1)矩形难道不是平行四边形吗
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
(3)求证:
xR,方程x2x10无实根.
(4)x5
(5)人类在2020年登上火星•
2(江西卷)下列命题是真命题的为()
11
2
A.若xy,则xyB.若X1,则x1
C.若xy,则^X.yD.若xy,则X?
寸
C^3(广东)已知命题P:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,
则下列命题中为真命题的是()
A(p)qB.pqC.(p)(q)D(p)(q)
4(北京)若p是真命题,q是假命题,则()
(A)pq是真命题(B)pq是假命题
(C)p是真命题(D)q是真命题
知识点二:
四种命题廐
1.四种命题的形式:
繭
用p和q分别表示原命题的条件和结论,用一p和一q分别表示p和q的否定,则四种命题的形式为:
1原命题='逆否命题•它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一
2逆命题='否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径
除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系四种命题及其关系:
辰
关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述:
第一:
交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题;
第二:
同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题;
第三:
交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题;
C"5•写出“若x2或x3,则x25x60”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定,并判其真假。
解:
逆命题:
若x25x60,则x2或x3,是真命题;
否命题:
若x2且x3,则x25x60,是真命题;逆否命题:
若x25x60,则x2且x3,是真命题。
2
命题的否定:
若x2或x3,则x5x60,是假命题。
知识点三:
充分条件与必要条件:
廉
1.定义:
忌
对于“若p则q”形式的命题:
1若p=q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
2若pfq,但qFp,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
3若既有p=q,又有q=P,记作P=q,则P是q的充分必要条件(充要条件)
2.理解认知:
宓
(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论,
再用结论推条件,最后进行判断•
(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据•“当且仅当”•“有且仅有”
“必须且只须”•“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语
3.判断命题充要条件的三种方法诃
(1)定义法:
(2)等价法:
由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原
命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断•即利用
匸二三与「去二「上;三二上与■-■-;匸=上与「三二「二的等价关系,对于
条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法
(3)利用集合间的包含关系判断,比如A;二B可判断为A:
B;A=B可判断为AB,且
B=A,即卩A=B.
如图:
.,且応E丘书山是"B的充分不必要条件
“二二三”■三”「是■三的充分必要条件
知识点四:
全称量词与存在量词:
丁曲
1.全称量词与存在量词:
辰
全称量词及表示:
表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常
用符号“1”表示,读作“对任意”。
含有全称量词的命题,叫做全称命题。
全称命题“对M中任意一个x,
有p(x)成立”可表示为其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
(II)存在量词及表示:
表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”,“存在一个”“至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“三”表示,读作“存在”。
含有存在量词的命题,叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可表示
为“…「「”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
2.对含有一个量词的命题进行否定:
SI
(I)对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p:
丁--',他的否定全称命题的否定是特称命题。
(II)对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p:
一'二丄"一‘,他的否定上特称命题的否定是全称命题。
(1)命题的否定与命题的否命题是不同的•命题的否定只对命题的结论进行否定(否定
次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。
(2)—些常见的词的否定:
正面词
等于
大于
小于
是
都是
.宀曰定是
至少一个
至多一个
否定词
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
定不疋
一个也没有
至少两个
规律方法指导:
聽
1.解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真
假性一致.
2.要注意区分命题的否定与否命题
3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的,将二
者相互对照可加深认识和理解•
4.处理充要条件问题时,首先必须分清条件和结论。
对于充要条件的证明,必须证明充分性,又要证明必要性;判断充要条件一般有三种方法:
用集合的观点、用定义和利用命题的等价性;求充要条件的思路是:
先求必要条件,再证明这个必要条件是充分条件
5.特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。
总结升华:
1.判断复合命题的真假的步骤:
1确定复合命题的构成形式;
2判断其中简单命题p和q的真假;
3根据规定(或真假表)判断复合命题的真假.
2.条件“厂三「或T吒;”是“或”的关系,否定时要注意.
类型二:
四种命题及其关系:
底
ab=0,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其
解析:
逆命题:
已知是实数,若a=0或b=0,则ab=0,真命题;
否命题:
已知是实数,若abz0,则0且b丰0,真命题;
逆否命题:
已知是实数,若a丰0且b丰0,贝Uabz0,真命题。
总结升华:
1.“已知…'是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略;
2.互为逆否命题的两个命题同真假;
3.注意区分命题的否定和否命题
类型三:
全称命题与特称命题真假的判断:
訥
总结升华:
1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中每一个元素疋,验证-:
成立;
要判断全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个工二",使/;不成立可;
2.要判断一个特称命题的真假,依据:
只要在限定集合M中,至少能找到一个卞二山,使
7成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题
类型四:
充要条件的判断:
币
总结升华:
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论;
2.正确使用判定充要条件的三种方法,要重视等价关系转换,特别是一匸与一^关系.
类型五:
求参数的取值范围:
层
总结升华:
由p或q为真,知p、q必有其一为真,由p且q为假,知p、q必有一个为假,所以,
范围.
12.命题P:
关于x的不等式X22ax40对任意xR恒成立;
命题q:
函数y(a1)xb在R上递增
若pq为真,而pq为假,求实数a的取值范围。
总结升华:
从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基
本策略。
类型六:
证明:
&|
总结升华:
1.利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论)•从这个假设出发,经过推理论证,
得出矛盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现,
或以“至多…”、“至少…”形式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是
比原命题更具体更容易研究的命题•
2.反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.
总结升华:
1.对于充要条件的证明,既要证明充分性,又要证明必要性,所以必须分清条件是什
么,结论是什么。
2.充分性:
由条件匸=结论&;必要性:
由结论扌二条件°.
2.叙述方式的变化(比如B是&的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是巴”)
课后加油站
1.(2008年湖北卷2)若非空集合A,B,C满足AUBC,且B不是A的子集
则
()
A.
x
C”
是“x
A”
的充分条件但不是必要条件
B.
x
C”
是“x
A”
的必要条件但不是充分条件
C.
x
C”
是“x
A”
的充要条件
D.
x
C”
既不是
x
A”的充分条件也不是“xA”必要条件
答案
B
2.(2008年湖南卷2)“x12成立”是“x(x3)0成立”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
答案B
A.
充要条件
B
.充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D
.既不充分也不必要的条件
答案
B
.(2007
宁夏)已知命题p:
x
R,sinx
1,则
(
)
A.
p:
xR,sinx1
B.p:
xR,sinx1
C.
p:
xR,sinx1
D.p:
xR,sinx1
答案
C
5.(2007
重庆)命题:
“若x2
1
则1x
1”的逆否命题是
(
)
g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的
(
)
4
答案D
6.(2007山东)命题“对任意的
xR,x3
x21
0”的否定是
()
32
A.不存在xR,xx
10
B.存在x
32
R,xx
1
0
C.存在xR,xx1
0
D.对任意的x
32
R,xx
1
0
答案C
7.(2006年天津卷)设集合M
{x|0
x3},
N{x|0x
2},那么“
a
M”是“aN”的
(
)
A.充分而不必要条件
B
•必要而不充分条件
C.充分必要条件
D
•既不充分也不必要条件
答案B
答案A
9.(2005年北京卷)
1
(2)“m=—”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m—2)x+(m+2)y—3=0
2
相互垂直的
()
A.充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案B
10.(2005年湖北卷)
对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“ab”是“acbe”充要条件;②“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是
“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件•
其中真命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
答案B
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